kudryavtsev2a (947416), страница 33
Текст из файла (страница 33)
) (~(х+у+г)хгуггябхбудг, Е=((х, у, г):х)0; у--0; гсв01 х+у+ г 11. 17. ) ( ~(4х — у+г) йхйуйг; область Е ограничена частями поверхностей в х=О, у=О, г=О, х+у=1, г=2 — х. 18. ) ') ) гадес)у бе; область Е общая часть шаров хг+уг+гг(яг и ха + уа+ гг =-. 2Кг. 43.3*. ОБОБЩЕППОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО ( в,ь ,в,ир ь тв т!/е ~~~(~(х, у))с(х! с(у) -=-)с(х~~~(~(х, у))рс(у~ .
(4524) с а а е Положим У(у) =~~((х, уках* а (45.25) Функция г непрерывна (см. лемму 1 в и. 45.1) и неотрицательна на отрезке 1е, <(]. Поэтому ее р-я степень также нитегрируема и неотрицательна иа этом отрезке, и О = ) Ре(у) т(у (+ с э. е В качестве е1це одного примера применения правила перемены порядка интегрирования докажем одно часто приемняемое интегральное неравенство. Пусть функция ~(х, у) непрерывна на прямоугольнике Л = = ((х, у):а х(Ь, с(у~с(). Тогда она, очевидно, при любом фиксированном у ее(е, с(] непрерывна по х на отрезке 1а, Ь] и при любом фиксированном х ~ (а, Ь] непрерывна по у на отрезке 1е, с(]. Для любого р) 1 справедливо обоби4енное неравенство Мин- ковского 168 8 вь. Запена переаенньи в кратном антеерасе Если )РР(у)т(К=О, то, в силу непрерывности функции Р, с будем иметь (см. свойство 9 п.
28.1): Р(у) =0 на [с, т(]. Поэтому из формулы (45.25) в силу того же свойства следует, что при любом у е= (с, тЦ имеет место 7" (х, у) =— 0 на 1а, Ь), т. е. 1(х, у) =— =— 0 на Ь. В этом случае неравенство (45,24) очевидно справедливо. Пусть ~Рр(у)т(у)0.
Тогда, изменив порядок интегрирования с и применив неравенство Гельдера (28,48), получим в силу (45.25) и ть !с мс. =!с- м)!нн, )~с(се а ь в = ~ т(х ~ ~ 7 (х, у) ~ РР-т (у) дд ~ а с ь,е ! ир,а ! Ос =~~~1~(х, у)!рду~ ~~Ра~р-"(у)г(у~ ь(х, (45.26) а с с где - +- = — 1 и, следовательно т)(р — 1)=р. Сократив обе части 1 1 р ч те пе равенства (45.26) па множитель (')Рр(у) т(у~ ~0, будем иметь с ы ~ !тр ь е !!р (! с (и сс) . ! '(1,~ а. с)~ сс1 с .
Подставляя сюда (45.25), получаем неравенство (45.24). Условие непрерывности функции ) не является существенньци для справедливости неравенства (45.24) и может быть ослаблено. Для простоты доказательства в качестве области определения функции ! был взят прямоугольник. При более общих предположениях доказательство неравенства Минковского, осиоваино на той же идее, можно найти в монографии Г, Г. Харди, Д. Е. Лпттльвуда, Г. Полна «Неравенства>. М., 1948, 179 — 180. э 46. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В НРАТНОЕ1 ИНТЕГРАЛЕ 46.!. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ ЯКОБИАНА В ДВУМЕРНОМ СЛУ ЧАЕ Пусть 6 — открытое множество на плоскости И„6а — открытое множество на плоскости тхтр, Р— отображение 6 на 6а и М=(н, о) е-:6, М'=(х, у) ев6*, Р(М)=М*.
46.1. Геометрический смысл модуля якобиаиа 169 Отображение Р задается парой функций х=-х(и, п), у=у(и, о). (46.1) Будем предполагать, что Р удовлетворяет следующим условиям: 1) оио взаимно однозначно отображает 6 на 6*; 2) оно непрерывно диффереицируемо на 6: 3) якобиан У(и, о)= ' не обращается в нуль на 6. д(к, у) д(и, и) Заметим, что отображение Р-з, обратное к г", также является непрерывно дифференцируемым взаимно однозначным отображением с якобианом, не равным нулю на 6' (см. п.
41.7). Поэтому, в частности, отображение г является диффеоморфным отображением открытого множества 6 (см. определение 11 в п, 41.7) на 6е. Если у — простой замкнутый контур, лежащий в 6, то в силу взаимной однозначности отображения Е его образ у*=Р(у) также является простым замкнутым контуром. Лемма 1. //усть à — открыгпое ограниченное гиножесгпво и Г с: 6. Тогда Г* = Р (Г) также ограниченное опгкрытое заножесгггво и др (Г) = Р (дГ). (46,2) Лок а вате льство. Поскольку Р и Р-т — гомеоморфные отображения, то при каждом из них открытыс множества отображаются в открытые. Следовательно, внутренние точки какого-либо множества, например, Г или, соответственно Г* переходят во внутренние точки его образа, а граничные — в граничные. В самом деле, пусть для примера М вЂ” внутренняя точка множества Г, т.
е. существует ее окрестность 1/=-1/(М), лежащая в Г: (/с: Г. Тогда окрестность (/* = Р((/) точки М'= Р (М) лежит в Г*: (/э ~ Г*, т. е. Мв внутренняя точка множества Г* еч Пусть теперь М граничная точка множества Г, М'=Р(М) н (/е — окрестность точки М*. В силу гомеоморфности отображения г" множество (/=Р-з(Ре) является окрестностью точки М, а поскольку М~дГ, то в окрестности (/ имеются как точки, принадлежащие множеству Г, так и не принадлежащие елгу. Следовательно, в окрестности (/э точки Мэ=р(М) (поскольку эта окрестность является образом окрестности (/=(/(М) точки М при отображении Р) также есть точки, как принадлежащие множеству Г"', так и не принадлежащие ему, т.
е. граничные точки действительно отображаются в граничные: Р(дГ) с: дГ*. (46.3) *' Мы получили эго у твсргкдение как прямое следствие только гоиеомор4:ности отображения Г Конечно, в данном слу гас это следует сразу из более сильных сделанных выпге предположенвй (си. следствие нз теоремы 7 в и. 41.8). Э вб. Замена неременных в кратном интеграле Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для обратного отображения, то в формуле (46.3) можно заменить знак включения знаком равенства, т. е. выполняется условие (46.2). Кроме того, из открытости множества Г в силу доказанного вытекает и открытость множества Г*.
Далее, поскольку à — ограниченное множество, то замкнутое множество Г также ограничено. Поэтому согласно лемме 3 из п. 41.4, множество Р(1") ограничено. Из ограниченности множества Р(Г) вытекает и ограниченность множества Ге=-Р(Г), ибо Р(Г) с:Р(Г). ( ) Следствие. Если в предположениях леммы 1 граница Г состоит из конечного числа кусочно-непрерывно диффгренцируемых кривых, то открытые множества Г и Г* квадрируемы. Доказательство. Если т непрерывно дифференцируемая кривая, лежащая во множестве 6, и и=и(г), пг и(г), а -1~Ь— некоторое ее представление, то функции и(г) и и(г) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а„Ь].
При отображении Р кривая у перейдет в кривую у*=Р(у) с представлением х(1) =х(и(1), о (1)), у(() =у(и(1), о(1)), а -1~Ь, у которого в силу формул дифференцирования сложной функции (см. и. 20.3) и теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций (см. п. 19.4) функции х(1) и у(1) также имеют непрерывные производные на отрезке 1а, Ь). Следовательно, кривая у* — также непрерывно дифференцируема.
Отсюда, очевидно, сразу вытекает, что если у — кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая, т. е. является объединением конечного числа непрерывно дифференцируемых кривых (см. п. 16.3), то у' †так кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая. Если теперь граница дГ открытого множества Г с: 6 состоит из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых, то н граница дГ* открытого множества Г" с:6' также, в силу сказанного выше, состоит из конечного числа кусочно- непрерывно дифференцируемых кривых.
Следовательно, как дГ, так и дГ* спрямляемы (см. теорему 1 в п. 16.5), вследствие чего они имеют меру ноль (см. теорему 4 в и. 44.2). Поэтому в рассматриваемом случае открытые множества Г и Г', имея границы меры ноль, — квадрируемы. [ ] Пусть теперь (ие, о„) ен6 и Ь некоторое число. Рассмотрим замкнутый квадрат о (рис. 181) с вершинами в точках (и„ое), (и,+Ь, о,), (и,+Ь, о,+Ь), (и„о,+Ь). (46,4) Пусть Я с: 6 (при достаточно малом Ь это включение всегда выполняется; почему?). Гранина до квадрата Я, состоящая из четырех его сторон, очевидно, является простым замкнутым кусочно-гладким контуром.
В силу следствия из леммы 2 множество 4б.!. Геометрический смысл модуля якобиана Ьо = г (5) (см. рис. 181) представляет собой замкнутую квадрируемую область (то, что 5о — замкнутая область, следует из принципа сохранения области, см. п. 41.8). Изучим поведение отношения рг" (о)/РФ *1, (46.5) при стремлении й к нулю. Рнс. 181 Введево обозначения: д,(и„о,) дв(ио, о,) ди = атт, оо = ани х(и, оо)=х, у(и„о,)=у, дя (ио о„) дд (и„о,) =ам о — оо=Ьо1 = аоо и — гсо = Ьи г = )'Ьио+ Ьо'. х=х(и, о) =х,+аг,(и — ио)+ам(о — оо)+етг. (46.6) у=у(и, о) =уз+наг(и — ио)+аоа(о — оо)+ног, где функции и;=во(и„о„Ьи, Ьо), 1=1, 2, стремятся к нулю при г-ь О.
Наряду с отображением г" рассмотрим линейное отображение Р плоскости Д„'„на плоскость )с"и, задаваемое формулами х =хо+ам(и — ио) +ам(о — оо) (46,7) у = уо+азг (и — ио)+аса(о — оо). Из аналитической геометрии известно, что при линейном отображении образ всякого параллелограмма, в частности — квадрата, является параллелограммом, причем отношение площади последнего к площади отображаемого параллелограмма равняется абсолютной величине определителя отображения, который для отобра- *' Здесь, нан всегда, рЕ обозначает неру (в данном случае-нлодадь) множества Е.
В силу дифференцируемости функций (46.1) справедливы фор- мулы )7г у 4В. Замена переменных и кратном интеграле =,,?(~>ь, оь,! ° рт (5) > р5 (46,9) Более того, покажем, что стремление к пределу в этом равенств происходит равномерно па любом компакте, лежащем в открытом множестве 6. Сформулируем этот результат в виде теоремы. Теорема 1. Пусть отображение Р о>пкрытого л>ножества 6 с с: Д,„на открыпюе множеспюо 6* ~ >хее взаил>но однозначно и непрерывно дифференциругно на 6 и пусть его якобиан У(и, о) не обраи(агпгся в ноль на 6. Тогда, если 5 — квадрат с вершинами (46.4), >по )>е" (5) и5 =~.?(ие, оь)!+е(ио, оо, й), (46.! О) где функция е=е(иь, о„й) при й- 0 сп>ргл>пшся к нул>о равное>грно тнпноситсльно (и>ь оо) на любо>и колшак>пе А ~ 6 *'.
Следствие. Дл.е любой точки (и,, о,) отпкрытого множес>пва 6 выполняется равенство (46.9). Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что площадь образа квадрата 5 при отображении Р отличается от площади образа этого квадрата при линейном отображении Р на бесконечно малую бол е высокого порядка, чем площадь й' самого квадрата 5, н эта оценка равномерна на любом компакте А с 6, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
