kudryavtsev2a (947416), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть т=-! Е! (44.77) Ео = О дЕГ. т=! (44. 78) Доказательство. Установим справедливость первой формулы (вторая доказывается аналогично). Пусть 17" (х) (== М, х онЕ, а в~О задано. В силу определения (44.76) существует такое разбиение т* =(Ео) множества Е, что Э 44. Кратные интегралы Поскольку каждое множество Е!* измеримо, то рбЕ1=-0; поэтому рЕа=О.
Следовательно, существует такой ранг Л=й(е), что рЕа (Еа) ~ ~учд ' (44.79) Покажем, что для любого разбиения т=(ЕД.=.!' множества Е мелкости бт(10-а выполняется равенство (44.80) 1, — а<з„-1„. В силу произвольности с~О это и означает, что 1пп зт=-1„. ат-а Неравенство ат ( 1„непосредственно вытекает йз определения нижнего интеграла 1, (см. (44.76)). Поэтому надо доказать лишь неравенство (44.81) а,)1„— е при условии 8,(10-'. Пусть За=5н(Еа) состоит из кубов Ят, ..., 17 . Аналогично тому, как это было сделано при доказательстне теоремы 10, обозначим через Р7 куб, получающийся из ф преобразованием подобия с центром в центре куба ф! и коэффициентом подобия, равным 3, 1=1, 2, ..., и. Положим 6=Е У.
г=! (44 82) Из определений множеств Р и 6 следует, отделено от многогранника Яа(Еа) «полосой» длины 10-и. Прежде всего оценим меру рР. Из жества Р (см. 44.82)) и неравенства (44.79) с (44.63)) ы т рР=р () Р =-~~ рР, = г=-! е=! что множество 6 кубов с ребрами определения мноимеем (сравннте Зл ~ 1!1)! =3"рЕа(Ее)( ЗМ ' (44'83) !=! Далее заметим, что для любого множества А с: Е с диаметром д (А) е- 10-", пересекакицимся со множеством 6: А Д 6 =~= ((т, существует и притом единственное множество Е," ест* такое, что А с:Е!. (44.84) Действительно, выберем какую-либо точку х~АП6. Поскольку Ас-Е, то хенЕ, и поэтому точка х содержится в некотором элементе Е;.
разбиения т*. Для этого элемента и выполняется 44.7'. Критерии !!итегр!!руел»ости функ!!!Ы Рима»а и дарби 151 1 з, =Х т71»ЕР тт= 1п( 1(х), 1=1, 2,," !о !.—.- ! кса ° разобьем на два слагаемых, соответствующих тем Е7, которые пересекаются со множеством 6, и тем, которые с ним не пересекаются и, следовательно, целиком лежат в множестве Р (см. (44.82)). г, = ~ , 'ттрЕ7+ 2 , 'тй»»ЕР влпр~!э в ~ Р (44.88) Использовав очевидное неравенство (44.88) ( т! ( == М, 1 = 1, 2... ! м включение (44.84). В самом деле, если это включение не имело бы места, то нашлась бы точка ус= А',Е;".
Поскольку хек А, у ~ А и д (А) ( 10-», то р (х, у) ( 10-". Следовательно, отрезок с концами в точках х и у, имея длину, меньшую, чем 10-', и один конец х во множестве б, не пересекается со множеством 5»(Е,), ибо оио отделено от О полосой ширины 10-'. Однако из того, что один конец отрезка принадлежит некоторому множеству, в данном случае — множеству Е!, а другой нет, следует (см.
лемму 9 в и. 18.2), что на этом отрезке существует точка г ендЕ;*. Но (см. (44.78)) дЕ! сЕ»с5»(Е,), т. е. ген 5»(Е»). Следовательно, указанный отрезок пересекается со множеством 5» (Е,). Полученное противоречие и доказывает вложение (44.84). Докажем единственность множества Е;, удовлетворяющего включению (44.84). Пусть существует еще одно множество Е» ~т*, таксе, что А с: Е»', й~!'. Тогда А сЕ! ПЕ!",. Если пересечение Е;: П Е» содержало бы хоть одну точку, являющуюся одновременно внутренней для множеств Е," и Е';, то эта точка была бы впутреяней и для пересечения Еэ ПЕ1, а тогда имело бы место неравенство рЕ;: ПЕ») О. Это неравенство противоречит определению разбления (см. п.
44.3), в силу которого рЕ;ПЕ»=0 при !аз/г. Следовательно, каждая точка пересечения Е; П Е», поэтому и каждая точка множества А, является граничной точкой по крайней мере для одного из множеств ЕР, Е». Но тогда А с: ( ) дЕ! =* »=! = Е, с: 5»(Е,). Это невозможно, так как множество А пересекается со множеством 6, которое не пересекается с 5»(Е,). Противоречие получилось из предположения о существовании второго элемента Е$ из т", содержащего множество А.
Следовательно такой элемент единственен. Возьмем теперь произвольное разбиение т =(ЕД~=. !; множества Е мелкости 6,(!О-». Нижнюю сумму Дарбу 152 4 44. Кратна!е интеералы где !!" (х) )=М, хек Е, и оценку (44.83), получим т, рЕ1 ~ ~ ~ ', ~ ту ) рЕ, ~ М ~ч~~ р Е, ( 1с:.. ~ ес ! г Е ~Р 4 () ~~=™1тр =-М зн = з Е сР В частности, ~~ ттрЕ;) — —. Поэтому из (44.88) имеем Е.а Р е ттзиЕ4- з- елнбРтз (44.87) (второе равенство следует из включения 6! сЕ;") имеем т,'рЕ!" = пфиО, + т;"р (ЕТ~О ) = = иер О Е~+ те!! (Ете",6!) = Е' с.б! ! = т," ~ч~ рЕ, + т,"р (Е;,От).
(44.89) Е.сб l Оценим второе слагаемое. Каждая точка хан Е,* ~6! принадлежит некоторому множеству Е1 ен т: х ен ЕР Это Е не может пересекаться с 6, так как всякое Е; ~т, пересекающееся с 6, целиком содержится в некотором элементе разбиения т'" (см. (44.84)), Поскольку пересечение Е; П Е; непусто: хан Е4ПЕ', то в данном случае этим элементом может быть только множество Е,*, т. е.
Е1 с Е;. Но тогда, в силу определения множества От, имело бы Теперь заметим, что е((Е1) ==6„с.10-и, поэтому для каждого Е;, пересекающегося со множеством О, в силу (44.84) существует такое Е!" с т*, что Ет с Е;". Обозначим через О! объединение всех тех Е,, которые пересекаются с О и содержатся в Е;: О! = Ц Ь;. ЕрЕ,, Е'.Пб е В Группируя в сумме ~', ттрЕ4 слагаемые, содержащиеся в е . П б т'= О одном и том же множестве Оо запишем ее в виде т4рЕ~ =- ~ У, 'ттрЕ~. (44.88) Е.Пбфеа 4 1=! Е.сб.
4 Для оценки внутренней суммы, заметим, что для любого 1=1, 2, ..., еа согласно очевидному равенству Е! = (Еа П О!) () (Еь' "~6!) = О! () (Ет'~,6!) >е'.7>. Критерии пнтегрируег>асти фуннкнй Римана и Ларбу !53 место включение Е7 с6! и, следовательно, х ен 6!. Это противоречит предположению, что хенЕ!'~6ь Итак, множество Е7 не пересекается с 6 и поэтому Е7 с Р. Отсюда, в частности, вытекает, что х ен Р. Поскольку х — произвольная точка множества Е7~6;, то Е>>' 6! с:Р, и поэтому Е!"~6! с Ег>ПР. Использовав это включение и неравенство (44.86), получим т 'р(Е!"'~6!) =. МрЕ! П Р.
Подставив это неравенство в (44.89), будем иметь тчрЕе«,У~ т рЕ7+МрЕеДР. Е сб! Теперь заметив, что из включения Е7 с 6; с Е; следует перавенство тт>=т7 (нижняя грань подмножества не меньше, чем нижняя грань самого множества), получим .7рЕ7=- ~ ., Е7+МрЕ7ПР. Ет сб. откуда тйрЕ7 — е~,'рЕ7 — МрЕ7 5 Р. Е.сб! Просуммировав обе части по 1 от 1 до т„в силу (44.88) будем иметь » т> > пт7рЕ7«.У', турЕ! — М У, рЕ!'ПР=Е; — М ~; рЕ;()Р. е.Пиаф !.=! >=! >=1 /. Поскольку, согласно (44.83) ~~ рЕь П~ =1! Ц Ете П ~ ~1!~ ( зт! > т=! то Х е тйрЕ7 ~Е." — З ° (44.90) е;Пбгиф Применив теперь последовательно неравенства (44.87), (44.90) и (44.77), получим ь1 е 2е а,) р итурЕ7 — — >З,.
— — — >Хе — е, е ПО-~ф т. е. неравенство (44.81), а следовательно, и теорема 11, доказаны. П С ее помощью можно установить два критерия интегрируемости ограниченной функции. У 44. Кратные интегралы 154 Теорема 12 (критерий Дарбу). Ограниченная на измеримом по Жордану множестве функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний интегралы Дарбу равны. Доказательство. Пусть 1„и 1ь — соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу функции 1, ограниченной на измериьюм множестве Е. Следовательно, для любого разбиения т множества Е выполняются неравенства (см.
(44.78)) вО--=1О ~1*~ЕО (44.91) Необходимость условия 1,=1*. Если функция ннтегрнруема на множестве Е, то (см. (44.57)) 1пп (Е,— в,) =О, Ь О и поскольку 0~16 — 1, =а߄— з„то 1, =1'. Достаточность условия 1,=1*. Если 7„=1*, то в силу теоремы 11 11т (Я, — в,) = 1пп ń— 1!гп в, = 1* — 1О = О, бт О 6» О 6 О и поэтому, согласно теореме 8 из п.
44 4, функция 7 ннтегрируема П Теорема 13 (критерий Римана). Ограниченная на измеримом по Жердину множеспгве Е функция 1 интегрируе,иа по Рамону бпогда и только тогда, когда для любого е)О суи(есп1вует такое разбиение с множества Е, что Е,— в,(в, (44.92) где в, и Е,— нижняя и верхняя суммы Дарбу функции 1, соответспгеу1ои(ие разбиению т. Доказательство. Если функция 1 интегрируема на множестве Е, то для нее выполняется условие (44.57) (см. теорему 8 в п. 44.4).
Справедливость (44.92) следует нз определения предела сумм Дарбу при 8,-+ О, Если, наоборот, выполняется условие (44,92), то в силу (44,91) прн любом г) О справедливо неравенство О =1Π— 1 «-а и потому 1, =1'. Отсюда, согласно теореме 12 и вытекает, что функция 1 интегрируема на множестве Е. ( ) Итак, вспоминая определение кратного интеграла, данное в п. 44.3, теорему 8 из п. 44.4 и теоремы 12 и 13 этого пункта, получаем эквивалентность следую1цих пяти утверждении; 1) функция 1 интегрируема на множес1пве Е,' т. е. суи(ествует предел 1'пп а,=»)1(х) ЙЕ» 6 О 2) 11гп (Е,— з,) =О; б,-о 44.7'.
Кратеров интегрнруемоста функций Рч.чана и Дарбу 155 и 3) 11тп ~', от()'; Е)рЕ;=О, т=(Ег)т'=1 — разбиение множео,-о, ства Е; 4) для любого е О существует такое разбиение т множества Е, юпо Ят — вт(е; 5) 7„=7*. Таким образом выполнение каждого из этих условий равносильно существованию интеграла ~ 7'(х)г(Е, причем ~ 1'(х)г(Е = 1пп и, = 1пп в, = 1пп Зт о,-о о,-о о,-о Замечание 1. Доказанные теоремы позволяют теперь без труда доказать аддитивность интеграла по измеримым множествам для ограниченных функций (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
