kudryavtsev2a (947416), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е(«>)) = Я ) (ч(()) рЕь (44.51) Е,. мг(Е«) Эта запись означает, что суммирование в правой части равенства происходит только по тем индексам г, для которых Е; ест(Е,). Как всегда $и) ееЕь Для симметрии записи обычные интегральные суммы Римана можно по аналогии записывать в виде Е. «е « Вместо символа суммирования ~х~~ иногда для краткости будем Е.Е « писать 'У',. Теорема 5. Пусть Š— измеримое по Жордану мнохсество пространства Я", т= (Е«),'= (' — его разбиение, Е, с: Е и рЕ,=О. Если функ((ил 1 ограничена на множестве Е, тв риманов интеграл ~ г (х) дЕ = 1пп о, ь,-о суи(ес))(врет тогда и только тогда, когда существует предел аг(е )' При этом, если последний предел существует, то он равен интегралу ~)(х) «(Е.
Доказательство. Для всякого разбиения т=(Е«)(='(' мно- жества Е у каждого элемента Е«либо его замыкание Ег не пере- секается со множеством Е„и тогда Е« ~ т(Ео) (см. (44.46)), либо — пересекается (см. (44.47)), а тогда Е«~то(Ео). Следова- тельно, с=т(Ео)()то(Ео), причем т(Ео) и то(Е,) не имеют общих элементов.
Положим о«.(е.) = ~ )'(5(п) рЕ;, ь(«) ~ Е«. е) м «> (е») Здесь суммирование в правой части равенства происходит только по тем индексам «, для которых Е«ето(Ео). Очевидно, что для любой интегральной суммы Римана а, справедливо равенство (см. (44.42) и (44.51)) о, = о„е,) + о„(е,). (44.52) В силу ограниченности на Е функции ( существует такая постоянная М)0, что для всех хе= Е выполняется неравенство(1(х)( М.
44лп Онрет>еление кратного ннтеграла Поэтому ~пттпь>)» Х ~)($~п) ~ рЕ ==-М .У, рЕн л>мте(во) Ет~т (Ео) Поскольку согласно лемме б 1>п> У, рЕ;=О, то 1пп о„>в,>=О. а -ов ат-о В силу этого из равенства (44.5й) следует, что интегральные суммы о, и о,>в„> одновременно имеют или нет пределы при бт->-О, причем, если эти пределы существуют, то они равны.
> ) Из этой теоремы следует, что, сели функция определена и ограничена па некотором измеримом множестве Е, то при определении интеграла, как предела интегральных сумм, в них можно отбрась>вать все слагаемые, соответствующие элементам разбиения, замыкания которых содержат граничные точки, ибо множество Е, =-дЕ имеет меру ноль (см. теорему 1 в п. 44.1). Из теоремы 5 следует также, что если функция г определена и ограничена на измеримом множестве Е, то изменение ее значений на некотором множестве Е, с: Е меры ноль, в результате которого снова получается ограниченная на Е функция, не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла от функции, если он существует.
Это сразу следует из того, что, при указанном изменении функций сумма от<в,> не меняется, а в силу теоремы 5, если ее предел при б,->-О существует, то ои равен интегралу ))(х)ЬЕ: 1 пи о, >в,> = ) Г (х) г(Е. ат-о Из этого замечания, в частности, следует, что функция г явлчется интегрируемой на измеримом множестве Е тогда и только тогда, когда на этом множестве Е интегрируема всякая функция, получающаяся из 1 произвольным изменением ее значений в граничных точках, т.
е. на множестве Е () дЕ, таким, что эти значения остаются, однако, ограниченными. При указанной операции не меняется и значение интеграла )г(х)г(Е. Все это следует из того, что граница измеримого множества, а значит, и любая ее часть, имеют меру поль. Таким образом, интегрируемость и значение интеграла от Функции по множеству Е не зависят от значений функции в граничных точках измеримого множества Е, если только эти значения ограничены. >Зб й 44. Кратные интегралы 44.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА Простейшим поимером интегрируемой по Риману функции явлвется произвольная числовая функция ), определенная на некотором множестве Е ~ Е", мера Жордана которого равна нулю: рЕ=О, В этом случае для любого разбиения т=-',Е,';:!' множества Е будем иметь рЕ;=О для всех >=1, 2, ..., г;, и потому при любом выборе точек б!>> ен Е! получим 1'(б!>>) РЕ; = О, и, следовательно, (см.
(44.42)) г~ о,=о,(!'; $'", ..., 4<!">) = '>, ! (б")1хЕ>=О. г=! Отсюда, согласно определению интеграла, он существует в этом случае и равен нулю: ~ )' (х) !1Е =- 1пп о, = О. в а Поскольку функция г произвольна, то в частности, она может быть и неограниченной. Иначе говоря, условие ограниченности функции не является необходимым для ее интегрируемости по Риману на произвольном измеримом по Жордану множестве. Вспомним, что для интегрируемости функции по Риману на отрезке условие ограниченности функции было необходимым (см. теорему 1 в п. 27.2), Однако, с некоторым видоизменением теорема об ограниченности интегрируемой функции оказывается справедливой и для рассматриваемого здесь интеграла.
Предварительно докажем лемму. Лемма 7. Пусть функция Г' определена на измеримом по Жордану л!ножестве Е, т=(Е!!';:!' — разбиение этого множества и Е* — объединение всех элементов эп>ого разбиения, ил>ею>цих пололсил>ельную меру: Е" = Ц Е. ае,. >0 Если функция 1" неограничено на л>ножестве Е*, то кокоса бы ни бьгло число М= О, л>ажно так выбрать точки бо> енЕ>, аппо будет справедливо неравенство ! ! Х 1(Р>) рЕ! ~ М. г=! Следствие. Пусть функция )' определена на измерил!ом по Жордаку мноэкестве Е. Ес,ги у множества Е существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых функция )' неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, гпо функция 7" неинтегрируема на Е. Доказательство леммы.
По условию леммы множество Еа является объединением элементов Е; положительной меры 444. Сугиеагвававае аатевдала !37 !! (й ) р-Еа+ У ~ (Р!) рЕ! !.= 2 при и-в-со первое слагаемое стремится к беснонечности, а вто- рое — постоянное; отсюда 1пп )($а') рЕ,-(- У, ~(~!!')рЕ =-1- со, в са1 са Поэтому для любого числа М~О можно подобрать такой номер п,==-п,(М), что будет справедливым неравенство ! ) 6С) рЕ + Х ) (Р') рЕ. ) М П !=2 Доказательство следств н я. Если функция 7' пнтегрируема на множестве Е, т. е. существует предел !а )пп '5',)(~!!!) рЕ!=~~(х)!(Е, а а;=! е)0, например для е=-1, существует такое всех разбиений т=(Е!!!, '!з множества Е з!однолюбом выборе точек $~!! ен Е; ен т выполняется то для любого 6;,)О, что для стп 6(ба при неравенство и, следовательно, неравенство $((х) дŠ— 1 ( ~~) ф!!) пЕ ($)(х) аЕ+1.
(44.63) ю=! разбиения т. Поскольку всякое разбиение состоит нз конечного числа элементов, то Е* является конечной суммой указанных множеств Е! ~ т. Поэтому, если функция 7 неогранпчена на множестве Е, то она неограничсна и на некотором множестве Е! положительной меры.
Пусть для определенности им будет множество Е,. В силу неограниченности функции 7 на Е, можно выбрать такую последовательность Ц'ен Е„ и = 1, 2, ..., что будет иметь место равенство 1!щ 7'(Ц') = сс. Зафиксируем каким- либо образом остальные точки ~~!! ~ Е! прн ! =2, 3...,, а„, в Поскольку сумма ~ 7" ф!!) рЕ! — фиксированное число и рЕ!) !=2 ) О, то в сумме 138 У 44. Кратные интегралы Если же функция ) удовлетворяет условиям следствия, то у множества Е существует разбиение т мелкости 6,(бь для которого функция 7" неограничена на объединении всех элементов положительной меры этого разбиения.
Тогда по лемме 7 сумму р'„7'(я!г>) рЕ; можно сделать сколь угодно большой по абсолютной г=! величине за счет выбора точек к<г> е- =Е; сит. Поэтому такая функция не может быть интегрируемой — для нее не выполняется условие (44.53). [ ) Покажем теперь, что если пренебречь множеством меры ноль, то всякая интегрируемая функция будет ограниченной. Теорема 6. Если функция ~ интегрируема на множестве Е„ то существует такое множесп>во Е, с: Е меры нолт рЕ,=О, юпо функция 7' ограничена на Е,Е,. До к аз а тельство.
Пусть функция 7 интегрируема на Е, и указанного в теореме множества Е, не существует. Возьмем л>обое бв)О и какое-либо разбиение т множества Е мелкости 6,(6,. Обозначим через Е* объединение всех элементов положительной меры. Тогда множество Е' Е* является объединением конечного числа множеств Е; в= т меры ноль, и поэтому оно само имеет меру ноль: р(Е Е*) =О. Вследствие этого по сделанному предположению функция 7' неограиичена на множестве Е'". Отсюда, согласно следствию из леммы 7 получаем, что функция 7 непнтегрируема.
П Покажем теперь, что для важного класса измеримых по Кордану открытых множеств теорема об ограниченности интегрируемой функции полностью сохраняется. Для доказательства этого нам понадобится одна геометрическая лемма. Лемма 8. Непустое пересечение золвкнутого п-мерного куба с огпкрытым множеством и-мерного пространства имеет положительную нижнюю меру Жордана. Следствие, Для любого открьетого изл>еримого по Жердину множества сди~есптвдют сколь угодно мелкие разбиения, все элементы которых имегот положительную меру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
