kudryavtsev2a (947416), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для нашего случая они имеют вид: 4 43. Услввнай экстремум Щс=О, с=1, 2, ..., и, при выполнении условий (43.3), будем записывать кратко в виде 07=0, (43. 37) где 7"=Дт, ..., ) ). Пусть х!в' является стационарной точкой для функции Лагранжа Р(х) (см. (43.13)). Это означает, что с()'(х!в!)=О, т. е.
т что в этой точке У1в+ ~ 'э!1! =О. В теореме 2 п. 43.4* было по!! казано, что в этом случае хгв! является стационарной точкой для функции ст(х), т. е. с(сс (х(в» = О, Поясним еще раз вывод этой формулы н покажем, что (та(фхч» = (эР(х Нв! в. (43.38) (43.39) Это равенство следует понимать как рав яство функций а — и переменных пх „, ..., с(х„. В правой части равенства (43.39) остальные переменные дх„..., дх, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (43.37) или, что равносильно (см. формулы (43.7)), с(хв=йрэ(х„..., х„„), 1=1, 2, ..., и Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных н' формулу (43.8), имеем Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств (43.31), умноженных соответственно на постоянные Л;, входящие в функцию Лагранжа Р(х) (точнее, 1-е равенство (4ЗЗ1) умножается на постоянную Л!).
Тогда, использовав усло- нз полученных достаточных условий условного строгого экстремума, выраженных посредством функции ст(х), получим достаточные условия того же экстремума, но выраженные только через функцию Лагранжа и уравнения связи. Прежде всего заметим, что в силу условия (43.8) система (43.31) разрешима, и притом однозначно, относительно с(х„..., с(х„ при произвольно фиксированных с(х „, ..., дх„. Систему (43.31), выражающую равенство нулю дифференциалов функций 7! (х) в точке х!в'.
вам*. Довес!точные условия для точек усяоаноео экстре«у«а 109 впе (43.13), получим л л е(и(х!ч!)= ~» - — ~~в(х)+ ~~ Хд(х)~й«1 т=! 1.=- 1 « = н'ч) у дР(«'л') ~ы д«т 1=1 Утверждение (43.33) доказано. Равенство (43.39) доказывается аналогичным приемом. Прежде всего напишем второй дифференциал для функции п(х) в точке х!'1: л л е('Ы(х"!) = р д' д с(х~ е(хе+ ~~ 'д«е('х~ (43 46) Ь А=1 1=1 Далее, продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (43.3), т. е. тождества дй дй д — 'п«1+. +д— '11«л=0, 1=1, 2, ..., пе «! «и будем иметь в точке х!о1: л л В 1=-1 1=1 Умножив 1-е равенство (43.4!) на постоянную )1, входящую в функцию Лагранжа Р(х), прибавим получившиеся выражения к правой части равенства (43.40); тогда получим л л т (х(ч») '(~~ о-е («'ч') 1 1 + '~ч де («'л)окх Ь «=1 1=1 где бхь 1=1, ..., и удовлетворяет системе уравнений (43.37).
Поскольку точка х(о» стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в ноль, и тем самым формула (43.39) доказана. Будем говорить, что квадратичная форма с(1Р(х(ч!) является .положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных с(«1, 1=1, 2, ..., а, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (43.37), если для любых б«1, 1= 1, 2, ..., п, удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что "» (е(х!)1)0, выполнЯетсЯ неРавенство с(тР(х!в»)-лО 1=1 (соответственно сРР (х!'!) с. 0).
Пусть точка х!'1 удовлетворяет уравнениям связи (43.3) и является стационарной для функции Лагранжа (43.13) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является э" ВЗ. усльачьсй экстремум 110 положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных ахм ..., йх„при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (43.37). Тогда из (43.38) и (43.39) следует, что хс'> является стационарной точкой для функции у(х) и что второй дифференциал этой функции в точке хс" является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных йх„,.„..., йх„, и, следовательно, функция у(х) имеет в точке хсьс строгий лшпилсум (максимум), а значит, функция),(х) имеет в точке хсю условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (43.3).
Сфорлсулируем полученный результат в виде теоремы. Теорема 3. Если хсю=-(х',с', ..., х„'"') удовлетворяет уравнениям связи (43.3) и является спсационарной точкой для функции Лагранжа (43.13) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке являеспся положительно (отрссцапгельно) определенной квадраптчной формой переменных йх„..., Нх.
при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (43.31), пю хоп является пичкай условного строгого минимума (максимума) для функции 1' относсипельно уравнений связи (43.3). Таким образом, чтобы последовать стационарную точку функпии Лагранжа (43.13) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (43.39), т.
е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (43,3) (когда дифференциалы йхь 1=1, 2, ..., и, связаны соотношениями (43.31)). При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажется положительно (отрицательно) определенным н без выполнения условий связи, то он будет таковым, конечно, и при их выполнении. Пусть, например, требуется найти точки экстремума функции 1(х, у) =ху, когда точка (х, у) лежит на прямой х — у=О.
Функпией Лагранжа в данном случае является Е(х, у) =-ху — Х(х — у), дР - др н так как „ — = у — Х, — =х+ Х, то для определения стационар. дх ' дв ных точек функции г (х, у), удовлетворяющих условиям связи, имеем систему уравнений к — у=-О, у — Л=-О, х+Х=О, пз которых следует, что х=.у=-А=О. Исследуем в точке (О, О) второй дифференциал функци" ~ (' у) ри выпал ен и уровнй связ, .
е'. когда Дх — Ду=о. Имеем (43. 42) для = 2йх йу, зкбч, Достаточные условия для точен условного экстремума 1! !' и, значит, при выполнении условий связи РР = с(хг г и О, (43.43) т. е. второй дифференциал (43.42), являясь неопределенной квадратичной формой, при выполнении условий связи превращается в положительно определенную квадратичную форму (43.43). Поэтому (О, 0) является точкой строгого условного минимума для рассмотренной задачи.
Впрочем в данном случае это легко усмотреть и сразу: вдоль прямой х — у=О функция ((х, у)=ху примет вид ~(х, х)=х', имея, очевидно, в точке х=О строгий минимум. Упражнения: Найти точки условвого экстремума функций при ука. заииых уравнениях связи: + хе+уз х ц и Ь' 2. г=хз+рз, — +--=1. х р о Ь 3. и=луг, ха+аз+ге=!, х+р+г=о. 4. и=ха+уз+аз, Ах+Ву+Сг+!э=о. и, и= 2х-1-у — г-1-1, ха+уз — 2гз — 22= О. б. Найти наибольшее значение фуиицнн г = ху в единичном круге ха+уз~ !.
7. В круг заданного радиуса вписать о-угольник наибольшей плошади. 6. Представить чвсло о > О в виде суммы слагаемых хт... х„так, чтобы а а а нронэаедеиие х„'х,,' ... х " (а; ) О, 1= 1,, л) принимало ианбольшее зиав чение. ГЛАВА ШЕСТАЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ' 5 44 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 443. ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА В л-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (МЕРА ЖОРДАНА). ИЗМЕРИМЬ1Е МНОЖЕСТВА Напомним кратко основные понятия, связанные с определением и-мерного объема (площади в случае а =2) и дадим новое опре-. деление понятия объема (меры) множества, которое будет отличаться от введенного ранее (см. п.
31.!). Пусть Ю" — л-мерное евклидово пространство (и=1, 2, 3,...). Его точки, как обычно, будем обозначать через х=(хг, ..., х„), где хь г=1, 2, ..., л — координаты точки х в некоторой раз и навсегда фиксированной системе координат. Зафикснруем целое неотрицательное число А, (/г=О, 1, ...). Рассмотрим г-ю координатную ось (г'=1, 2, ..., и), т.
е. множество точек х с координатами х,=...=хг,=-хг„=...=х„=-О. Через ее точки с координатами вида хг =- 10-"т, лг = О, .+- 1, .+. 2, ... проведем ортогональные этой оси гиперплоскости размерности л — 1. Множество всех таких гиперплоскостей, построенных для всех координатных осей хо г = 1, 2, ..., гг, порождает семейство и-мерных замкнутых кубов вида Я =~х: — „'„; -хг== ',+, г'=1, 2, ..., п~, (44Л) где пгг, при 1=1, 2, ..., л, пробегают независимо друг от друга множество всех целых чисел.
Кубы (44.1) назьгваются кубами ранга й, и их совокупность обозначается через Тм А=О, 1, .... Множество всех кубов ранга й, очевидно, покрывает все пространство, т. е. рл () ()л о'~е та Даа куба одного ранга могут иметь в качестве общих точек лишь некоторые свои граничные точки. В случае п = ! куб (44.1) является, очевидно, отрезком, а в случае л=2 — квадратом, 44ое Понятие объема в и-мерном лроетранстве 113 Число 1!10»" называется и-мерным объемом куба (44.1) н обозначается через РЯ": р()л еет 10-»л Для множества 5, представляющего собой объединение конечного или счетного числа различных кубов Ят данного ранга й, т'= = 1, 2, ...: Б=Цтте, ~~ ~Т„ ! его и-мерный объем )»5 определяется равенством РФ- ХФ6. т (44.2) целиком лежащих в Е, а через Я» — Я» (Е) множество точек всех и-мерных кубов ранга й, каждый из которых пересекается с множеством Е по непустому множеству (А=О, 1, 2, ...): з»(Е)= Ц Ял Ол с е Е„(Е) = Ц (), О т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
