kudryavtsev2a (947416), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ди совф В выражении для дифференциала с(и коэффициенты с(х и с(у ди ди являются производными — и —, поэтому нз (41.115) сразу полудх ду ' чаются обе формулы (4!.112). Найдем далее вторые дифференциалы сРг и гуф из (41.114): гуг = — в1п фс( ср с(х + сов ф с(ф с(у = яп' ф дхв — 2 сов ф яп ф дх ду+ созе ф дув в( ф = — 1 — ' с(х+ — с(у (йр+ ~ — Йх — —, с(д) с(г = / сов ф яп ф '~ / ззп ф совф „в 2 сов ф яп ф дхв — 2 (созе ф — япв ф) дх ду — 2 сов ф яп ф дув Теперь из (41.115) для с(ви получим сРи = — с(г'+ 2 — в(г с(ф+ — с(фг -1- — — срг+ — в(вф = дгв дг дф дзи 2созфз|пф д*и япвф д'и = '(сов ср — — — + — + дгз г дг дф гв дфв + — "" 'р — и+ ~~ф""ф — "-1с(~в+2( )0~в(у+( )с(ув г дг дф/ дзи Отсюда и получаются выражения для вторых производных —;, д'и де и дх ду дув — — и — как соответственно коэффициенты при с(хв, 2в(хс(у н бд"-.
Аналогичные методы применимы, конечно, и в случае, когда производится какая-либо другая замена переменных х=х(и, о), 42нц Понятие зовгвииости функций у у(и, о), когда имеются производные высших порядков, а также когда речь идет о функциях большего числа переменных, .Уп р аж пение 22. преобразовать выраженно ! ги а, где и=и(х, у), к 'ортогоизльиым коордииатаи Ь т1, т. е. таким координатам, что дх дх ду ду д4 дц дч дц 23. Преобразовать уравнение у" — ху'з-1-егу'з=О, приняв у за новую независим!ю переменную, а х — зз функцию от у. дег дгг 24. В уравнении †. — - — =О перейтн к новыч независимым переменным дха д„з— и =х+ у, о =х — у. 1 /1 дг 1 даг! 1 Г~1 дг~'- Г! дг1а! 25. В выражении — г ~ — — -+ — — 1+ — г! — — + ! — — ) ~— 2 !хт дха уа дуз) 2 1~х дх/ 1у ду) ~ !г! дг ! дг! — --г! — — + — — ) перейти к переменным и, о, в=в(и, о), если и=ха, дев дав! .=, -=-.
( ж —,+ —,). . диа доз) Задача 27. В л-мериом пространстве преобразовать выражение ~ Ги 'а, где и=и (х,, ..., х„), к ортогональным координатам 4ь ..., 4„, т. е. такии координатам, что при !чь й выполняется равенство Х— дхг дхг — — =О,й 1,2,....л.
д$~ два г = ! ф 42. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИИ 2Л. ПОНЯТИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУПКЦИЙ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ Определение 1. Пусть на оп!крытом множестве 6 с: )сн заданы непрерывно дифференцируемые функции у;=грг(х), 1=1, 2, ..., т, х=(хз, ..., х ) с=6. (42.1) Если существу!от открытое множество гг в пространстве К', '„, а„, и непрерывно дифференцируемая на гл функция Ф(у,, ..., у„!), такие, что в любой точке к ~ 6 выполняютсл условия (грт(х), ..., гр,(х)) ев 1г и Ф(вз(к), ..., гр,,(х)) =ег (х), то функция !р называется зависимой на множеспгве б от функций грг, ' 4р -з. Определение 2. Если среди функций система (42.1) есть фукчс- ' ция, зависимая от остальных на множестве 6, то эта система позыва тся зависимой на множестве 6.
Если ни одна функция системы (42.1) не зав!гсгггп от остальных на множестве 6, то эпш система пазысаетсч независимой нв 6. э «2. Зов!!си.иост» срусскцш! Иногда для краткости вместо выражения «зависимая (независимая) система функций» будем просто говорить «зависимые (соответственно независимые) функции».
В вопросе зависимости системы функций (42.1) фундаментальную роль играет матрица Якоби этой системы — «=1,2,...,т; 1=1,2,...,п, (422) Р дхс ! — номер строчки, ) — номер столбца. Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть т«п и сиспгема функций (42.1) зависима на открытом множестве 6.
Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби (42.2) а! этой систелсы меньше т. Док азательство. По условию, система функций (42.1) зависима на 6, т. е. по крайней мере одна из этих функций зависит от остальных. Пусть для определенности ср„зависит от Ч'! ° ° ° ° срт-т: гр (х)=Ф(срт(х), ..., !р„, т(х)), х~6, где Ф вЂ” непрерывно дифференцируемая функция от (т — 1) аргументов у„..., у„!. Отсюда иг — 1 ду,„'ст дФ ду; — — — -'- для всех 1=1, 2, ..., и. дхс,~~ ду! дхс. с=! Эта формула показывает, что т-я строка матрицы Якоби (42.2) в каждой точке х ~ 6 является линейной комбинацией остальных строк этой матрицы, и, значит, ранг матрицы Якоби (42.2) меньше т в каждой точке хе-:6.
(1 Следствие 1. Пусть т = п и система функций (42.!) зависима д(у„..., у„) на 6. Тогда ее лкобиан (Уи "' ' "" равен нулю во всех точках множеспсва 6. Следствие 2 (достаточные условия независимости функций). Пус'ть т «п и пусть ранг матрицы Якоби (42.2) хоть в одно!с точке открытого множества 6 равен т. Тогда система (42.1) независима на множестве 6. Следствие 1 получается сразу из доказанной теоремы при т=-п. Следствие 2 легко доказывается от противного. Поскольку строки матрицы Якоби (42:2) являются координатами градиентов функций (42,1), то теорему 1 можно перефразировать следуюшнм образом. Напомним, что рангом матрнпы называется максимальное число ее линейно независимых строк. Это число совпадает с максимальным порядком лги~ора этой матрицы, не равного нулю, 42.2. Достагочнь~е условия вависилюсги гйуякциа Если ссссспема функций (42.1) зависима в области 6, то ерадиенты 7сро ..., Тср„этих функций линейно зависимы в калсдой точке 6.
42.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ В этом пункте сохраним обозначения предыдущего пункта и будем, как и раньше, предполагать, что функции (42.1) непрерывно дифференцируемы на открытом множестве 6 с: )гв. Теорема 2 (достаточные условия зависимости функций). Пусть ранг матрицы Якобсс (42.2) системы функций (42.1) в каждой точке открытого множества 6 не превышает числа г, г т==п, а в некоторой точке хоо е= 6 равен г, иначе говоря, существуют такие переменные хП,..., х, и функции у;, =ср;, (х),..., у, = р; (х), что д (хне "' ' суг)1х'в' (42.3) (у»" уд ! д(хи "., х,) (я~в~ (42.4) (этого всегда можно добиться, перенумеровав в случае необходимости функции и аргументы системы (42.1) в нужном порядке).
Согласно следствию 2 из теоремы 1 п. 42.1., функции у„..., у, независимы в 6. Покажем, что каждая из остальных зависит от них в некоторой окрестности точки хпо =(х', ..., х„"'). Пусть ус" =~р,(х<в~), (=1, 2...,, т. Рассмотрим систему первых г функций системы (42. 1): у,=ср„(х„„., х„) (42.5) у,=~р„(х„..., х„). Прежде всего выберем такое Чв, чтобы всякая точка х =(хм ..., х„), принадлежащая Чв-кубической окрестности точки хм1, т. е.
всякая точка х, для которой ~х; — х)" ~(Ч„(=1, 2, ..., и, принадлежала множеству 6: х ен 6. Это всегда возможно в силу его открытости. Далее, в силу условия (42.4) и теоремы о неявных функциях (см. п. 41.3) система (42.5) разрешима относительно переменных Тогда все г функций, входящих в условие (42.3), независилгы на личожсстве 6 и существует окресп ность точки х<в1, такая, что любая из оставшихся т — г функций зависит на этой окрестности от указанных г функций. Доказательство. Пусть для простоты записи условие (42.3) имеет вид 4 4Д Зависал»ст» фусккай х„..., х, в некоторой окрестности точки (х~'>, унн): х, =1» (уп ..., У„х„„..., х„), (42.б) х» =- >» (у! ° ° ° уг хг»»~ ° ~ х») При этом функции г"„..., ), определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (у7',..., у,", х,"'» >,..., х,'"').
Более подробно (если в качестве окрестностей брать кубические окрестности) это означает следующее; можно выбрать такие числа 6 ~0 и т()0, причем для удобства взять их меньшими»)»: 6(т)»', Ч(т(„что если через (l обозначить кубическую окрестность точки (у>"', ..., у,", х»" ьь ..., х„'"), задаваему>о неравенствами (у,— у,'"!~6, 1=1, 2, ..., г, ~х,— х,'"'~(6, )=г+1, ..., и, то 1) на окрестности (7 функции г», 1=1, 2, ..., г определены и непрерывно дифференцируемы; 2) для всех точек (у„..., у„х,,п ..., х„) ~() справедливы неравенства ~1»(Уь °, У х,~>, ..., х„) — х»" ~(>1, й=-1, 2..., г; 3) на окрестности (7 выполняются равенства Ч>>(11... ~ l» хг~», " ~ х»)=у>, >= — 1, 2, ..., гф где под )», й =-1, ..., г, понимаются правые части равенств (42.6).
Рассмотрим композицию функций (42.6) и <р.»»(хп ..., х»), т. е. функцию у>н=ч„„ф, ..., )„х„>, ..., х„), (42.7) где )»='>»(уп ..., у„х„„..., х„), А=1, ..., г. Эта ело>иная функция заведомо определена и непрерывно дифференцируема иа указанной выше кубической окрестности У точки »~ нп ~»> ~о~ (у), ..., у,, х,+и ..., х„). Покажем, что на самом деле функция (42.7) в этой окрестности (7 не зависит от переменных х„„..., х„, т. е. не меняется при их изменении, н тем самым является фактически лишь функцией переменных у„..., у,.
Для этого достаточно показать, чт» для функции (42.7) иа окрестности (7 выполняется равенство ~'"=-О, (=г+1, ..., и (42.8) дх (см. п. 20.4 илн формулу конечных приращений Лагранжа в п. 39.2, из которой сразу следует достаточность условия (42.8) для независимости функции от переменных х, „..., х„в выпуклой области, а следовательно, н в кубической окрестности). 42.г. Достаточные усвов»»в вависилости функк»»й Для доказательства равенства (42.8) зафиксируем одно из 1 (1=«+1, ..., п) и координаты х„с индексами «с, принимающими значения «+1, ..., 1 — 1, 1+1... п, обозначив их через хы пРичем выбеРем хх так, чтобы ~хв — хх" ~<6, те=«+1, ..., 1 — 1, 1+1, ..., и. Рассмотрим отображение У1 =Ум (42.9) Уг =Ус» Уг» 1 тугч1((1» ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
