kudryavtsev2a (947416), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть выполнено условие (41.81), Вместе с (41.79) оно достаточно для наличия строгого экстремума функции Р(х, у) в точке (х„уе) (см. теорему 3 в п. 40.2). Поэтому существует окрестность (7 точки (х„, у„), такая, что прн (х, у)енУ и (х, у)~(х„уа) либо всегда Р(х, у))Р(хе, уа), либо всегда Р(х, у)(Р(ха уе), и так как Р(ха, уа)=0, то Р(х, у) ФО для всех (х, у) вне, (х, у)Ф(хо, уа), т. е. (х„у,) является изолированным решением уравнения (41.77)е*).
Пусть теперь выполнено условие (41.82). Разложим функцию Р(х, у) по формуле Тейлора в окрестности точки (х„уе) до слагаемых второго порядка; тогда, приняв во внимание условия (4!.78) н (41.79), получим: й 4х неявные фуннчии В зтпх координатах Р(к1 у) = ~ (Рвв соз'ф+2Рхвсоз ф Б!и ф+Р'„3!и'ф)+0(Г') = = -'- Р(!р)+о(г'), (41.86) где Р (!р) = Р'„сох' ф+ 2Р'„, соз ф з(п ф+ Р'в з(п' ф, (41.87) илн при !р ~ — (2й+1), Й=О, +. 1, +. 2, ..., Р (<р) созв !р (Рх + Рвв 1д ф+ Р,',в 1дв ф).
(41,88) (41.89) ф!Ф и/2, !р,~ + п(2, и из (41.88) следует, что Р (ф) = созв !р (1я !р — 1д ф!) (1д !р — 1п !рв), (41.90) Из формулы (41.90) видно, что функция Р (ф) при чь — "-(2й+1), Й=О, !-1, + 2, ... обращается в ноль только для !р=фх+йп и !р=ф,+йп, й=О, .+.1, !-2, ..., причем при пе- реходе аргумента через эти значения она меняет знак.
Нам бу- дет удобно интерпретировать Р(ф) как функцию точки окруж- ности С с центром в точке (х„у,) и радиуса, равного 1 (такой радиус выбирается для простоты, чтобы длины дуг совпадали с углами ф). Пусть е -» О. Обозначим через У, =- У, (е) открытый угол, определяемый неравенством ф,— е(ф(ф,+е, т. е. Ух= ((г, ср): !р,— е(ф«рх+е», соответственно положим У,= — ((г, !р): !р,— е(<р(!р,+е»; при этом выберем е)0 столь малым, чтобы У, и У, не пересекались и не содержали в себе полуоси ординат, а значит, и вообще вертикальных полупрямых (последнее всегда можно выполнить вследствие условий (41.89)). Пусть У! и У,* — углы, центрально симметричные с У! н Ув относительно точки (х„у,): У! = ((г, !р): <р + и — е ( <р ( !р! + и + е», Ув ((г> ф) фв+л е(ф(ф2+л+е»' Предположим теперь, что выполнено также и условие (41.83).
Пусть й, и А,— корни уравнения (41.84) и пусть ф,=агс18/г! и фв=агс1айв, Тогда 413. Особые точки В силу выбора числа е множества 0„(те, (г'г' и (Уе попарно не пересекаются (рис.154). Рассмотрим теперь Р(гр) как функцию точки вышеуказанной окружности С. Точку окружности С, которой соответствует полярный угол гр, будем для простоты также обозначать через ф. Удалим из указанной окружности интервалы с центрами в точках гры ф„ грт+и и фа-т-пдлины2и""', в силу выбора е»О эти у интервалы не имеют общих точек. Оставшееся множе- -в + тт+и ство, котоРое обозначим че- тег 4г В рез В, является ограничен'ным и замкнутым, а следо- .е14 Р вательно, компактом. На В функция Р(ф) непрерывна и ие обращается в нуль, а поэтому и;, Реы(й+г1 л 1п( )Р(ср) ! =(а)О.
(41,91) м ~/ Обозначим через Кр рл+М" замкнутый круг с центром в точке (х„уе) и радиусом р: Рис. 154 К =((г, ср): О~г~р), а через Ь обозначим множество, которое получается вычитанием (в теоретико-множественном смысле, см. п. 1.1) множеств (у'„(г'„(У1 и с(1 из круга К„.
Очевидно„что в силу (41.91) 1п1 ! Р (гр)' ,= (а О. (о ф1 е н Теперь, замечая, что из (41.86) следует Г(к, у) = — 1Р(<р)+а(г, гр)1, (41. 92) где 1ппа(г, ф)=О, выберем р О так, чтобы при г(р выпол- г о нялось неравенство 1а(г, гр) ) р. (41.93) Тогда из (41.92) следует, что для всех точек (г, ф) ~К выражение, стоящее в правой части формулы (41.92), имеет тот же знак, что и Р (ф). ю Интервалом клины 2а на окружности с центром в точке, полнрный угол которой ранен фа, называетсн множество ее точек, полнрные углы ф которых уловлетвор лют неравенству фа — е.С ф ( фа+ в.
у 45 Неявные 4уахциа Множество 1.„состоит из четырех замкнутых секторов (см: рис. 154), на каждом из которых, за вычетом их центра, функция Р(~), а значит, в силу выбора и, и функция Р(х, у) принимают значения одного и того же знака, а на соседних секторах — разных. Рассмотрим теперь угол У,=-У,(е). Пусть для определенности 0 =... ~р,~л~2. Пересечение замыкания бт, угла У, с верти; кальной прямой х=х", х,< х'- х,+рсоа(~,+е), представляет собой отрезок, на в рхнем н нижнем концах которого функция Р'(х*, у~ принимает значения разного знака.
функция Р(х*„у), рассматриваемая как функция одного переменного у прк фиксированном х*, будучи непрерывной на указанном отрезке, о5рашается в некоторой его точке у* в нуль, т. е. для каждого х','- где х,<х*=х,+рсоа(<р,+е), существует по крайней мере одна точка у", такая, что Г(к*, у*) = О, (х*, у*) ~ !У„(е) Д Ке. (41.941 Определим у=~,(х) как функцию, ставящую в соответствие числу х' число у': р,(хе).=у~, х,(х"' -"х,+рсоа(гр,+е). Покажем, что при достаточно малых е и р функция р', определена однозначно, т.
е. существуют такие е)0 и р'- О, что при заданном х"' условия (41.94) однозначно определяют у', Допустим противное. Возьмем последовательности е„- 0 н р„- 0 при а-+.оо. Тогда существуют две последовательности точек с одинаковыми абсциссами х, и разными ординатами у,' и у„", такие, что (х„у,') ~У,(е„)() Ке„, Р(х„, у,,') =О, (х„у„') ~ У, (е„) Ц К„, Р (х„, у„") = О.
Тогда в силу теоремы Ролля на отрезке (у,'„у,,) прямой х=х„ найдется точка у„, такая, что Р,(х„, у„) =О, (41.95) при этом очевидно, (х„, у„) ен (у, (е„) 1) К; по условию (см. (41.79)) мы имели еще Р„(хм у,) =О. (41.9б) По формуле конечных приращений, примененной к функции Р,(х, у), Р„(х„, у„) — Р„ (х„ у„) = Р„,.(Е„, т)„) (х„ — ха) + Р т (Ел ть,) (у уо), (5„, т)„) е- :У, (е„) П К „, ада Особые тоска откуда в силу (41.95) и (41.96) Р„(~., Ч.)+Р,у(~., 9.) — ","-"." =О. (41.97) Пусть (хко у„) =(г„, тр„). Очевидно, 1ор„— орв ~(е,; а поэтому из УсловиЯ е„-аО следУет, что оР„-аорт пРн п-ыоо, и так как 1д ф — то «л «в 1 ип У" У' = 1д ср, = А,. х„— хо (41.98) Переходя к пределу в равенстве (41.97) при п-~.со, в силу (41.98) имеем о о ~ку.
Р'„'у+дуайт=О, т. е. й,.= — —, ку * ' ' ' уо о подставляя это значение корня в уравнение (41.84), получим Р,',)оуу — Рк„= О, что противоречит условию (41.82). Итак, функция у=) (х) действительно однозначно определяется при достаточно малых е и р. В дальнейшем будем предполагать, что е и р выбраны именно таким образом. Доопределнм функцию ~, в точке х„положив ув=~т(хв). Очевидно, по самому определению функции ),(х) имеем Р(х, 1,(х))=0, хо-=.х(хо+рсоа(ос,+в). Покажем, что в точке х, у функции 7т(х) существует правосторонняя производная и что она равна й,. Пусть произвольно фиксировано е) О.
Из вышеизложенного следует существование такого р=р(е))0, что соответствующая часть графика функции 1,(х) целиком лежит в 1к',(е)() К: (х, ), (х)) ~ (7, (е) П Кр, хо-- х-= хо+ р сов (орт+ е). (41.99) Возьмем 6=рсоа(Чо,+е) и пусть х таково, что 0(х — хо(8, у=),(х) и (х, у)=(г, Ч). В силу (41.99) имеем ~Чо — Ч,~(е. Это означает, что 1ип ср=тс, и поэтому 1пп 1дор=1дор,.
По« к,+О к к,+О скольку 1ясо= —, то из доказанного следует, что У вЂ” Уо х — хо' Вш й( ) й(х') = 1ип " "' = 1нчом «,~.О х хо к к;~.О х ха Я™ т. е. у функции 1,(х) существует производная справа в точке х„ р ш ая 1н р,=й,. Подобным же образом из рассмотрения поведения функции Р(х, у) в угле 01 доказывается, что при некотором б' "з 0 на 78 У 46 Неявные функции отрезке [хв — 6', хв] существует функция [,(х) такая, что прн хв — 6'==х= х„: Р (х, 1, (х)) = О, (х, 1, (х)) ~ (71, 11 (х,) = й, (под производной, естественно, в данном случае понимается левосторонняя производная). Если число р взять столь малым, чтобы в круговой окрестности радиуса р точки (х„у,) не содержалось других особых точек уравнения (41.77), кроме (х„у,), то функция 1,(х) будет дифференцируемой и во всех точках хФхв. Это сразу следует из доказанной выше теоремы о неявных функциях (см.
теорему 1 в п. 41.1). В результате мы и получили функцию ~',(х), определенную в некоторой окрестности точки х, и обладающую всеми требуемыми свойствами. Аналогично доказываетсЯ сУществование фУнкции 1я (х), также являющейся решением уравнения (41.77) и удовлетворяющей условиям теоремы, причем график этой функции проходит в углах Уе и И и через точку (х„у,). Если Р'„, =О, а Р'„ФО, то все рассмотрения проводятся аналогичным образом', следует только поменять местами роль осей Ох и Оу, так что в результате получим решения уравнения (41.77) в виде функций от переменной у:),(у) и 1я(у). Если, наконец, Р,'„=Р„'„=0 и, значит, Р;в~О, то проще всего выполнить замену переменных: х=$+в1, у=$ — и (повернуть оси координат на угол п14), Тогда (как легко убедиться непосредственно дифференцированием) Р1в = — Рщ = 2Рке Ф Ов Р1ч =Ое т.
е. в новой координатной системе получим уже изученный слу. чай. В частности, уравнение (41.84) для угловых коэффициентов касательных в особой точке в координатной системе $, Ч имеет вид йе — 1=0, и, значит, йья=-~-1. Иначе говоря, биссектрисы координатных углов, являющиеся координатными осями в старой системе коорди- нат х, у, суть касательные к графикам двух функций, которые определяются уравнением (41.77) в некоторой окрестности рассмат- риваемой особой точки. [ ] Если уравнение Р(х, у) = О является неявным представлением какой-либо кривой, то в особой точке (хв, уе) этого уравнения кривая может (хотя и не обязана) иметь какие-либо особенности, т.
е. в окрестности особой точки этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции. Следует напомнить также, что множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (41.77), вообще говоря, не является всегда кривой в смысле данного ранее определения кривой (см. п. 16.2*), задаваемой параметрически. 4ЬУ. Особые точки Примеры. 1. Пусть дано уравнение д'(х'+д'+1) =О. Здесь г (х, д)=дэ(х'+д'+1), а поэтому Р„=2хд', Еи=2х'д+4д'+2д. Условия наличия особой точки (4!.78) и (41.79) дают в этом случае х,==О, д,=О. Таким образом, особой точкой является (О, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
