kudryavtsev2a (947416), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(х:(х„хо ., х„т, О) енЕо, а==х„=-Ь) назыазепься и-мерным ьЬььлиндрояь с основанием Е, и образующей (пария:геяьной коордьтатной оси х„) длины Ь=-Ь-а. г24 й лй Кратные интегралы в (Е) = () ( ) дц. (44. 30) Аналогично, число г и-мерных кубов ® из Еа(Е), проектирующихся в один и тот же куб Ят из 5а(Ев), одинаково для всех ! =1, 2, ..., гп, поэтому Е (Е) = О О ®. (44. 3 1) — у= ! Р Проекция множества О д,", на ось ха является отрезком длины 1= ! р(10", причем р(104 =А, (44.32) *' ПРОЕКЦИЕЙ ПРх„Е ИНОжЕСтаа Е = (Св На ГИПЕРПЛОСКОСтЬ йв-! =- (Х:.т„=в» называется множество точек аида (х„..., х„ь О) длн каждой из которых существует такое х„, что (хг, ..., х„,, х„» еи Е.
Очевидно, что, используя понятие произведения множеств (см. и. 1.2* или 4!.2) можно сказать, что цилиндр Е является произведением множеств Е„и отрезка [а, (г): Е =-Ев;;'(а, Ь1 Если Е, — ограниченное множество, то и цилиндр с основанием Е, является ограниченным множеством.
Отсюда следует, что всякий цилиндр, в основании которого лежит измеримое множество, ограничен, ибо измеримое множество ограничено. Теорема 2, Если Е,— измеримое по Жврдану множество пространства )св-г, то всякий и-мерный цигиндр Е с оснвваниел! Е, является измеримым по Жордану лгножеством в пространстве )х", и р,Е = йр„гЕа (44.23) где )г — длина образу!пи(ей цилиндра Е.
Следствие. Если основание цилиндра имеет (и — 1)-мерную меру, равную нулю, то сам и-мврный цилиндр имеет п-мернуго меру, также равную нулю. Лак аз атель ство теоремы. Прежде всего залетим, что проекция *! каждого и-мерного куба Я" ранга й является (и — 1)- мерным кубом Я"-! также ранга й и »гЯл (10 — а)»гял-! (44.29) Обозначим через д," ', „., д!" ' (и — 1)-мерные кубы ранга lг! составляющие множество ва(Е,), а через (~!" ', ..., К, ' — (и — 1)- мерные кубы, составляющие За(Ев). Пусть д!"„..., д,", суть и-мерные кубы из ва(Е), проектирующиеся в куб де ' с:ве(Е,).
Поскольку Š— цилиндр, то число р таких а-мерных кубов дву одно и то же для всех !=1, 2, ..., 1, поэтому 125 4/./. Пенат!се об.непа е и-вернон проетранетее ибо все кубы с/ну содержатся в з» (Е) и, следовательно, в цилиндре Е. Проекция >ке указанного множества на гиперплоскость /гн-! пред- ставляет собой один из кубов с/н.-с, поэтому р и — ! Р з (Е) =,~„,~, Р.с/т =- „~н,~ — 10» 1сн 4/ т= ! /=! с=-! с'=- ! с %> н-! О ~ 1» с/с = !от,р — З»(Е»). (44.33) Проекция <столбика кубов» ( ) 1/,"/ (рис.
167) на ось хн есть с=- ! отрезок длины 10-»т, причем г 2 /с '.=- 10» "+ 10 (44.34) Далее, каждый такой столбик проектируется на )7»-! в куб Щ ', либо содержащийся в з»(Е,), либо в и» (Ее) = Ю» (Е») 'н,з» (Е») (множество о» (Е») было введено при доказательстве теоремы 1), Поэтому гиперплоскость гс ге нс г нс г Р„З»(Е) = ~~', ~ рА//=~„~~, 10» рн-»с/с с=!/=! с=-! /=! 1/»» т~ 1»~-»снес = 10» 1рэ» (Е») + ро~ (Е»)1 (44. 35) Наконец, заметим, что каждый из столби- Г ков ( ) ®, который проектируется в куб с/н-!с /=- 1 Р с=. з» (Е»), отличается от столбика ( ) с/э проектирующегося в тот != ! же куб с/п-т, лишь двумя кубами, добавленными к нему снизу н сверху (в смысле убывания, соответственно возрастания, координаты х„(см.
рис. 148). Поэтому г=р+2. Отсюда и из неравенств (44.32) и (44.34) имеем 10» 1О» 10» '" )10» Е 44. Кратные интеграла В силу этого из неравенств (44.33) и (44,35) получим Р.Е»(Е) — и.. (Е) =',о, 'Рл»з» (Ео)+ т 2 г' 21 + 19» Ро» (Ео) — )ỠР— гЕо+ ~)т+ 15»~ Рп»(Ео), 2 и поскольку 1(т — „=-О, Вт Ро»(Е,)=0, то » ол»- лл 1(ш (Р„З»(Е) — Р,з»(Е)]=0. (44.36) » +лл Множество Е„как всякое измеримое множество, ограничено. Нетрудно убедиться, что диаметры с((Е») и»1(Е) множеств Е, и Е связаны соотношением »1 (Е) =Я») (Ео)]в+йз, из которого следует, что множество Е также ограничено.
Поэтому, как было упомянуто выше, оно имеет конечные верхнюю и нижнюю меры. Нз формул (44.4), (44.5) и (44.36) следует, что они равны: Р»Е= =Р»Е, т. е, множество Е измеримо. Докажем теперь формулу (44.28), Для этого умножим неравенство Рл-»З» (Ео)-- РЕо == 1»л»$» (Ео) на й. Применив неравенства (44.32) и (44.34), будем иметь (см. также (44.33) и (44.35)) Рлз» (Е) = 19» Рл-»з» (Ео) ~ йРЕо '-- 19» Рл-»Е» (Ео) = РлЕ» (Е)ю причем обе части получившегося неравенства в силу.
(44.36) стремятся при й-».оо к одному и тому же пределу РЕ, откуда и следует формула (44.28). Задача 29. Построить пример неизмеримой по Кордану области. задача зо. Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора декартовой системы координат. 44.2. МНОЖКСТЬА МКРЫ НОЛЬ В предыдущем пункте было установлено, что множество измеримо по Жордаиу тогда и только тогда, когда его граница имеет меру ноль. Поэтому важно иметь признаки, по которым можно было бы установить, что множество имеет меру ноль.
Достаточно общим примером множеств меры ноль являются цилиндры, в основании которых лежат множества меры ноль (см. следствие из теоремы 2). Другой широкий класс множеств меры ноль дается в нижеследующей теореме. Тепрел»а 3. График еслкой нспрерьиной на колтаки»е функции имеет меру ноль. Доказательство. Пусть функция у=.~(х)=)(хы ..., хл) непрерывна на компакте А ~ )т,". Пусть Š— ее график, т.
е. вв.2. вгнонеегва меры ноль 127 множество таких точек (х, у) =(х„..., хн, у) в гг-мериом пространстве Я,"вг ', что (хг, ..., х„) еи А, а у = 1'(хг...,, х ): Е=((х, у):(х„..., х„) ~ А, у=1" (х„..., х,)). Покажем, что (и+1)-мерная мера Жордана множества Е равна нулю. Множество А будучи компактом, ограничено. Поэтому существует такое натуральное число и, что и-мерный куб Р„= (х: — и == хг =- и, г = 1, 2, ..., и) содержит множество А: Р„:э Л, Теаг более куб Р„„=(х: — пг — 1===хг= и+1, 1.=1, 2, ..., п) Рве. 168 Обозначим через н(б) модуль непрерывности функции гни А. Замечая, что диагональ (диаметр ьг) и-мерного куба с ребром длины 1(10 Равна )'пгг10~, длЯ высоты йгао каждого столбика 5аге имеем (см.
рис. 149) оценку и' =--Г)+ —. <О /Кпг 2 (44.38) ~ гав! 1О ' Действительно, для оценки высоты )г1п к расстоянию ег(10-а)ел) ье ь » . Фу щ ггв ы ь' Определение диаметра множества см. определение 11 в и. 12.6, также содержит А:Р„ьг~А и, более того, каким бы ии был куб Я некоторого ранга Й=О, 1, 2, ..., пересекающийся со множеством А, т. е. Я ~ 5„(А), он также содержится в Р „,:9с= У с:Р +г. Поэтому при любом й имеем 5а(Л)с:Р ь,. Здесь и в дальнейшем через 5„(А), 5„(Е), как и в и.
44.1, обозначаются множества точек всех кубов ранга й, соответствующих пространств, пересекающихся с множествами А с Е„", Е с Я,"+ '., — -4 -2, Множество 5а (Е) распадается чм,г иа конечное число «столбиков» 5~~1, каждый из которых состоит из (и+1)-мерных кубов ранга Й, имеющих одну и ту же проекцию (см.
сноску на с. 124) 4 в пространство )с„' (на рис. 168 изображен случай п=1): 5а(Е)=( ) 5а~, прд5аю=4~, й=О, 1, 2, .... (44.37) В пз. Кратпые иптегралм 128 кубе ф> достаточно добавить длины ребер самого нижнего и самого верхнего кубов рассматриваемого столбика У„'> (зта оценка достигается, когда точки графика, соответствующие указанным экстремальным значениям, окажутся на гранях кубов ранга /г). Из (44.37) и (44.38) получаем: )зЯ" (Е) = 1т Ц Зао = ~ 1$5а' = ~', йр'1тбщо .= 4 4 ~~аз Я+ — — ~ ~ )т®~(~тэЯ+ — ~1тР,д.
(44.39) Поскольку функция г непрерывна на компакте, она равномерно непрерывна на нем, и поэтому 1пп ат(10-е')т'л)=-0, и поскольку -1- ат !пп — =О, то из (44.39) имеем Игп цап(Е)=0, а это и озна- 2 е 1о а- чает, что 1таЕ=О, следовательно, и 1тЕ=О.
П В силу теорем 2 и 3 всякое ограниченное множество, границу которого можно представить как объединение конечного числа множеств, каждое из которых представляет собой либо часть графика непрерывной на ограниченном замкнутом множестве функции, либо часть цилиндра с основанием меры ноль, является измеримым множеством, ибо, в силу аддитивности меры, мера границы указанного множества равна нулю, и, следовательно, согласно теореме 1 оно измеримо. Таким образом получено описание достаточно широкого класса множеств, измеримых по Жордану и часто встречающихся в математическом анализе и его приложениях. Так, например, плоские множества (криволинейные трапеции, «секторы> кривых, заданных в полярных координатах, а также тела вращения, площади и соответственно объемы которых вычислялись в 3 32 с помощью одномерного интеграла Римана, являются измеримыми по Жордану множествами, ибо, как нетрудно убедиться, их границы имеют меру ноль. Подобным же образом измеримы по Жордану параллелепипеды и эллнпсоиды, в частности — шары, так как их границы можно представить в виде объединения графиков непрерывных на компактах функций.
Заметим, что в 9 31 было введено понятие меры шезб для открытых множеств. Сравнивая ее определение с определением, приведенным в п. 44.1, видим, что гпезб=раб, т. е. введенная в 9 31 мера является нижней мерой Жордана. Однако в силу сказанного выше все рассмотренные в примерах 9 32 множества были измеримыми по Жордану и, следовательно, для них мера шезб являлась мерой Жордана, т. е. для них имело место шезб= рб.
Представляет интерес обобщить теорему 3 на случай параметрнческн заданных множеств, в частности — на случай пара- 44.2. Множество леры ноль метрических кривых. Оказывается, что даже в этом случае одной лишь непрерывности рассматриваемых кривых недостаточно для того, чтобы они имели меру ноль. Существуют, например, кривые хе=хе(1), а =--1(ь, ! =1, 2, ..., и (хз(1) — непрерывные на некотором отрезке (а, Ь] функции), называемые кривыми Псано*!, которые проходят через каждую точку некоторого и-мерного куба и, следовательно, не имеют меры ноль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
