kudryavtsev2a (947416), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Действительно, если, например, Р,ФО и г=~(х, у) — функция, определяемая уравнением Р=О в окрестности точки (хо, у„го), то рл достаточно заметить, что ~„= — — „, )е= — —, (см. п. 41.1). Если функция Р(х, у, г) задана и непрерывно днфференцируема в области 6, то для любой точки поверхности, заданной неявно уравнением Р(х, у, г) =с (с — постоянная), получим уравнение касательной плоскости и нормальной прямой того же вида, что и в случае Р= О, если только в этой точке Р,' +Р,*,+Р,' ) О.
Множество точек (х, у, г) ен6, для которых Р=с, называется, как мы знаем, поверхностью уровня функции Р (см. п. 19.1). Таким образом, градиент тР=(Р„, Р„, Р,) в точке (хо, уо, г,) поверхности уровня Р(х, у, г) =с направлен по нормальной прямой к этой поверхности в точке (х„уо, го). Иначе говоря, градиент функции ортогонален к поверхности уровня (т. е. перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня в рассматриваемой точке).
Мы доказали существование касательной плоскости в неособой точке у непрерывно днфференцируемой поверхности при фиксированном ее представлении. Возникает вопрос: что будет, если перейти к другому представлению этой поверхности? Прежде всего, останется ли неособая точка неособой, а особая †особ? Оказывается, что да. Докажем это. Пусть г (и, о), (и, о) ен П, и р (и„о,), (и„ох) ен слм суть два представления одной н той же непрерывно дифференцируемой поверхности. Поскольку переход от любого представления непрерывно дифференцируемой поверхности к другому ее представлению осуществляется посредством регулярного отображения, то существует такое регулярное отображение Э од.
Элементы теории поверхностей При этом, как было доказано, якобиан отображения (50.14) не равен нулю нигде в замкнутой области П: дОР $) фи фи д (и, о) ) ф Ф 0 (и, о)яП. Продифференцировав тождество (50.15), получим Ги — фири, + фирс~ г,=ф,ри,+фль„,. (50.16) Следовательно, пара векторов р„о р„, преобразуется в пару векторов ги, г, с помощью невырождениой матрицы ф фи фи~ г„хг„'-„й О. Замечание.
Из формул (50.16) следует, что Г„ХГ,=(фиР„,+)Ь„Рс,)Х(ф,Р„,+ф,Р,,) =ф,ф,(Р,,ХРи,)+ +Ф,ф (р.,хр„)= д(„' „(р.,хр„). дй ° Ф) Поэтому для данной точки (и, о) векторы ги„г, будут линейно независимымн тогда и только тогда, когда будут линейно независимыми векторы р,„р,, в точке (им о,), получающейся из точки (и, о) с помощью преобразования (50.14), причем в случае их линейной независимости плоскость векторов ги и г и плоскость векторов р„, и ртн совпадают. Итак, неособая (особая) при данном представлении точка непрерывно ди44еренс)ируемой поверхности будет неособой (особой) и. при любом другом представлении япой поверхности, а плоскость, касательная к поверхности в неособой точке при одном представлении поверхности, будет касательной и при другом ее представлении.
Определение 16. Непрерывно ди44еренс)ируемая поверхность, у которой нет особых точек, называется гладкой поверхностью. В силу доказанного выше, чтобы проверить, что данная поверхность является гладкой, достаточно убедиться, что у нее имеется одно непрерывно дифференпируемое представление и при этом представлении нет особых точек. Следует обратить внимание на то, что у гладкой поверхности 5=(г(и, о), (и, о)еиП) векторные функции ги и г, не только непрерывны на замыкании области П, но согласно определению и, неколлинеарны на этом замыкании П. Иначе говоря, у гладкой поверхности (50.7) всюду на замкнутой области П выполняется неравенство 50.5, Первая квадратичная форма поверхности 247 Поскольку при допустимых преобразованиях параметров (50.14) якобиан . ф' нигде в гг не обращается в ноль то из полученд(а, о) ной формулы следует, что векторные произведения гвхг, и р„,хр., в данной точке поверхности могут обращаться в ноль только одновременно.
Но было показано, что необходимым и достаточным условием того, что данная точка поверхности при данном представлении поверхности г(и, и) — неособая, является неравенство пулю в этой точке векторного произведения г„хг . Тем самым еще раз доказано, что неособая (особая) точка поверхности при одном представлении поверхности будет такой же и при другом ее представлении. У и р а ж н е н н я 3. Составнть уравнення касательной плоскости н нормали к поверхности х=2и — о, у=и'-(-оа, г=ит — оз в точке Д((3; 5; 7).
4. К поверхности хрг=! провести касательную плоскость, параллельную плоскости х+д+г — а=о (а=сопМ). 5. Доказать, что все касательные плоскости поверхности г= — хт'(. -) /у) (,к) () — пронзвольнаяднфференцнруемаяфуннцня) проходят чсрез начало координат. б. Доказать, что все касательные плоскости, проведенные к поверхности х=и сов о, у=и мп о, г=аи+)(о) (а=сопзй ) — произвольная днфференцнруемая функцня) в любой точке ее ноордннатной линии о=с (с=сопзЦ, прокодят через фиксированную прямую. 50.5 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ Зафиксируем какое-либо представление г=г(и, и), (и, и) е50 данной гладкой поверхности и рассмотрим касательную к ней плоскость в некоторой ее точке.
Как мы видели, векторы г, и г„ образуют в этой плоскости базис. Векторы, лежащие в касательной плоскости, будем обозначать символом с(г, а их координаты относительно базиса г„и г„— через йи и йп*~. Таким образом йг = г„йи+ г, йп. Найдем квадрат длины вектора, лежащего в касательной плоскости, выраженный через координаты естественного базиса га и г (в линейной алгебре это выражение обычно называется основной метрической формой рассматриваемого пространства, в данном случае плоскости): ) йг (я = (г„йи+ г йп)' = г„'ймз+ 2гаг„г(и г(п+ гайра. Введем обозначения Е=г„', р=г„г, б=г,', (50.17) *' Это обозначевне естественно, нбо если вектор в касательной плоскости является касательным к некоторой крввой (50.8) на поверхности, то прн соответствуюшем выборе параметра вектор дг будет являться днфференцналоювек.
тора (50.8) н, следовательно, для него будет выполняться равенство (50.9). В ЗО. Элементы теории поверхностей тогда ~ йга ~ = Е йиз+ 2Р йи сЬ + б Ноз. (50.18) Определение 12. Квадратичная форма Е с(и'+ 2Р йи йо+ б аоа называется первой квадратичной формой поверхности е1, Посмотрим, как она меняется при переходе к другому представлению поверхности (см. формулы (50.14)).
Как известно (см. (50.16)), при этом базисы в рассматриваемой плоскости преобразуются с помощью матрицы Чи фи Следовательно, координаты векторов преобразуются с помощью транспонированной матрицы, т. е. матрицы Якоби ~Ри <рт Если матрицу первой квадратичной формы (50.18) при представлении поверхности г=г(и, о) обозначить через А, а при представлении р=р(и„о,) — через Аь т. е. А= ~, Е=г„, Р=г,г„б=тю Е Р1 '1Ет Рх1' Ах=~ ~, Е,=р,'„, Р,=р„,рсо б,=р,'„, 1 1 то, как известно из курса линейной алгебры,для первой квадра- тичной формы поверхности, как н вообще для всякой квадратич- ной формы, А = лаА,У, где через та обозначена матрица, транспонированная с матрицей Якоби е'.
Отсюда для соответствующих определителей или Еб — Р'=(Е б — Р)~ д(и, о) (50.19) в' То„что рассматриваемая квадратичная форма называется первой, объясняется тем, что существуют другие квадратичные формы, связанные с поверхностью.
Их изучение не входит в задачу настояпгего курса. 249 Б0.6, Кривые яв поверхности Заметим, что по самому своему определению первая квадратичная форма положительно определенна (действительно, если див+поз О, т. е. е(гз)ЕО, то (йг~в)0), а поэтому ее днскриминант положителен: Еб — Ез з О. В силу же отсутствия особых точек выполняются неравенства г ~ О, г ~= О, а поэтому из определении коэффипиентов .Е и б (50.17) непосредственно следует, что Е=>0 и б) О.
Если известна первая квадратичная форма поверхности, то можно, даже не располагая уравнением поверхности и не зная ее формы, решать целый ряд относящихся к ней задач, например находить длины лежащих на ней кривых и углы между ними, вычислять площадь частей поверхности. Совокупность всех свойств поверхности, которые можно установить, исходя из одной лишь первой квадратичной формы, называется внутренней геометрией поверхности. К рассмотрению подобных задач мы и перейдем.
Уира ж не н ни. 7. Какая из следующих квадратичных форм может служить первой квалратичной формой некоторой поверхности: а) вне+авиве+ +воз; б) она+бои во+рава; в) оиз — бонов+!Зооз; г) опз+2ои оп — ооз. 8. Найти первую квадратичную форму ееликоида (винтовой поверхности) к= и сев о, у=и яп о, г =оп+1(и) (а=сопзй 1 — произвольная дифференцируемая функция).
9. Доказать, что первая ивадратичная форма поверхности вращения приводима к виду оиз+ 6 (и) вез. 69.6. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ ДЛИН И УГЛОВ МЕЖДУ НИМИ Рассмотрим непрерывно дифференцируемую кривую (50.8), лежащую на данной поверхности (50.7). Предположим, что отсчет длины дуг з=з(1) на ней производится в направлении возраста- ния параметра, т.
е. что — „-)О. Как известно (см. п. 1б.5), в'з оз ! ес — = ~- — ~, откуда йз=(йг(, следовательно, см. (50.18), е(зз=(йг(з=йг'=Ейи'+2раийо+бйов, поэтому Таким образом, для длины Е кривой (50.8) получаем формулу ь Е = — ~ ') 7 Е (( — - ~ + 2)о — „— „+ б ( — ') Ж. Перейдем теперь к вычислению углов между кривыми иа поверхности. Определение 18. Если две кривые пересекаются в некоторой пючке, то углом между ними в этой аючке назаевается угол, Э 50.
Элементы теории поверхностей образованный их касательными в укаэанной точке (если, конечно, эти касательные существуют). Пусть две гладкие кривые, лежащие на рассматриваемой поверхности, пересекаются в .некоторой точке, Обозначим дифференциалы их представлений в этой точке соответственно через Й и бг, а коэффициенты разложений по векторам г„и г,— соответственно через.ди, г(о и би, бо; тогда ггг=г„гти+г,с(о, бг = г„ба + г„бо.
Поэтому если гр — искомый угол между кривыми, т. е. между векторами с(г и бг, то йт бт Е йи би+р (йи бо-1-йо би)+ О йо бо соз !р— !Лт ! ! бт ! )'Ейия+2рйи во+Овса) Ебих+2г" бибо+Обет У п р аж вен и я. !О. 2!окааать, что для того, чтобы координатные и- и о-линии на поверхности были ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы всюду на поверхности выполнялось равенство в=О. 1!. На поверхности с первой квадратичной формой воя+воя найти угол мехгду кривыми о=-2и, о = — 2и. 50.7.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Пусть непрерывно дифференцируемое представление г(и, о) рассматриваемой гладкой поверхности Я определено на замыкании О квадрируемой области О. Рассмотрим разбиение Ть плоскости переменных и и о на квадраты некоторого ранга в. Поскольку из квадрируемости области следует ее ограниченность, то замкнутая область Й окажется покрытой конечным числом квадратов ранга и. Пронумеруем каким-либо образом все не- пустые пересечения этих квадратов с замкнутой областью О и обозначим их через Еь !'=1, 2, ..., га.
Тогда т = (Ег: Е =1) П ~ Ф 9 Я вн Та) Рис. 202 образует разбиение замкнутой области б (определение разбиения см. в и. 44.3). Рассмотрим множества Еь которые представляют собой полные замкнутые квадраты, лежащие в области хх (при достаточно малой мелкости разбиения т такие непустые множества Е; всегда существуют; почему?). Совокупность всех указанных множеств Ег обозначим через т(дО) (ср.
с п, 44.4). Возьмем какой-либо квадрат Ег е- =т(дхл) (рис. 202). Пусть длина его стороны равна,й, а .Рг — одна из его вершин. Тогда 25! 50.7. Площадь поверхности при переходе от вершины Р; к соседним вершинам радиус-вектор р(и, о) с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем И, получит приращения, равные по абсолютной величине соответственно числам 1р„й~ и 1я;И ~ ибо р(и+И, а) — г(и, о) =г"„И+о(й), р(и, о+И) — г'(и, о) =р,И+о(й). При определении площади поверхностя будем образы квадратов Е; ~ т(дР) заменять прямолинейными параллелограммами, построенными на векторах г„й и р,й (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
