kudryavtsev2a (947416), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Упзоажнения. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линиями: 3. у =2х, х+у=4, у- 1; р (х, у) =х+у, 4. у=2к, у= — 2, у=4х — 2; р(х, у)=2) х)+(у (. Найти статические моменты относительно осей координат однородной плоской фигуры (р=р,=сапы), ограниченной заданными линиями: 5. уз=4х, к+у — — 3, х=О. 6, у=хе, х-)-у=2, х=о. Найти координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной указанными линиями: 7. ко+Уз=4, хе+Уз=1, У)0; Р=Ро=сопз1. 8, уе=4к, у=2, х=О; р(х, у) =х. 9.
г=)'2, к=2 миф(0(ф~и/2, гЪ-) 2), р=ро=сопз! (г, ф — поляр- ные координаты). 1О. х=ас(м'С 'у=ион)об у=О (0(1~и), р=ро=сопз!. й 50. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 50.1. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ Пусть в пространстве )чз фиксирована декартова система координат х, у, г. Декартовы координаты в плоскостях, в которых лежат отображаемые области, будем обозначать буквами и, о, сами эти области — буквой 0, рассматриваемые их отображе. ння — буквами 1', г, р (быть может, с теми или иными индексами). З0.1. Поптие поверхности Как обычно, через ь) будем обозначать замыкание области 0 (напомним, что 0 называется замкнутой областью), а через дО— ее границу (см. п.
18.2). Для образов точек М=(и, о) ев В при указанных отображениях будет употребляться как запись вида )'(М), так и вида ~(и, о). Непрерывной поверхностью 5 называется всякое множество точек трехмерного пространства Йь, заданное как непрерывный образ некоторой замкнутой плоской области О. Само рассматриваемое непрерывное отображение г(и, о) замкнутой области )'.) на множество 5 называется представлением поверхности (или, подробнее, параметрическим предспювлением) и пишется 5=(г(и, о): (и, о) ~О).
Переменные и, о называются координатами, или параметрами, непрерывной поверхности 5. Для непрерывной поверхности 5 = («= г(и, о):(и, о)е= П) множество точек пространства Нь, заданное как образ границы дО области ь) при отображении г (и, о), называется краем поверхности 5 и обозначается через д5: д5 = ( г (и, о): (и, о) ен дВ',.
По аналогии с определением кривой можно ввести понятие эквивалентных отображений, но на этот раз не отрезков, а отображений замкнутых плоских областей в трехмерное пространство )(', и считать по определению, что два эквивалентных непрерывных отображения задают одну и ту же непрерывную поверхность (см.
п. 80.2*). Отображения, осуществляющие эквивалентность двух представлений одной и той же поверхности, называются допустимыми преобразованиями параметров. При заданном представлении «(и, о), (и, о) ен.О, некоторой непрерывной поверхности и при фиксированных значениях параметров и, о через г(и, о), естественно, обозначается точка этой поверхности, в которую при рассматриваемом представлении отображается точка (и, о) оно. Подчеркнем, что представление непрерывной поверхности не является обязательно взаимно однозначным отображением. Точка непрерывной поверхности 5=(г(и, о); (и, о) ев О), в которую при данном отображении г(и, о) отображаются по крайней мере две различные точки замкнутой области В, называется кратной точкой, или точкой самопересечения этой поверхности.
Таким образом, если точка М непрерывной поверхности является кратной точкой последней, то при заданном представлении г(и, о), (и, о) ен ьг, этой поверхности существуют по крайней мере две такие точки (иь о1) я)) и (ие, о,) еп ь', что г(и„о,) =г(и„о,) = М. Отображение- «(и, о) можно задавать в координатном виде: г(и, о)=(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) Э йц Эвементы теорнн поверхностей и в векторном: р=р(и, о), где г (и, о) — радиус-вектор с концом в точке «(и, о) ~ Рв. В дальнейшем будут изучаться прежде всего дифференциальные свойства поверхностей определенных классов, состоящих из «достаточно гладких», т. е. достаточное число раз (непрерывно) дифференцируемых поверхностей. Определим, например, понятие непрерывно дифференцируемой поверхности. Непрерывно ди44еренцируехсой поверхностью называется множество 5 пространства сев, заданное как непрерывно дифференцируемый образ некоторой замкнутой плоской области.
Само рассматриваемое непрерывно дифференцируемое отображение замкнутой области П на множество 5 называется, как и вьппе, представлением этой поверхности, причем, по определению, считается, что два непрерывно дифференпируемых отображения замкнутых плоских областей задают одну и ту же непрерывно дифферснцируемую поверхность, если они эквивалентны относительно непрерывно дифферепцируемых преобразований (см. п. 50.2*). Аналогичным образом определяются и другие специальные классы непрерывных поверхностей; дважды непрерывно дифференцируемые поверхности и вообще и раз непрерывно дифференцируемые поверхности. Если за параметры в одном из представлений непрерывной поверхности можно взять какие-либо две координаты пространства Йв (например, если существует замкнутая область Й на плоскости хд и функция з=Г(х, у), (х, у) ен('.), являющаяся представлением рассматриваемой непрерывной поверхности), то такое представление называется явным.
Очевидно, что .если непрерывная поверхность допускает явное представление, то оиа не имеет кратных точек. В дальнейшем непрерывную поверхность там, где это не сможет привести к недоразумениям, будем называть просто поверхностью. П р и м е р. Поверхность, задаваемая представлением х=гсозфсозсо, уе гсозт)тзшсо, г=гз|псо, 0 .ч 2п, является сферой с центром в начале координат и радиусом г, у которой весь меридиан со=0 состоит из кратных точек.
В следующем пункте будет дано другое, в некотором смысле более детализированное, определение поверхности. Целесообразно, видимо, при первом чтении пропустить следующий пункт и вернуться к нему лишь тогда„когда в этом почувствуется внутренняя необходимость. 50.2". Парааеграчеена заданные аоверкноега 50.2*. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Для строгого определения поверхности необходимо прежде всего ввести понятие эквивалентных отображений замкнутых плоских областей. Оиределеиие 1. Непрерывное отображение 1 замыкания,0 некоторой плоской области 0 в трехмерное пространство )гз называется эквивалентным непрерывному отображению г, замыкания 0, плоской области 0з в то же пространство )ез, если существует такое гомеоморефное (см.
определение 5 в и. 41.4) отображение г замкнутой области 0 на замкнутую область 0„при котором внутренние точки переходят во внутренние, а граничные — в граничные (т. е. 0 отображается на О,, а д0 на д0,), и для каждой лючки М ен0 выполняется равенслюо 1(М) =1,(Р(М)1, т. е. 1=1, г'. В этом случае г называется отображением, осуществляющим эквивалентность отображении 1' и Г;, Если 1" эквивалентно отображению 1'„то пишется 1 Схематически определение эквивалентных отображений можно изобразить диаграммой, где стрелками изображены рассматриваемые отображения и результат отображений не зависит от выбора пути на диаграмме: а Г в 3 Очевидно, что: 1) всякое отображение эквивалентно самому себе." (здесь отображением, осушествляющим эквивалентность, является тождественное отображение). Легко убедиться, что 2) Г" )„то 1, 3) а если 1 Г, и ), („то ) Если ) и 1,— эквивалентные непрерывные отображения соот- ветственно замкнутых областей 0 и 0п то из (50.1) следует, что образы множеств 0 и 0, при отображениях 1' и 1, совпадают: ~(0) =6(01) (50.2) Заметим епге, что условия, наложенные на эквивалентные отображения в определении 1, независимы.
Именно, из того, что г" является гомеоморфным отображением замкнутой области 0 на замкнутую область 0„ не следует, что оно переводит внутренние точки во внутренние. Например, если 0 = ((и, и): ив+ оеа. 1)— круг, а 0з — — ((и, о): 0(ив+ив Ц вЂ” круг с евыколотымь цент- Э" ЗО, Элементы теории поверхностей ром, то тождественное отображение (очевидно, являющееся гомеоморфным) Р на Йг переводит внутреннюю точку (О, 0) области Р в граничную точку (О, 0) области Р,. Перейдем теперь к определению поверхности.
Определение 2. Всякое множество всевозможных непрерывных эквивалентных между собой (см. определение 1) отображений г (и, о) замкнутых плоских областей Р в трехмерное пространство йв называется параметрически заданной поверхностью В и обозначаепгся В=(г(и, о):(и, о) енР), (50.3) а каждое из указанных эквивалентных непрерывных отобразсений г (и, о) называетач представлением парометрически заданной поверхности В. Если г (и, о), (и, о) ен Р— представление параметрически заданной поверхности 8 и если г (и, о) — радиус-вектор с концом в точке г(и, о), то г(и, о), (и, о) енР, называется векторным представлением атой поверхности 5 и пишется В = (г (и, о) „(и, о) е= Р).
(50.4) Если г(и, о) =(х(и, о), у(и, о), е(и, о)), то функции х=х(и, о), у=у(и, о), е=(и, о) называются координатным предспгавлением параметрически заданной поверхности В и пишется Я=(х(и, о), у(и, о), е(и, о); (и, о) е=Р). (50.5) Очевидно, что параметрически заданная поверхность однозначно определяется каждым из своих представлений. Это позволяет, что часто более удобно, правую часть каждого из равенств (50.3), (50.4) и (50.5) понимать не как совокупность всех представлений определенного типа рассматриваемой поверхности 8, а как некоторое вполне определенное ее соответствующее представление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
