kudryavtsev2a (947416), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Сделаем это следующим образом. Рассмотрим совокупность представлений г= г(и, и), (и, и) ~ О, непрерывных на 0 и непрерывно дифференцируемых на В. Допустимыми преобразованиями параметров и = ср (и„о!), о = =ф(ы„п!) (рм и!) е-=стт, будем называть всякое взаимно однозначное непрерывное отображение замыкания с)! плоской области В! на О, переводящее внутренние точки во внутренние, граничные в граничные, непрерывно дифференцируемое и имеющее не равный нулю якобиан в Р. Как всегда, два представления называются эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью допустимого преобразования параметров. Мы скажем, что класс эквивалентных представлений указанного типа задает непрерывно дифференцируемую поверхность, если в этом классе существует по крайней мере одно представление г=г(и, и), (и, о) е= !г), непрерывно диффереицируемое вплоть до границы области Р.
Непрерывно дифференцируемая поверхность называется гладкой, если г„хг,ФО в )л' при некотором ее представлении г = М.й Определенна в 52. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ бзд. ОПРЕДЕЛЕНИЯ Вместо терминов «числовая функция точки», «вектор-функция точки» употребляются и равнозначные им: скалярное поле, векторное поле. Эта терминология подчеркивает, что значения рассматриваемых функций зависят именно от точек пространства (в которых эти функции определены), а не от их координат, при выборе той или иной системы координат.
. Употребляя эту терминологию, можно сказать, например, что всякое скалярное поле и=и(М), определенное и дифференцируемое в некоторой области б, порождает векторное поле его градиентов (см. п. 20.6 н п. 50.5, стр. 245): а(М) =ягаби. Определение 1. Пусть в области 6 «1 задано векторное поле а=а(М) и существует определенная в б функция и =и(М), такая, что а(М)=угада(М). Тогда функция и(М) назьгвается потенциальной функцией, или потенциалом данного векторного поля **>. .д .д д Вводя символ набла, т =2 — +г — + ૠ— (см. п. 20.7), можно дх ду да написать: Егаби=Уи, где справа стоит «произведение» символического вектора набла иа числовую функцию и. Пусть, например, Е(М) — напряженностьэлектрического поля, созданного единичным отрицательным зарядом, помещенным в начале координат.
Тогда в точке М(у, х, г) вектор Е(М) имеет, как это известно из физики, длину 1/г», где с=3/х»+ у'+ г', и направлен от точки М к началу координат, Отсюда получается, что Е(М) = (- -г, — —, - -,-). Электрический потенциал рассматриваемого поля, т. е. функция и(М)=1/г, является и потенциалом в указанном выше смысле, ибо ягаб и (М) = Е (М). Рассмотрим снова векторное поле а = а (М), определенное в некоторой области О.
Зафиксируем систему координат, тогда вектор-функцию а(М) можно рассматривать как функцию трех переменных — координат х, у, г точки М: а=а(х, у, г). *' В этом параграфе аля простоты рассматрнваянся только плоские ялн трехмерные области 6. "*' Иногда в пряломеннях потенциал и определяется формулой а =* — ягад и. 274 »" 52 Скалярные и вектврне~е полл Пусть М,=(х„у„ге) ен6 и задан единичный вектор е= = (сова, созР, созу). Проведем через точку Ме прямую в направлении е: х=хе+1соза, У=У»+« сов Р, г=ге+гсозу, — со(1«+со.
Определение 2. )г роизводная вектор-функции а(хе+$созсе, Уе+1созР, ге+1созу) пс 1 при 1=0 (если она суи1ествует) называется производной вектор функции а(М) по направлению е в точке Ме и обозначается да через —: д« ' да (М«) д — '=д,-а(хе+1соза, Уе+1созР, ге+1созу)!с е, По правилу дифференцирования сложной функции, опуская для простоты обозначения аргумента, получаем да да да да — = — соз а+ — соз р + — соз 7. де дх ду дг (52.1) д д д Полагая е7 =сова — + сов(1 — + созу-- («скалярное произведедх ду дг ние» вектора е и символического вектора 7), перепишем формулу (52.1) в виде де (е7) «г' да Определение 3. Если Ь=(Ь„, Ью 6,) — произвольный (не обязательно единичный) фиксированный вектор, то вектор (ЬЧ)а= Ь„да +Ь "7 +Ь,-а назьгвается ерадиентол~ вектора а по вектору Ь.
Если Ь=ЬЬ„где 1Ь«~=1, то «формальными преобразованиями» получим (ЬЧ) = (ЬЬ 7) а = Ь (Ь 7) а = Ь вЂ”. да две Переходя к координатной записи, легко непосредственно убедиться в справедливости полученной формулы и показать, что с символом 7 можно обращаться при вычислениях, как с настоящим вектором, не забывая, конечно, при этом, что, кроме этого, 7 означает также и определенную операцию дифференцирования. Мы не будем здесь останавливаться на обосновании законности таких «формальных преобразований с символом Ч». Любая формула, полученная подобным образом, может быть, конечно, получена и без применения символа 7 обычными обо- Б2, Д Определения 275 Определение 5.
Веклюр с координатами да, дал да» да да„ да» ду дг ' дг дк ' дк ду (52.3) называется вихрем, или ротором, векторного поля а=а(М) и обозначается го( а. С помощью символа 7 ротор можно записать в виде следующего векторного произведения: г „г Ф д д д дк ду дг го(а=7Ха= (52.4) Геометрический и физический смысл айва и го( а будет выяснен в дальнейшем. Приведем пример формальных преобразований с символом 7.
Если за символом 7 следует несколько членов, на один из которых он действует как оператор дифференпироваиия, а на другие нет, то для ясности будем обозначать этот член вертикальной стрелкой. Поясним зто на примере. Пусть г †скалярн, а †векторн поле, тогда 1 го Ца = 7 х)а = 7 х (а + 7 х ~а = =~(7ха)+Яха) =(го1а+йгадгха). Введем еще некоторые определения, связанные с векторным полем а=(а„а„, а,) в области О. Определение 6. Пусть у — замкнутая кусочно-гладкая кривая в области О.
Интеграл ~ а„йх+ а„йу+ а. йг. сновапными рассуждениями в координатах. Следует иметь в виду, однако, что применение символа 7 часто весьма существенно сокращает выкладки. Вернемся снова к исходному векторному полю а=(а», а„, а,) в области О. Определение 4. Пусть поле а (а, а„, а,) дифсреренцируемо в неда» дал да которои точке. Число —. + — + — ' называется дивергенцией поля дк ду дг в этой точке и обозначается через б1ча, т. е.
йча = — + — + — '. да„дал да дк ду дг (52.2) Символически Йча может быть записана как скалярное произведение символа 7 и вектора а: дгу а = 7а Э 52. Скалярные и векторные поля называется циркуляцией векторного поля а=(ая, ае, а,) по кривой 7 и обозначается )ае(г, где йг=(йх, йу, йг). Если 7 — ориентированная гладкая кривая, г'=(сова, совр, созу) — ее единичный касательный вектор, з — переменная длина дуги, а пр«а — величина проекции вектора а на касательную, то )еай =) пр«айз.
т т Действительно, (айг =г)а„йх+аейу+а,йг= =~(а,соза+а„соз(о+а,созу)йз=(~агйз=~пр,айв. й д д д дх дв дг Р Я О ~д д) го(а= Теорема 4 и. 47.8 во вновь введенных терминах может быть перефразирована следующим образом. Для односвязной плоской области 6 потенциальность поля, существование потенциальной Определение 7. Поле, циркуляция которого по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой, лежащей в области 6, равна нулю, наывается потенциальным.
Напомним, что в и. 47.8 было показано (см. лемму 2), что условие равенства нулю интеграла ~Р«(х+Яйу по.любому замкнутому контуру у с: 6 равносильно тому, что ~ Р йх+Я йу лв ие зависит от пути интегрирования между точками А и В. Прн доказательстве этого утверждения нигде не использовалось, что кривая у лежит в плоской области.
Поэтому доказательство леммы 2, приведенное в п. 47.8, сохраняет свою силу и для криволинейных интегралов по пространственным кривым. Таким образом циркуляция )ада =*)а„йх+ае«(у+а,йг равна нулю по р т любому замкнутому кусочно-гладкому контуру ус:.6 тогда и толы«о тогда, когда интеграл ~, а„йх+аейу+а,йг не зависит лв от пути интегрирования, т. е. от кривой с началом в точке А, концом в точке В и целиком лежащей в области О. Рассмотрим в качестве примера плоское векторное поле, т. е. поле а=(Р, О), заданное на плоской области О:Р=Р(х, у), О=О(х, у).
Вихрь этого поля имеет вид В2Я. Определения 277 функции и условие, что вихрь поля во всех точках равен нулю, эквивалентны. Определение 8. Пусть 5 — некоторая ориентированная поверхность, лежащая в области О, ч — единичный векпюр нормали к поверхности, задающей ее ориентацию, и 5+ — поверхность 5 с указанной ориенпищией. Интеграл называется потоком векторного поля через поверхность 5 и обо- значается ~~асз5, сЫ = ч с(5 (или ~ ~ а 125+, 125 ч 125).
Очевидно, что ам =прча, поэтому ) ) аЮ=') ) прчаа5. Обычно в потоке ~')ачс(5 опускают индекс ориентации и пишут просто ~ ) ач й5, считая, что в качестве ориентации взята нормаль ч, стоящая в подынтегральиом выражении. В дальнейших пунктах этого параграфа мы изучим некоторые свойства векторных полей, в частности, установим в трехмерном случае необходимые и достаточные условия потенциальности поля. Предварительно мы докажем теоремы об интегралах, тесно связанные с понятиями, введенными в этом пункте. Уп р аж не н на. 1. Доказать следующие формулы: а) го( ага б и = 0; г) го1 го1 а =агав йча — Ла, гдеаа=(бах, аагн да),а=(а„,а, а ); д) йч (/а) =) б!ч а+угад!а; б) йчго1 а=о; в) йч ягаб и = Ли, дзи дзи дзи где Ли= — + — + — ' дхз ду" дгх ' е) й ч а зс Ь = Ь го1 а — а го1 Ь.
2. Найти поток векторного поля а=(х — 2г)1+(х+зу+г)1+(бх+у)й через треугольную плошадку с вершинами А(1, О, 0), В(0, 1, 0), С(0, О, 1) и ориентацией, определяемой нормалью, направленной противоположно началу координат. 3. Найти поток векторного поля а=уЧ+гй через поверхность Л: ((х, у, г): а=ха+у-, О~г~2), единичная нормаль к которой направлена в сторону, противоположную оси Ог. 4. Найти поток векторного поля а=х1+уг+Ф х'+уз — ! Ф через противоположную началу координат сторону гиперболоида ха+уз — ге=1, О "~г~)'3. у бг.
Скалярные и векторные лола 6. Найти поток векторного поля а=(ху — уз) 1-1-(-хз-1-ху+2х) /+гй через противоположную началу координат сторону части цилиндрической поверхности ха+уз=1, отсекаемой конусом хз=-- ха+уз. ! 2 6, Найти спча, если а=(бх'у' — аз+уз — 3) 1+(4хзу+хх+2)у+(ху — Зхгз — 3) В. Пусть г=х)+у/+хй, г=~ г ~, ) — днфференцнруемая всюду в Яч числовая фупкцня, с — постоянный вектор. Найти: 7. 61ч () (г)г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
