kudryavtsev2 (947414), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Действительно, пусть зпрр ц>с: (а, Ц; функция ц>, очевидно, ограничена: [ер(х) [ ~( С, — со ( х(+со, поэтому + ео ь ь ( [) (х) >р(х) [йх = ((7(х) >р(х)(йх < С('[ 7(х)[йх. — со н н *> Отрезок [а, Ь) содержит носители всех функций >р, >рн, л=1, 2, ...
У и р а ж н е н и е 2. Доказать, что функция (59.6) бесконечно дифференцируена на всей оси (ср. с (37.25)). Э бу Обобщенные фунняни Зта Определим функционал (), «р) на ):) равенством ()', «р)= ) р(х)«р(х)«(х. (59.7) ~ 1"(х) ф (х)«(х. (59.8) Таким образом, по определению (р, «р) = ) ) (х) «р х)«(х. Это равенство является определением символа (59.8), который формально читается как аинтеграл от произвел"ния) на р>. Эта запись отражает собой тот факт, что обобщенные функции являются обобщением функционалов (59.7), где ( — локально интегрируемая функции.
+ы 1 м(к) Упражнение 4. Локазать, что функционал о. р. ~ — «Ь, еЕ О х 11 является обобщенной функцией ~ь>ы бтлем ее обозначать Ф вЂ” ~ . х « *> Мы будем говорить также в этом случае, что обобщенная функция (й Ч>) порождается функцией «. Этот функционал линеен и непрерывен на ):) (почему?). Таким образом, всякой локально интегрируемой функции ((х) соответствует обобщенная функция К «р)*', в этом смысле всякую локально интегрируемую функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. У п р а ж н е и и е 3. Две непрерывные ва вещественной оси функции различны тогда и только тогда.
когда различны порожденные ими обобщенные функции. Иногда обобщенные функции обозначаются символом р(х). Это обозначение чисто символическое; оно отнюдь не обозначает значения обобщенной функции в точке х, а отражает лишь тот факт, что обобщенные функции являются в вышеуказанном смысле обобщением обычных (локально интегрируемых) функций; никакое значение обобщенной функции в точке х здесь не подразумевается. Для обозначения значения обобщенной функции )' на функции «р = «р(х) ~).) наряду с записью ((, «р) употребляется также запись + со баз Определение обсбщеняих функций 373 В качестве другого примера обобщенной функции рассмотрим функционал, обозначаемый 6 = 6(х), который определяется формулой (6, р) = р(О), р ~ О.
Этот функционал, как мы уже знаем (см. п. 59.!), называется 6-функцией. Его линейность и непрерывность легко проверяются. Он не может быть представлен в виде (59.7) ни при какой локально ннтегрнруеьюй функции !'. Действительно, если бы нашлась такая локально интегрируемая функция 7', что + О»» (6, ср)= ~ Р(х)ф(х)йх, рЕ О, то для этой функции 1 и для функции ср заданной формулой (59.5) мы имели бы + о» ) 1 р(х) ~р(х) йх=~р(О) = —. (59.9) е Но в силу абсолютной интегрируемости функции ! на любом конечном отрезке »» !(1п ) )~(х) !йх= О ь-Π— »» (почемуР). а» 1 Далее, замечая, что е "'-"*( —, — а (х<а„получим е' +со »» а' и 1 (х) ~р(х) йх ~ = ~ ~ '1 (х) е "* — "йх ~ < — ~ ! )' (х)! йх, — С»» — и поэтому левая часть равенства (59.9) при а »- О стремится к нулю, а правая нет.
Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Таким образом, запас обобщенных функций в указанном смысле больше, чем обычных. Определение 14. Функционал, ставящий в соопшетствие каждой функции ар~0 число ц»(хь), где х, фиксировано, называется 6-функцией и обозначаапся 6(х — х,). Применяя зались (59.8), люжно написать ) 6(х — хь) р(х)йх=чр(хь), Ч Ео. у бу. Обобс»Сенвьсе Функции 374 Определение 1б. Обобщенные функции, представимьы в виде (59.7), где )' — локально интегрируемая функция, назьсвасотся регулярными обоби(енными функциями, а все оспсальные — сингулярными. Постоянная обобщенная функция (, т.
е. такая, что (), ср)= с~ ср(х)йх, с — постоянная, ср(й (в частности, нулевая функция), является, очевидно, регулярной обобщенной функцией, а 6-функция является примером сингулярной обобщенной функции. Определение 16. Совокупность обобщенных функций, как и всякая паокусгность функционалов линейного пространства со сход мастью (см. п.
59.2), образует линейное пространспшо со сходилсоспсьсо, сопряженное к пространству О, нажваемое пространством обобщенных функций и обозначаемое 0'. Таким образом, сходимость последовательности обобщенных функций 7„, и = 1, 2, ..., к обобщенной функции ) означает, что 1!пт(~, ср) =(1, гр) для любой функции ср(о.
Задача 29. Пусть р„б 0' и пусть для любой функции Ч» ~ )у существует предел ищ (1„, ч») = г (са). тогда г" (ч») — обобщсииая функция. В п. 59.1 мы рассматривали функции 6,(х), которые, очевидно, локально интегрируемы. Мы видели, что зти функции обладают тем свойством, что для любой непрерывной на всей оси функции ц» н, следовательно, для любой функции ср(0: +со 1!гп(ба» ср)=!!гп Г бе(х)ср(х)с(х=гр(0)=(6, гр). е +о е +о » С точки зрения обобщенььых функций это означает, что в О' 1нпб, =6"). е-+о Таким образом, 6-функция в пространстве В' является пределом регулярных обобщенных функций. )»и Упражнения.
б. Пусть )с(х) = =Е, тогда в ()' имеем =р'с !!щ / (х) = Ь(х). с +ос ьу Как и для обычных функций, символ е-ь+О означает, что указаииый предел имеет место дли любой последовательности ел > О, и = П 2, ..., стремящейся к нулю. 39.4. Дифференцирование обоба(енных функцай 373 6. Доказать, что в Р ! ! ! — =(гга — =~! Ь(х)+у— «х»0 г +о х~гу х (эти формулы называются формулами Сохацхого">). Задача 30. Доказать, что всякая сингулярная обобщенная функция является првделом регулярных.
В этом смысло пространство обобщенных функций является хпополнением» пространства обычных функций. Как мы видели, понятие обобщенной функции не сводится к понятию функции точки и поэтому говорить о значении обобщенной функции в данной точке, в частности об обращении ее в ноль в этой точке, вообще говоря, не имеет смысла.
Однако можно ввести естественное понятие обращения в ноль обобщенной функции на интервале. Определение 17. Будем жзворигпь, что обобщенная функция !" обращается в ноль на интервале (а, Ь), если (!', »р) = 0 для всех гр с О, которые имеют носсилель, содержащийся в интервале (а, Ь). У п р а ж н е н и е 7. Для того чтобы непрерывная функция обращалась в ноль в каждой точке интервала (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы она обращалась в ноль иа интервале (а, Ь) как обобщенная функция. Определение 18.
Обобщенные функции ! и д назхваются равными на интервале (а, Ь), если ! — а = 0 на (а, Ь). 59.4. Дифференцирование обобщенных функций Определим теперь производную обобщенной функции. Посмотрим прежде всего, что представляет собой производная обычной непрерывно дифференцируемой функции (, рассматриваемой как функционал (), гр) на О. Интегрируя по частям, в силу финитности функции гр~О получим +аз +со (~', <р)= ~ ~'(х)гр(х)йх = — ~~(х)гр'(х)йх= — Д, гр'), (59.10) причем, как известно, <р' ~ О. Таким образом, производная !' является функционалом на О, значения которого выражаются через значения функции ), рассматриваемой как функционал, с помощью формулы (59.10). Это делает естественным следующее определение. Определение 19.
Производной обобщенной функции !" называется функциона на О, обазначаелгый (', такой, что У'. Ч>) = — Ч. ф') Р Е О. (59.11) Из формулы (59.10) следует, что производная в обычном смысле непрерывно дифференцируемой функции, рассматриваемая как *! Ю. В. Сохоцкий ((342 — !929) — русский математик. атв Э 59„ ОбобиСзнние функции функционал на Р, совпадает с ее производной в смысле обобщенных функций.
Лемма 3. Функционал !" является линейным непрерывным функционилом и, следовиглельно, обобщенной функцией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим линейность: (1, Ьр+рф)= — (1,(Лр+рф))= (1, ),р'+уф)= = — ЛУ, р) — рд, ф')=Х(Г, ц)+р(1', р), р ~Р, р~ Р. Для того чтобы проверить непрерывность функционала 1', вспомним, что если гр ~ О„цз ~ О, й= 1, 2, ..., и Игп гр„= ц в О, то в силу определения сходимости в пространстве О и !пп гр' = гр' в Р; поэтому, если грз-+ ~р в Р, то 1нп ()', <р„) = — 1нп ((, ~р') = — (1, се')= =(Г. р). Таким образом, если ~~ О',то )' всегда существует и ~'~О'.
Лемма доказана. Производные высших порядков для обобщенных функций определяются последовательно, как и для обычных функций: Г =- (!')'. Г = (! )', вообще По индукции легко проверяется, что (1 1, Р) ( 1)зд, Р), ф~Р, у=0,1, Согласно сделанному определению, обобщенные функции имеют производные любых порядков. Примеры. 1. Г1усть ( 1, если х)0, 1 О, если хк'О. Функция 0(х) называется функцией Хевисайди" 1. Она является локально интегрируемой функцией и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Найдем ее производные. Согласно определению (59.11), '> О. Хевисайд (1350 — 1925) — английский физик.
И.4. Дяфференцаровонгге обибгценнмх функций +со +со (О', р)=- — (О, р')=- ~Ер'йх= — ~ф'й. =- р(О)=(б,ф), р~Р, о т. е О'=-5. 2. В качестве другого примера вычислим производные 5-функции (5'"', .) =(- 1)нн(5. ф(") =-(-1)'ф"'(9) У и р а ж н е н н я. 6. Пусть /(х) =- /с (х) х С хв =( /а(х), х > х„, где фушсннп /,(х) н /,(х) непрермвно дпфференннруемм и существуют преДелм /(хв + О). Найтп Р в ГЗ'. 9. Пусть /(х) непрерывно днфференннруемая на всей осн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
