kudryavtsev2 (947414), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Вместе с тем в физике часто оказывается необходимо рассматривать «функции» вида 6(х). Сама ефункция 6(х)» встречается в физике и носит название б-фугиГинн, илп функции Дарана. Подойдем к ее свойствам (59.1) н (59.2) с другой стороны. Этот подход основывается на том, что физически всякая материальная частица имеет определенный размер и потому не является с геометрической точки зрения точкой. Поэтому естественно распределить массу точки О равномерно по отрезку длины е с центром в точке О; в результате получим среднюю плотность е9.1.
Оовтае сотетраженав Для того чтобы подойти к другому определению б-функции, изучим одно свойство семейства функций 6,(х). Оказывается, что для любой непрерывной на всей оси функции тр(х) + еэ 1(п1 1 бе (х) ф (х) т(х = ер (О) е +О (59.5) Действительно, + ео Ц 6,(х) ф (х)т(х — тр(0)~ = ~ — 1 тр(х)т(х — ~р(0)~ < 2 1 < — ~ ! ф (х) — и (0И т(х. И так как )пп — ( ',тр(х) — <р(0) Фх =-0 1 е +О Е (почемур), то формула (59.5) доказана.
В силу формулы (59.5) естественно формально написать + ') 6(х)тр(х) т(х=ф(0) (формально в том смысле, что эта формула и является определением символа, стоящего слева, так как в обычном смысле мы не можем говорить здесь об интеграле). При таком подходе мы не определили 6-функцию 6(х) как функцию точки, а определили свойство символа 6(х), называемого 6-функцией, которое состоит в следу1ошем: 6-функция ставит в соответствие каждой функции тр, непрерывной на всей оси, число ф(0). Таким образом, 6-функция есть функция, определенная на множестве непрерывных функций тр. Функции, определенные на множествах, элементами которых в свою очередь являются функции, называются функционалами.
Итак, 6-функция есть функционал. В следующих пунктах этого параграфа мы изложим некоторые вопросы общей теории обобщенных функций, построенной С. Л. Соболевым н Л. Шварцем* >. *1 С. Л. Соболев (род. в 1908 г.) — соеетсквй математик. Л. Шварц (род. в !918 г.) — французский математик, Э 59. Обобгяеннне функции 59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства Определение 1. Линейное пространство 1г называется линейным пространством со сходимостью, если в нем определено понятие сходимости последовательноснш его элемесипов к элементу пространства, такое, что операции сложения элементов пространсгпва и умножения их на число явлюотсн непрерывными. Это означает, что в множестве всех последовательностей элементов пространства Р выделен класс последовательностей, названных сходягнимися.
Каждой сходящейся последовательности поставлен в соответсгвие единственный элемент пространства )г, названный ее пределом. Прн этом для любых последовательностей (хн) н (у„) из Р, сходящихся соответственно к пределам х~ )г и у(н)с, и любых чисел Х и !е, последовательность(Хх„+ ру,) такм<е сходится и 1нп Д. к„+ и, у„) = Хк+- ру. Кроме того, если (е.„) — числовая последовательность и 11гп Х„=),, то 1нп )нк=Хк для любого х ~ Р. ээ л Примером линейных пространств со сходнмостью являются нормированные линейные пространства; однако существуют линейные пространства со сходимостью, в которых нельзя ввести норму, порождающую заданную сходимость последовательностей. Определение 2.
Функо,ии, определенные на линейном пространстве ег' и принимающие числогяяе значения, называются функционалами этого пространства или функционалами нид этим пространспиюм. 3 ачение функционала) на элементе х линейного пространспиа Я обозначается (г', х), т. е. так же, как скалярное произведение элелюнпюв !" и х в линейном проопранстве )с со скалярным произведением. Это обозначение оправдывается, в частности, тем, что скалярное произведение (у, х) при фиксированном элементе у является функционалом, определенным на указанном пространстве )с. Определение 3. Пусть 1г — линейное пространство.
Функционал ! этого пространства называггпсялггнейньси, если для любыхэлементов х~ 1г, у ~ 1г и мобых чисел Х, р еыполняггпся условие (! ) х+ ру) = ) (1. х)+ р (! у). Определенсге 4. Функционал!, определенный на линейном пространстве й со сходалястью, называется непрерывнылг, если для лгобой сходящейся последовательноспш х„~Й, 1(пгх„=-х, выполняегпся условссе 1!гп (1, хн)=- (1, х). н Б9.2. Линейные простринстео со сходилостию Функционалы, как и всякие числовые функции, можно складывать, умножать друг на друга, в частности на число.
Например, если г и д — функционалы, то значение функционала а( + ])д (а и р — числа) в точке х~ сс определяется по формуле (а!+рд, х)=а(1', х)+]!(а, х). Лемма 1. Линейные непрерывные функционалы образуют линейное пространство. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть] и д — линейные функционалы, о и р — числа. Покажем, что а] + ]!д — также линейный функционал: (а(+])а, Хх+ру)=а(1, Хх+]су)+]3(а, Хх+ру)= = а ]Х ((, х)+ р Д, у)1+ р 1с (д, х) + р (д, у)1 =- Х ]а Д, х) + ]1 (д, х)1+ ]с ]а Д, у) + ]! (д', у)1 = =) (а~+ру, х)+р(а~+]Зд, у). Пусть, теперь ) и д — непрерывные функционалы. Покажем, что тогда и а~ + рд — также непрерывный функционал.
Пусть 1пп х„= х. Тогда 1!гп(а(+рд, х„)=!1гп (а(!", х„)+]3(д, х„)]= и со и си а Исп (г,хи)+]! 1пп (д, х„)=а(1, х)+]! (д, х) =(а!+рк, х). Лемма доказана. В линейном пространстве линейных непрерывных функционалов пространства тг определяется понятие сходимости последовательностей следующим образом.
Определение Ю. Последовательность функционалов п=1, 2, ..., называется сходяитрйся к функционалу ], если последоватпельность значений функцион лов ); сходится в каждой точке х~ Я к значению в ней функционала !", иначе говоря, если для любого элемента х ~ сс числовая последовательноппь(((и, х)) сходится к числу Ц, х). Таким образом, утверждение 1пп !"„= ~ равносильно утверждению 1!гп Дю х)=(1, х) для всех х ~ сг. При таком определении сходимости функционалов операции нх сложения и умножения на число непрерывны (это непосредственно следует из линейности функционалов и из свойств пределов числовых последовательностей), и, следовательно, справедливо следующее утверждение. В 59 Обобеиенные функции 370 Лемма 2.
Линейные непрерывные функционалы образуют льэ нейное пространство со сходимостыо. Определение 6. Линейное пространство со сходимоппью функционалов простпранстпва Я называется сопряженным простраиотиюм к данному линейному просгпранству Р со сходимостью. Пусть Р и Ре — линейные пространства со сходимостью, пусть каждый элемент пространства р является и элементом пространства Ке и пустьвсякая последовательность х„~ Р, и = 1,2, ..., сходящаяся в К к элементу х, сходится к этому элементу и в Р*, в этом случае будем писать Определение 7.
Говорят, что линейный непрерывный функционал простраиспюа Р ~ К* продолжаем в линейный непрерывный функционал пространсепеа Ре, если в пространстве тс'* существует линейный непрерывный функционал г, такой, чпю (с, х) = (1, х) для всех х с- тс' (т. е. г' = ) на тт). В этом случ е функционал Г наэыытеепся продолжением функционала 1. У п р а ж и е н и е !. Доказать, что если Ре:Р* и Р плотно в Р" (т. е. всякий элемент из и* является пределол~ в Ре последовательности элементов из Р), то всякий линейный непрерывный функционал пространства Р, продолжаемый в линейный непрерывный функционал пространства Ре, продолжаем единственным образом. 59.3.
Определение обобщенных функций. Пространства Ю и Ю' Определим прежде всего основное для нас линейное пространство функций В. Будем рассматривать функции, аргументами которых являются вещественные числа, а значениями — вообще говоря, комплексные. Определение 8. Функция )', определеииич на всей оси, называется финитной, если сущесепвует конечный отрезок, вие которого оиа равна нулю во всех пинках. Определение 9.
Для всякой функции 1 замыкание множества точек х, для которых Ях)+ О, называется ее носителем и обозначается зпрр1. Если функция финитна, то ее носитель является ограниченным множеством. Очевидно, что все фииитпые функции при естественных операциях их сложения и умножения на число образуют линейное пространство, а бесконечно дифференцируемые финитные функции — его подпространство. Введем в этом подпространстве понятие сходимости последовательностей. Определенае 10. Последовательность бесконечно дифференцируемых финитных функций ер„, и = 1, 2, ..., называется сходящейся к бесконечно дифференцируемой финитной функции ~р, если: БУ 3. Определение обозу>еннын функций 37! 1) существует отрезок [а, (>), вне которого все функции ц>„, и = 1, 2, ..., и ер обращтотся в ноль'">; 2) на этом отрезке (а, б) последовательность функций ц>н и = 1, 2, ..., и последовательности всех их производных ц>~~>, и = 1, 2,, равномерно сходтпся соответственно к функции ц> и к ее своп>ветству>ои(им производным >р<н>, (е = 1, 2, ....
Совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функцийй с введенной операцией предельного перехода является линейным пространством со сходимостью. Это непосредственно следует из свойств пределов функций и свойств равномерно сходящихся последовательностей.
Определение 11. Пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций с введенной сходимостью называе>пся основным пространством В. Очевидно, что если >р ~ В, то н любая ее производная прин адле>кит пространству В. Заметим еще, что если (ерн) сходится к ц> в В, то и последовательность [>р>н>) производных любого порядка [г= 1, 2, ... сходится к ер<н> в В.
Это непосредственно следует из определенна сходимости в пространстве В. Тривиальным примером функции пространства В является функция, равная нулю на всей оси, менее тривиальным — функция ф(х) е ' ", если [х[(а, О, если [х) „на. (59.6) Определение 12. Всякий линейный непрерывный функционал 1 определенньит на В, называется обобщенной функцией. Определение 13. еу>ун>с>(ия(, определенная на всей вещественной оси, называется локально интегрируелюй, если она аба>лютно ин>пеерируема на любом конечном отрезке. Если (' — локально интегрируемая функция, а ер~ В, то произведение )ер абсолюп>о интегрируемо на всей оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
