kudryavtsev2 (947414), страница 68
Текст из файла (страница 68)
к«адле!юг«а« !Ьоал!аль! 4зз Замечая, что !.' — — '-" ° Р«(х)г(х=, —, !!=1, 2, ..., гг, у«-г+ у«ь — а к получим квздрагурную формулу трапеций '« П ь — ау т«г+г« е' ° ! «а ам «=! л «=! «вЂ ! (60.2), или ).,(Л= — ~4( '+" '+((')+~(.)+-.+~( а)~. Формула Симпсона '« (х — й«) (х — х«! ! ! Ь вЂ” а (х«! — 1«)(х«! — хг,) б ( «« — !) б а '« (х — х„! ) (х — х«) (й« вЂ” х, ) (й« вЂ” ) "х= з г!хл х« — !)=;! « — ! (х — х«!) (х — Е«) ! ь — а г(х= — (х — х ) = —— а(««-гг — б (х« — х„,) (х„— "«) '« — ! поэтому '« '«(х)'(х — — ~ ~(х~ !)+ З16«)+ б г(х«)~ ° — — ° ° х « — ! На каждом отрезке [х« „х«~, А =1, 2...
п, возьмем интер. поляционный многочлен Р«(х) второй степени, определяемый х«,+ х« узлами интерполяции х „$«=: и х . Тогда (х — х«! (х — х«! ( )=( ( ) п )+ + - !' %«)+ (х — хг, !)(х — х«) (х — х«!)(х — Ц ) (В«хг-!)(й«х«) (хл х« — !)(х«й«) Непосредственным вычислением убеждаемся, что 505. Погрешность каадротурных формул Формула (60.26) в этом случае называется квадратуриой формулой, соответствующей узлам ст,и весал! р,, ! =О, 1, ..., т.
Всякая квадратуриая формула (60.26) обладает свойством линейности: для любых двух функций 1 и а, определенных па отрезке 1а, (!1, и для любых двух чисел Х и )ь, очевидио, справедливо ра- веиство 'а 1„(Ах+ В) = ) (Ах+ В) г(х. (60 28) "ь — ! Это наглядно видно и иа рис. 185. Сум- мируя равенства (60„28) по й от 1 до и, получим ).г (Ах-р В) .= ) (Ах+ В) г1х, а г-! хь-!'хе у Рис.
И5 ВЯ+К)=)«1-())+р( М). Огаределенае. Формула В(1)= ~~!, 1аЯ называется точной а=! для многочленов сп!епени г, если для любого мнагочлена Р (х) степени не вотше чем г, для любого отрезка 1а, 61 и для любого числа п ('тп. е. для любого разбиения отрезка 1а, 61 на равные отрезки) справедливо равенство В (Р (х)) = ) Р (х) йх. У п р а ж н е н и е. 11окаэать, что, для того чтобы квадратурная формула ь(11, соответствующая уэлаы $! и весам рь ! = О, 1, ..., т, была точна для многочленов степени г, необходимо и достаточно, чтобы для любого много- члена Р(х) степени не выше г было справедливо равенство ! ь! )Р(х)ах=- ~~РР!Р(10.
о т=о Поскольку иитерполяциоииый миогочлеи порядка г совпадает для миогочлеиа степени г с самим многочлеиом, то квадратуриые формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона тт!чцы соответственио для миогочлеиов нулевой, первой и второй степени. Одиако, более того, квадратуриая формула прямоугольников точна для многочленов первой степени, а формула Симпсона— для миогочлеиов третьей степени. Докажем это. Действительно, в случае формулы прямоугольников (см.
(60.23) и (60.27)) (ха !+ха 1 2 )(" а — !) Простой подсчет дает, что для л!обой линейной функции справедливо равенство «ОВ Э о0. Некоторые нонроеы дрие.тиженных выниелении' что и означает точность квадратурной формулы прялюугольннкое! для мвогочлснов первой степени, В случае формулы Симпсона (см. (60.25) и (60.27)) (д(Г)= — — ~в Г(хд !)+ з Г( 2 )+ !. 7(хд)~. (60.29: Достаточно показать, что для любого миогочлена третьей степени Р(х) в этом случае «д /д(Р(х))=- ~ Р(х)т!х, й=1, 2„..., и.
(60.30) к д — ! В самом деле, если это равенство будет доказано, то, султмируя по й от 1 до и эти равенства, получим Ь У.х(Р(х)) = ) Р(х)~х, О т. е. получим, что формула Симпсона точна для многочленов третьей степени. Пусть Р(х) = Ах'+ Вх'+ Сх+ О. Г!оз!ожид! (((х) = =. Вх' + Сх + О, тогда Р(х) = Ахи + (~(х).
Поэтому (д (Р (х)) == А(д (хх) + Ед (9(х)), кд « "д Р(х)г(х=А ~ хх!(х+ ) Я(х)дх, Й=.1, 2,..., п. (6031) д — ! д — ! В силу того, что формула Симпсона точна для ыногочленов второй степени, имеем Гд(1~(х))= ) 9(х)дх, й=-1, 2,..., и. С другой стороны, непосредственным вычислением убеждаемся, что "д 4 Хз (Х к д — ! з ~хд ! о хд !+хи! х ) х„— х; Гд(х ) (хд хд !) + ! ) + бс.б ггоеиеигнссгь кеабрахурных г(горхгул Есхггг кеадрагпурная формула (60.26) пинна для многочленоз степени х — 1 (г = 1„2, ...), то суи(еопвует ггостоянная с, х О, не завиаггггая от функг1игг 1, гпакая, ипо (60.32) ххоказательство.
Представим функцию 1 нн каждом отрезке (хх г, х ~, согласно формуле Тейлора, в виде ~ (х) = Рх (х) + гк (х), й =. 1, 2, ..., и, где х=г 1'гг(хх !) Р„(х) =- . (х — х~,)г !=о — многочлен Тейлора степени г — 1, и, следовательно, гк(х) — остаточнын член формулы Тейлора, который мы запишем в форме Лагранжа: +з х— 0<,О <1, у=1, 2... и. Тогда ') г' (х) г1х — х. (г') = .. ! ~ 1 (х1 дх — ~х 1„(~)= а ь=! х=-! х — г х — ь ~ 1 х,г г!.—.
г!,!*!!) !ге=-! х г" "х . ь ~ 1 .г.г"-~.г..г гг~. х — — ! х х-! (60. 34) Это и доказывает равенство (60.30). Порядок погрешности квадратурных формул оказывается связан со степенью многочлепов, относительно которых точна рассматриваемая квадратурная формула. Теорелга,!. Пусть функг(ия г' г раз непрерывно доверен!(ируема на отрезке (а, 61 и пусхпь тгсло Л4 ~ 0 пгаково, чпю 11гхг(.)~ <Л1,.<.<д. 4 б0, Беке!арне вопроси приближенник ньн!ислениа В силу того, что данная квадратурная формула точна для многочленов степени г, справедливо раьенство ~ Рй(х)с1х †1й(Рй(х)) =О, А = 1, 2,....
пе!. й †! Поэтому из (60.34) следует, что ь 1п !г -с!ь~« и кй и ~( ~ ) 1г„(х) ~ с(х+ ~~'.~ ~ 1й (гй (х)) ~. (60.35) й=! к й=! Далее, из (60.33) имеем м сь — ай» !гй(х)~ < — ~ — ~, /с=1, 2, ..., и. Применяя зто неравенство, получим кй 'й 1Н(Ь вЂ” У и 1И Ь Г+! !гй(х)1с(х <, „) с(х= "й — ! "й — ! Полагая р= гпах 1рс~ (см.
(60.27)), имеем й=о, !, ....й ) 1й(гй(х)) ~~( — ~~~ 1р!) 1гй(йй!)~~( с=о Подставляя зти оценки в (60.35) и введя обозначение 1+ р (т + 1) с = г! мы и получим неравенство (60.32). Теорема доказана. Из формулы (60.32) следует, в частности, что при вычислении интегралов с помощью квадратурных формул прямоугольников и трапеций (они, как мы знаем, точны для многочленов первого порядка, н потому для них можно взяты =2) ошибка имеет порядок О~ — 11, т!т ~рф а при вычислении интегралов с помощью формулы Симпсона (она точна уже для многочленов третьего порядка и можно взять г = 4) /1! ошибка составляет уже всего лишь величину О! —,11. * Действительно, зто следует нз определения точности квадратурпой формулы относительно ииосочленов данной степени на стр. чоо, если в зтои определении в качестве отрезка (а, Ц взять отрезок (хй й, кй) и положить и=1.
60.5. Погрешность каадратарнмл формул Стметны, что прн прнведенном подсчете постоянных с, мн не получнлн для ннх мнннмальных значений. Это о можно достичь, усовершенствовав методы нх подсчета. Задача 32. Йокааать, что для формулы прямоутольников можно ванть 1 1 ся = ~4, для формулы трапенна са = 1у, а для форл1улы Симпсона 1 оа = увао. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
