kudryavtsev2 (947414), страница 66
Текст из файла (страница 66)
1. Вычисление значения синуса. Формула Тейлора для функции ып х имеет вид бп/ Вычиглание аничгний ф!знаний 391 но уже прн я=2 оно выполняется: 1 1пМ 1 1 ! 1 Ы (, 9 / 120 2ь ЗаеО 1Оа Поэтому з(п20' с точностью до 1О-а находится по фор- муле 5 п1а з)п20'= — — — ( — ~ . 965,9~ (60.4; Беря значение и из таблиц с точностью до 10 ', подставляя в формулу (60.4), произведя указанные там действия и округляя результат с точностью до 1О ", получим искомое приближение кйп 20'.
з1п 20' = О, 343'1. При вычислении значений синуса можно воспользоваться нс формулой, а рядом Тейлора, который для положительного аргумента является знакочередующимся и потому допускает просту!о оценку остатка: он не превышает по абсолютной величине абсолютной величины своего первого члена (см. п. 35.5). Это дает, естественно, тот же результат, что и выше, так как приводит к оценке (60.3), которую мы получили из других соображений.
2. Вычисление значений натуральных логарифмов. Ряд Тейлора для логарифма 1п(1+ к) = у ( — 1)а+' —, — 1( к < 1, (60.5) и ! ь1 Заь5етиь5, что в нашем случае легко устанавливается и более сильное не/д5 ! Равенство гз1Ц( Ч!О ',а пРи Укаэавном выбоРе чнсла знаков н ошибка пРи вычислении правой части формулы (ООЛ! во всяком случае ае будет превышать ° 1О а, поэтому сумьшрная ошибка и будет не больше 10 э.
3 может быть непосредственно использован лишь для вычисления логарифмов чисел, не превышающих двух. Однако из ряда (60.5) можно получить другие разложения, позволяющие вычислить логарифмы любых чисел. Заменяя в (60.5) к на — к и вычитая получнвшийс5! ряд нз (60.5), получим со а=о + э бп !!екоторые вопросы приближенных вычислечий (г (х>! = 2~х! э ч, ! э хе" = .Й.1 2и ! ! 2н+1 Ф=п е--о 2 ! х !2п+! — )х!с. 1. (2п+ 1) (1 — хе) (60.7) Применим эту оценку для вычисления !и 2 с точностью 10-в. Решая уравнение + =2 Э ! — х находим к= †. Полагая в (60.6) х= — , находим ! 1 = 3' 1~= — ', ~ З „(2и+ !) 3еп (60.8) Оценка же (60.7) в этом случае дает !'-г)~~ ° ! 1 ( 3 /! (2п+ !) Зев+! ! 1 4(2п+1)Зхп Отсюда при а=3 имеем 1) ! 1 1 ( 3 / 4 7.3е 23 243 ' !О' Поэтому для вычисления !и 2 с точностью до 10 '" достаточво взять первые три члена рида (60.8): )п 2 = — ! ! + — - + — ! = О, 693.
60.2. Решение уравнений Рассмотрим задачу решения уравнения )(х) =-О. (60.9) Когда х изменяется от — 1 до 1, то — принимает все поло1+х 1 х жительные значения. Поэтому формула (60.6) может быть использована для вычисления логарифма любых чисел. Естественно возникает вопрос о том, сколько надо взять членов в ряде (60.6), чтобы получить логарифм числа с заданной точностьи>. Для этого надо оценить остаток ряда (60.6).
Имеем Ж2. Решете уравнений 393 Если функция 7' непрерь>вна на отрезке (а, Ц и принимает на концах отрезка значения разного знака, то метод, которым в п. 6.2 была доказана теорема о существовании в этом случае точки х, в которой функция обращается в ноль, дает и приближенный метод вычисления этого значения х„т. е. корня уравнения (60.9). Для этого достаточно последовательно делить отрезок (а, Ц пополам, выбирая каждый раз тот отрезок, на концах которого функция ) принимает значения разного знака (если, конечно, не случится, что в одном из получившихся концов функция у обратится в ноль— в этом случае искомый корень будет уже найден).
Если требуется найти корень уравнения (60.9) с точностью до заданного а ) О, то после п шагов, таких, что Ь вЂ” а — <~, йл концы получившегося отрезка и будут давать искомое приближение некоторого корня уравнения (60.9) (левый — с недостатком, правый — с избытком). Такой способ приближенного решения уравнения (60.9) очень прост и обычно применяется при вычислениях на быстродействующих вычислительных машинах. При проведении же вычислений «вручную» этот способ оказывается очень трудоемким, поэтому в этом случае обычно применя>отса другие, «более быстров> сходящиеся методы вычисления корней уравнений. Заметим еще, что описанный выше способ имеет и тот недостаток, что он непосредственно не обобщается на случай решений систем уравнений со многими неизвестными. Мы рассмотрим методы решения уравнения, носящие названия метода хорд и метода касательных.
Последний из них обобщается и на случай систем уравнений. В дальнейшем будем всегда предполагать, что функция 7 непрерывна на отрезке (а, Ц и имеет на этом отрезке первую и вторук производные*> причем обе они знакопостоянны (в частности, отличны от нуля).
Мы будем предполагать также, что функция 7 принимает на концах отрезка значения разного зна- к«6 л ка. В силу знакопостоянства пер- 1 1 вой производной функция ] строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение Рнс. 179 (60.9) имеет в точности один корень на интервале (а, Ц. *> Дли метода хорд достаточно требовать существовании первой н второй производных лишь на интервале (а, Ь). Существование производной в концах отрезка (о, Ь) будет использоватьсв только в методе касательных. а ор.
Некоторые иоороеы ориатитеееккых еычиееекай Метод хорд Этот метод состоит в следующем. График функции 7 заменяется его хордой, т. е. отрезком, соединяющим концевые точки графика функции 7: точки (а, /(а)) и (Ь, 1"(Ь)). Абсцисса х, точки пересечения этой хорды с осью Ох и рассматривается как первое приближение искомого корня (рис. 179).
Далее берется тот из отрезков !а, х,1 и !хм Ь), на концах котоРого фУнкциЯ 1 пРинимает значении Разного знака (далее будет показано, что прн сделанных предположениях г(хд) чц 0 и, следовательно, такой отрезок всегда существует), и к нему применяется тот же прием; получается второе приближение корня х„ и т. д. В результате образуется последовательность х„, л = 1, 2, ..., которая, как это будет показано, при сделанных ограничениях па функцию 7" схолнтся к корню уравнения (60.9).
Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел х„, и = 1, 2, .... Уравнение прямой, проходящей через крайние точки графика функции 1, имеет вид у=- 7 (Ь) — 7 (а) (х — а)+1(а). Ь вЂ” и (60.10) Обозначим его правую часть через ((х), т. е. запишем уравнение 160.10) в виде у =1(х). Найдем абсциссу х, точки пересечения примой (60.10) с осью Ох, т.
е. решим уравнение 1(х) = 0; получим (Ь вЂ” а) 7(а) 7 (Ь) — 1(и) (60.11) Легко убедиться, что а(х,(Ь (60, 12) (это, например, следует из строгой монотонности и непрерывности функции 1(х) и того, что на концах отрезка!а, Ь! она принимает значения разного знака: 1(и) = Иа) и 1(Ь) = )(Ь)). Аналогично находим х =х,— — " ", и=-1, 2, (Ь вЂ” хк) 7 (хо) игт " !(Ь) — 1(и) (60.13) Яы покажем, что последовательность (хи) стремится к коршо уравнения (60.9) монотонно.
Предположим для определенности, что )'(х) .>О, 7"(х) ) О, 60.2 Решение агпанслаа а <' х ( Ь (см. рис. 179), В атом случае функция 1 строго монотонно возрастает и строго выпукла вниз. Следователыю, любая внутренняя точка хорды, соединяющей крайние точки графика функции 1, лежит над соответствующей точкой графика функции 1, т. е. 1(х))1(х), а(х<Ь. В частности, если хл — корень уравнения (60.9): 1(хл) = О, то о~сюда следует, что 1(х„) > О. Мы имеем (см.
(60.11) и (60.12)): 1(х1) =. О, а ( х, ( Ь. Таким образом, 1(х,) (1(х„), (60.14) но линейная функция 1(х) строго монотонно возрастает, ибо 1(Ь) = г (Ь) ) г (а) = 1 (а), поэтому из (60.14) следует х (х,. Заменяя теперь отрезок! а, Ь) отрезком [х„Ь) и замечая, чтог(хл) (О, аналогично докажем, что хл ( хл < х,. Далее по индукции получим х, ( х, < ... ( х„( ... ( х„.
Таким образом, последовательность (х„), будучи монотонной и ограниченной, сходится. Пусть!ии х„= а. Переходя к пределу при и сс л — оо в равенстве (60.13), получим Дс) = О, т. е. последователь- ность (х„) сходится к корню уравнения (60,9). Если )~'(х) ~ . лч ) О, и ( х ( Ь, то нетрудно получить оценку скорости сходимости последовательности (х„) через значения самой функции 1" в точках х„. Действительно, 1(х„) =1(х„) — ) (х ) =)'($„) (х„— х,), х„(й„(хм и=1, 2, .... Отсюда Остальные случаи, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
