kudryavtsev2 (947414), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

До к а з а т ел ь с т во. Пусть еи„— последовательность ступенчатых функций, таких, что [[ш[[<р — ~р„[=О. п ео (см. лемму 2), тогда в силу непрерывности нормы !пп[ер„[= [[~у[[. Из неравенства же Коши — Буняковского получим ь ~ [ ер„(х) — ~р(х) [ дх < ~~ с(х) з ~~ [ ~р„(х) — ер (х) [з е[х) и а адб. Теорема планшераля аа ! /а »! ! = (Ь вЂ” а) ' ~ ~ ~ !р„(х) — гр (х) ) ' !(х) а и, следовательно, )пп ~ ~ <г„(х) — <р (х) ) г(х = О, »»»»„ т.

е. последовательность (<р„) сходится в среднем к функции гр и в смысле 1!. Поэтому, если $= е1!г4, !)„=.Р[!р„), п=-1, 2, ..., то последовательность непрерывных (см. лемму 4 в и. 56.3) функций (!р„) равномерно сходится к функции ф, которая в силу этого непрерывна на всей числовой оси. Кроме того, в силу леммы 1 РЧ=!1М. (58.57) Отсюда следует, в частности, что непрерывные функции ф„являются функциями с интегрируемым квадратом модуля, т.

е. принадлежат пространству йа( — оь» +оо). Далее, функции ф„, п = 1, 2, ..., образуют фуцдаментальную последовательность в пространстве Еа( — оо, +со). Зто следует из сходимости в среднем в смысле Е., последовательности (г1!„) и нз равенства +ж +»» ) И. (у)-ф. (у) !' (у = ~ 1 ч. (у)-р (уН' (у которое также вытекает из леммы 1, ибо разность ступенчатых функций также является ступенчатой функцией.

Покажем, что последовательность (!р„) сходится к функции !р и в пространстве Еь Действительно, пусть фиксировано е > О, тогда в силу фундаментальности последовательности (ф„) существует такой номер п,, что для всех и > и, и гл > п, выполняется неравенство Иш — ф Г=- ~ )ф,.(у) — фш(у)('бу( . Тем более, для любого числа с)О будем иметь (58.58) При фиксированных п и с при и — оо подынтегральное выражение в (58.58) равномерно стремится к функции ф„(у) — ф(у)~'. Поэтому 322 2 Ж Ореонорпнроаанные базисы и рааяоясения по ннн получим йп1 [ф„1=[[ф[!.

я»со Из (58.56), (58.57) и (58.60) следует, что и[=м (58.60) Лемма доказана. Теорема 17 (17ланшерелье1). Пусть функция са непрерывна и с инспегрируемым квадратом модуля на всей числовой оси и пусть и фм(у)= ! ср(х)е "~с[х, М)О. Тогда 1) функция ф (у) так иге непрерывна и с интегрируе- мым квадратом, г) нри М вЂ” + оо функции $м сходятся в пространстве 1,,( — оо, + оо) к некоторолгу элементу ф(-1.. ( — оо, + оо) и ' 8) [[ц [[=[ф[!. Бок а за тел ьс т во. Если ср(х), если х ~ [ — Л1, М[, цм (х) О, если хце [ — (И, М], то, очевидно, Ф = Р [срм[* *~ М. Плацесейелв (рол.

1взй гз — швейцарский математик. в неравенстве (58,58) можно перейти к пределу под знаком интеграла при т — оо. В результате будем иметь с 1[ф (у) — Ф(у)[ед)> <з. Устремляя теперь с к +со, получим, что при и'; и, выполняется неравенство ) [ф*(у) — Р(у)!'ду<з. (58.59) что и означает сходимссть в среднем в смысле Ь, последовательности (ф„) к функции ф. Из доказанного следует также, что ф~ Ьа( — оо, +оо). Действительно, в силу (58.57) и (58.59) И[! < [[ф — Ы+И.[[(+ Наконец, из неравенства(57.14) и того что 1[го[я)„— ф[=0, Жо. Теорема Планасереля заз (йп срм =ср в й ( — оо, + оо), М +.со [~ Ч'м 1[= М. М +со Согласно лемме 3, (58.6!) (58.

62) [[р [=[р„,~1 М>О, [фм фас [~ [[сем Ч'м [[с Мс. с О, Ме ) О. Из (58,6!) и (58.64) следует в силу полноты пространства Е.я( — оо, оо), что существует предел (почемуе) [[сп фи=а вйе( — -, +-). м-+ (58.63) (58.64) В силу непрерывности нормы И [[фм[=Й!! из (58.62), (58.63) и (58.65) имеем И![=Ы. (58.65) Теорема доказана.

Полученный в процессе доказательства элемент ф ~ 5,( — оо, +оо) мы будем также называть еереобразоеанием Фурье заданной непрерывной функции ср~ йа( — оо, +оо) и писать $ = й' [Ч!. (58.66) Эта запись естественна, так как если функция ср, кроме того, н абсолютно интегрируема, то [[п1 фм совпадает с обычным преобра- М +со аованием Фурье. Действительно, в этом случае +со [нп ) [срм(х) — ср(х)[е[х=О. М +со Следовательно, функции фм = Р[срм) при М -е- +со равномерно сходятся к преобразованию Фурье Г[ср) функции ср. Как мы виделн, ф, сходится в среднем в смысле с'., к функции ф отсюда нетрудно убедиться, что сР = г'[Ч[ (сравнить аналогичное рассуждение в доказательстве леммы 3).

Преобразование Фурье (58.66) определено пока лишь для тех элементов ср ~с Ее( — оо, +оо), которые являются непрерывными функциями с интегрируемым квадратом, однако по непрерывности опо может быть распространено на все пространство Де( — оо, +со). Действительно, пусть ср — произвольный элемент из пространства йе( — оо, +оо).

Согласно определению пространства Э аа Ортонорнироаанные аазием и разложения аа нин множество непрерывных функций плотно в нем. Следовательно, существует последовательность непрерывных функций ерл ~ 1,„( — со, + со), и= 1, 2, ..., такая, что 1пп (рн=ер. Пусть Е(ерн)=-яр„, п=.1, 2, .... В силу теоремы Планшереля Ил — ЯР 1=1'Рл — 'Р )' " "'=-1 2 поэтому последовательносгь (зр„) фундаментальна в 1, и, следовательно, сходитси. Пусть зр= Игп лрл. По определению полагаем л лл ф =-Р(р).

(58.67) Если ер'„~ 1я( — оо, +со), п=1, 2, ...,— какая-либо другая последовательность непрерывных функций, сходящаяся в 1.,( — со, + со) к элементу ~р, и если ~>„* = Е(гр,*,), то из равенства Ьл — р:~! = И.— й яме~и )нн зр„=ф. Такимобразом, определение(68.67) независит от выбора последовательности непрерывных функций, сходящейся к элементу ер. Для любого ер ~~ йк( — оо, +со) справедливо равенство !!Р1'р)) =Ы. что сразу следует из того, что это равенство имеет место для непрерывных функций ер С 1.з ( — оо, +оо) и непрерывности нормы.

Далее, легко проверить, что преобразование Фурье линейно на 1.,( — оо, +со), т. е. ГР, 'з+),р,) =) гр(р.)+) ег рр,! лля любых ~р, и ~ря из (.з ( — оо, +со) и любых чисел Х, иХя. Это верно для ступенчатых функций. Они образуют плотное в 1з( — со, +со) множество. Отсюда предельным переходом указанное равенство получается для любых элементов пространства 1.з( — оо, +со). Наконец, преобразование Фурье отображает пространство 1з( — оо, +со) н а с е б я, т. е„ каков бы ни был элемент ф ~ 1.з( †, +со),существует такой элемент ~р ~ 1,,( †, +со), что Яер) = ф. Для того чтобы это показать, следует тем же методом, как это было сделано для преобразования Фурье, определить на пространстве 1з( — со, +со) обратное преобразование Фурье Š†' и показать, что для любого элемента зр ~~ 1з( †, +оо) справедливо равенство 1г Чзр)~1 =- ')зр1.

Затем можно показать, что Р (г" — Ч)Р)) = яр бйд Общие соображения для всех ф ~ 1., ( — со, + со), исходя из того, что это верно на множестве ступенчатых функции, образующих плотное в 1.я( — оо, +со) множество. Если теперь для элемента ф ~е Ея( — оо, +со) взять элемент ю = с" 'Щ то получим Р(ср) =ф, что и означает, что преобразование г" отображает все пространство 1,, ( — оо, +со) на себя. Суммируя все сказанное, получим следующую теорему. Теорема 1В ~Планисерель).

Преобраэование Фррье г линейно опюбражает пространапво Ья( — оо, +со) на себя, при этом для любого элемента со ~~ Е,я( — оо, +оо) справедливо равенспио Нр!сг) П=П'рП. 1, если )х( <— 2 О, если ~х() 2 т(х, е) == ф 59. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 59.1. Общие соображения В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение классического понятия функции, а именно понятие обобщенной функции. Это понятие возникло при решении некоторых физических задач и в последние годы прочно и быстро вошло в математику. С помощью этого понятия можно распространить преобразование Фурье на существенно более широкий класс функций, чем абсолютно интегрируемые или интегрируемые в квадрате функции.

Оно позволяет сформулировать на математическом языке такие идеализированные понятия, как, например, плотность точечного заряда, плотность материальной точки, мгновенный импульс и т. п. Характерным для многих задач физики является то обстоятельство, что вводимые для описания того или иного объекта функции точки имеют смысл лишь постольку, поскольку непосредственный физический смысл имеют некоторые интегралы от них. Обобщенные функции и возникают как некоторое обобщение семейств интегралов от произведения двух функций, одна из которых фиксирована, а другая может выбираться произвольно из некоторой совокупности.

Рассмотрим пример плотности материальной точки. Пусть в точку х, = О числовой оси помещена масса, равная единице„а в других точках этой оси нет никаких масс. Обозначим через т (х, в) массу, отрезка длины е с центром 8 е1 в точке х, т. е. отрезка ~х — —, х+ — ~; очевидно, что эта мас- 2 ' 2~ е 6 1 са равна единице, если отрезок ~х — —, х+ — ' ~ содержит 2 2 ~ точку О, и нулю в противном случае: 4 59.

Оаобигеннне Функции зев Поэтому, определяя линейную плотность 6(х) распределения данных масс классическим образом, т. е. как предел отношения масс, расе ет положеыных на отрезке [х — —, х + „-~, к длине е этого отрезка, когда он стягивается к точке х, получим е-+о е ! О, если х+О. С другой стороны, естественно потребовать, чтобы масса любого отрезка !а, 6! равнялась интегралу от плотности 6(х) по этому отрезку, т. е.

чтобы » ~ 6(х),( (»1, если О г- [а, Ы, (О, если О~ !а, Ы (59.2) 1 е —, если (х! <— е 2 6,(х)= (59.3) О, если )х!)— г При е- О будем иметь 1+со, если х=-О, 1!гп 6,(х) = к е-+о ' 1 О, если х~О, т. е. 6(х) = 1пп6,(х) (59.4) в смысле обычного определения предела функции, зависящей от параметра. (мы написали интеграл формально). Очевидно, что с классической точки зрения равенства (59.1) н (59.2) несовместны; функцию 6(х) надо считать либо неннтегрируемой, либо с интегралом, равным нулю на любом отрезке (в смысле несобственного интеграла).

Характеристики

Список файлов книги