kudryavtsev2 (947414), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теорема Б. Для того чтобы ортогональная сисепема (58.22) предгильбертсви просепранстви )7 была полной в пространстве Я, 88.8, Ряды Фурье необходимо и достаточно, ч!пабы для любого элельента у ~ К выполнялось условие 1У ~~Я = ~', аь 1'е„!!!', (58.35) где а„— коэффициенты Фурье элел!енто у по сиапеме (58,22). Равенство (58.35) называется равенством )7арсеваля.
В случае, когда полная система (58.2!) ортонормирована, равенство Парсеваля принимает более простой вид 2 1у1'= '~' аы ая=(у, еь), й=.1, 2„... ! я !!з я у — ~ч„' а,е„$ = Пу)' — ~ ая!!е„!('. ь ! ь=! Переходя здесь к пределу при и- оь, мы и получаем эквивалентность условии я 1нп ~у — ~ч~З а„е„= О ь -! (58,36) и условия я 1нп 17)у)~ — ~' аь'1е„1' =О, я со!, ь=! т. е. условия '1 у '1' = 1ип "З" аь 1еь 1'. '"' !ь ! (58.37) 1-1о условие (58.36) означает выполнение раьенства (58.32), а условие (58.37) — равенство Парсеваля (58.35). Теорема доказана. Вь:ясним теперь вопрос о единственности ряда Фурье для данпогс элемента.
Теорелга 6. Если ортогональная система (58.22) предгильбертова пространство И полная, пю элемент у ( Я, у которого все каэф фициенты Фурье по систел!е (58.22) равны нулю, сам равен нулю. С л е д с т в и е. Из равенства всех коэффициентов Фурье у двьр элеменгпов пространглпва Я по полной ортогональной систелье (58.22 вытекое!и розене!пес самих элементов. и представляет соСой обобщение теоремы Пифагора на бесконечно- мерные пространства. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 5.
Мы имели (см. (58 20)) р Ж Оргонормироеанные базисы и разложения по нил! Утверждение теоремы сразу следует из равенства Парсеваля. Действптелщю, согласно (58.35), из условия пь —— О следует1у1 = О и, следовательно, у = О. Если, теперь у,~)~ пуз~~)т, причем все их коэффициенты Фурье равны между собой: (Уо ~ь) (Уе еь) то для элемента у = у, — уз все коэффициенты Фурье равны нулю: ~у'И =.~у — у 'и) Ь! М Ь'-,) О, й 1 2 1ез)з 1еиР 1елР геьР и, следовательно, согласно теореме, у = О, т. е. у, = ум Теперь дадим еще один подход к понятию полноты ортогональной системы в полном пространстве Я. 0аределение б.
Ортогональная система (58.22) называется замкнутой, если в просп!ранствв зт не сущесгпвувт элемента, отличного от нуля и ортогонального к каждому из элементов система! (58.22). Теорелга 7. Если пространство )7 полное, то ортогональная система (58.22) полная тогда и только тогда, когда они замкяутая. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если система (58.22) полная, у ~ )~' и у ортогонален ко всем элементам системы (58.22), то все его коэффициенты Фурье по системе (58.22) равны нулю (см. (58.18)), следовательно (теорема 6), у = О.
Обратно, пусть система (58.22) замкнутая, у ~ К и у в ~р ~алек. Согласно теореме 3, ряд Фурье элемента у сходится, и=! Оз и если уе= ~~ а„его то у — у,) ем й=1, 2, .... Поэгоыу в силу и=! замкнутости системы (58.22) у — у,=О, т. е. у=у, и у= чр иьеь. ь=! Теорема доказана. 58.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельиых гильбертовых пространств Теорема В. Во всяком сепарабельном предгильбертовом просгпранствв Тг со скалярным произведением существует ортонормированный базис е, й = 1, 2, .... До к а з а т ел ь с т во. В случае, если пространство Я и-мерное, теорема очевидна (см. п.
57.2 и п. 57.3), поэтому будем рассматривать только случай, когда пространство Я бесконечномерно. ба 4. Ср>Чествование базиса 34З Поскольку пространство )г сепарабельно, то в нем существует последовательность элементов ггд, й=1„2, ..., (58.38) образующих полную систему. Отбрасывая последовательно те из элементов, которые являются линейной комбинацией предыдущих, получим последовательность элементов г!>д, й=1,2, ..., (58.39> имеющих ту же линейную оболочку, что и исходная система (58.38), и линейно независимых (почему?). Применив к полученной системе процесс ортогонализации (см. п. 58.2) и нормирования (см. п.
58.1), получим ортонормированную систему е„, >>ед(=1, й=1„2, ..., (58.40) имеющую ту же линейную оболочку, что и система (58.39), а значит, ту же, что н система (58.38). Поскольку в силу полноты системы (58.38) эта линейная оболочка плотна в >>?, то система (58.40) полна я. В этом случае, как известно (см. п. 58.3), ряд Фурье каждого элемента у ~Я сходится к у: у= ~чг', адед, ад=(у, ед), й=1, 2, ..., л=> х= ~' Ьдед, л-> (58.41) единственно. Действительно, из (58.4!) следует, что (х, е )= ~; Ьд(ед, еи)=»„, п=1, 2, л=! т. е.
числа Ьо, и = 1, 2,..., являются коэффициентами Фурье и, следовательно, определены однозначно. Теорема 9. Все селарабелоные бесконеиномерные гилобертовы пространспгва азоморфны между ссбайв>. > Определение бссконечног>ерности пространства си. в п. 67.2, а изоморфизма пространств — в п. 57.4. и так как система (58.40) — линейно независимая система (см. лемму 1 в п. 58.1), то она и является ортонормированным базисом пространства )? (определение базиса см. в п.
57.3). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что разложение каждого элемента х~ Я по ортонормнрованному базису ед, й = 1, 2, ..., т. е. представление элемента х в виде Э Я. Оргрнррл!нроеенные бпзнеы и разложения яр ннм х ~~ азе„, у ~~ Ь„е, е=! е=-! (х, У)= ч', ае Ь„(е„((з, (58.42) в частности, если дополншпельно предположить, ипо (!е„1= 1, й=-1, 2, ..., то СО (х, у) = ~чР а„бм (58.43) е=! Формула (58.42) обобщает, очевидно, формулу для скалярного произведения в и-мерном пространстве (см. и. 57.4). Доказательство. По определению коэффициентов Фурье (з, ее! ,.
(у, ея! (, *Р 1(ее(е поэтому имеем 4! П и ~~' пи ея у — ~~ Ье ен ~ = (х, у) — "Я Ь„(х, еь)— й-! е=-! й=. ! — ~ч~~ а„(у, еь)+ ~~ а„Ь„(ея, ее)=(х, у) — ~ ая Ь„!еЯ (58.44) е-! Из полноты системы ея, й= — 1, 2, ..., имеем / л поэтому в силу непрерывности скалярного произведения прн п — ьь левая часть равенства (58.44) стремится к нулю, следовательно, это имеет место и для правол части, т. е. !!гп ~г„а„Ь„)ее!Р=(х, У). н Оэе Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Я вЂ” гильбертово пространство, е„, 1= 1, 2, ..., — ортонормированный базис в й и аер А = 1, 2...„ Предварительно докажем две леммы. Первая из них обобщает равенство Парсеваля (58.32). Лемма 1. Пусть й — предгильберп!ово пространство, е„(е„+ О), а= 1, 2, ...,— полная ортогональная система вй, х~ Й, у~К и пусть БВ.4. Сгог<еетеоеаиие базиса 347 2 — последовательность чисел, пгаких, чпго ряд ~Ч~ а>, сходится.
е-! га Тогда ряд ~чг', а„е„сходится в прсстранспгве й, и если и=! у = ~ч ', а е„, то а„, >г = 1, 2, ..., — коэфАиг<гген>ггы Фурье элемента у. >; ! Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в„= ~ а„е„, то Ь=! а+р аь ег, ~ = и=и+! и+р )ви+р — в )е= ~ аье„, '.=-а ! ! ~ге — ам п=1, 2, ...,р=О,),..., 2 и в силу сходимости ряда~~' ар он удовлетворяет критерию Коши для я-! сходащихса РЯдов.
Ото<ода следУет, что последовательность 1эа) Является фундаментальной в пространстве й и, следовательно, сходится. Пусть у=1пп в„, т. е. у=- ч~„а е„, а ОО е-г тогда в силу единственности разложения элемента пространства по базису (см. замечание к теореме 7) Ь.е,)=ам й=),2,... ° Лемма доказана Доказательство теоремы 9. Пусть Р н )<' — два сепарабельпых бесконечномерных гильбертовых пространства.
Согласно теореме 8, в них существуют ортонормированные базисы, соответственно ем )г = 1, 2, ..., и ез, )г = 1, 2, .... Пусть х~)< и пусть х=- ~ч', а„е, тогда а„— коэффициенты и=! Фурье элемента х и, следовательно, по равенству Парсеваля ряд гю са ~ч~~ ае сходится. Положим х' = у а ее'. Согласно лемме 2, это з-! л=! имеет смысл. Отображение пространства )<> в пространство Я', ставящее в соответствие каждому элементу х~)< указанный элемент х'~)<', и осуществляет изоморфизм этих пространств. Действительно, при й й8. Ортонорл!ирооаннл!я йозигил и разяозхения ио ния этом соответствии в силу единственности разложения элемента по базису разным элементам пространства Я соответствуют разные элементы пространства )т'.
Далее, всякий элемент пространства ля' поставлен в соответствие некоторому элементу пространсгва лт (т. е. указанное отображение является отображением на пространство й'); в самом деле, если х'~й', то, разложив его в )т" по базису, получим х'= ~ ад ед. Д-1 Пусть х=~ адед Д=1 (такой элемент существует, см. лемму 2). Очевидно, что элементу х и соответствует при установленном соответствии элемент х'. Покажем, наконец, что при этом соответствии сохраняется скалярное произведение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
