kudryavtsev2 (947414), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Данное определение оправдывается следуюшими обстоятельствагин. 1. Последовательность (57.33), удовлетворяющая условиям (57.34), является фундаментальной в Ее[а, 5[. Действительно, в силу (57.34) [[!.— (.,[!=[[(тв — ))+(7 — )и)[!<[[7в — 7[[+[У !.[[-О при и -ь со и т — оо, поэтому последовательность (57.33) принадлежит некоторому классу 1'в эквивалентных фундаментальных последовательностей (см.
и. 55.1). Функция 1 и рассматривается как представитель указанного элемента 1'а ~ Е,[а, 5[, причем пишется 1О'. 2. ПоРма [!)в [! ваостРанстве Ее [а, 5! и квазиноРма (57.25) [!)[! совпадают. В самом деле, в силу определения нормы при пополнении пространства (см. п. 55.3) [[(а[[= 1пп [[7"„[[; (57.35) у а7. Функциональные орос»рана»на (57.39) Ч, а) =(У', а') (здесь слева стоит квазискалярное произведение (57.24), а спра- ва скалярное произведение в Е»[а, о!). В самом деле, ! ь ~ 1 ~ [Л ! (х) + рй (х)!' с[х ~ ' = [! Л~+ рк [! ~( ! Л ! [! ) [[+ ! р ! [! д [! (+ оо „ а и если [„с с.»[а, 5), д ~ 7» [а, б! и И п1 [! ! — („[! =-. О, 1пп [[у — д„[[=О, то Л)а+1»да~1.~»[а, Ь[, п.=1,2, ..., и (Л !+Ы) — (Ч„+ [сук) ! -'.- ! Л ! [! г' — Ц, '+ ! р ! [! д — ссн [! — » О при и — со.
Как видим, для функции Л! + ру выполня~отся условия (57.32) н (57.34), тем самым (57.36) доказано. Для доказательства (57.39) заметим, что в силу определения скалярного произведения при пополнении пространства (см. п. 57.4) (г'* а') =- 11 Ч. рн) (57.41) и аа С другой стороны, применяя неравенство Коши — Буняковского для квазискалярного произведения (57.24), получим Т, а) †.,а)! < [(1, у — у.)! + [(1 †., а.)! .= 4 [! ! [! [! д — у„[[+ [! г — (а [! [! у [! -+ О при п-» оо, т.
е. (Г,у) =- 1[п1 (г„,у„). и сс (57.42) Сравнивая равенства (57.41) и (57.42), мы и получим условие (57.39). Очевидно, что из (57.39) получаеп:я в случае ) = алеше раз равенство (57.37). Из свойств 2 и 3 следует, что вмепо того, чтобы оперировать в рассматриваемом случае с сабстрактными элементами» пространства Е» [а, 5[, можно оперировать с их представителями, что, конечно, значительно удобнее и проще, так как все операции приводятся к обычным операциям над функциями.
Следует иметь в виду, что разные функ»[пи ! и д, удоелетюоряющие условиям (57.32) и (57.34), могут являться предсспаесапелями одного В7.В. Пространство Ьз и того же элемента простронствп 5в [а, Ь]. Это возможно тогда и только тогда, когда [] 1 — д[[=О. (57.43) Действительно, пусть (~(*~5,[а, Ь[,дЕд'~(.с[а, Ь]. Если (* = д'. то в силу (57.37) н (57.38) [У вЂ” д[[= [[д — д)*][= [У* — д* [[= о. Если же выполняется (57.43), то, употребляя обозначения (57.40), получим ][~„ — д„[[ < [[(„ †(][+ []( — д[[ + ]]д — д„[[-+О пря я-эоо. (57.44) У(х)]<И, 5 <х(т] Возьмем какое-либо 5 ) О, такое, что 5-окрестности точек яь 1 = О, 1, ..., /г, пе пересекаются и содержатся в интервале (а, Ь). Определим теперь вспомогательную функцию ср следующим образом: Это означает, что последовательности ([„) н (д„) эквивалентны, а значит, выполняется равенство (57.44). Интересно получить условия, выражающиеся в терминах свойств только самой функции ( (без привлечения последовательностей непрерывных функций (57.33)), влекущие за собой принадлежность функции 1 пространству йя]а, Ь] в вышеуказанном смысле.
Можно доказать, что если функция 1 удовлетворяет только условию (57.32), то она уже принадлежит пространству йв[а, Ь]. Мы, однако, для простоты ограничимся доказательством более слабого утверждения. Теорема 4. Пусть Функция 1 определена на отпрезке [и, Ь] и пустсн 1) на любом отрезке [К, т]],а '$(т[~ Ь, Функция 1" кусочно непреривни' ь 2) интеграл ] (э(х) с[х сходится, тогда 1 ~ 5, [а, Ь[. До к аз а тел ь ство; Функция 1 кусочно непрерывна на отрезке [5, т][ (см. п.
28.1), поэтому существует его разбиение т =($;)'=о ($в = $ яь — — Ч), такое, что функция ( непрерывна на каждом интервале (Чс ы $с), и существуют конечные пределы $Д, + 0), Яс — 0) (1 = 1, 2, ..., н — 1), 7(Ь+ 0), ((т] — 0). В силу этого функция ( ограничена на отрезке Ц, 11]. Пусть число Ь[ ) 0 таково, что 6 й7, Функционплпнв!е поострпнства 7(х), если хС $,т[[,([(Ц вЂ” 6, З!+6), ! ! "'-+"', '(' ")( -~,+6)+И,— 6). 26 если хц(з! — 6, $!+6), с=-1,2, ..., Ь вЂ” 1, (х — я+6), если х~ [з — Ь,з[, (ц — х+ 6), Ь о, со (х) = если х~ [!), ![+6[, если х~(а,Ц вЂ” 6)илах~(!)+Ь,Ь) Таким образом, функция !р совпадает с функцией 7" во всех точках отрезка [$, ц[, ие принадлежа!пик ни к какой из 6-окрестностей точек $„! =- 1, 2, ..., Ь вЂ” 1, а а этих окрестностях функция гр линейно пнтерполирует значения функции 7' в концевых точках этих окрестностей; вне же отрезка [з, т)1 функция !р в 6-окрестности точек З я т! линейно переходит в ноль (рнс.
175). Очевидно, что функш!я тр непрерывна и [гр(х)[ <М, а~(х (Ь. Рис. 77й Лалее, ! !!+и 1(1 — с7)'с[ = 1Ю вЂ” т7)'с[х+ ~~»; 1 Ч вЂ” Р) с(х+ и Р !-! Е! — Ь и ! в ! !!+в +~(~ — ср)ис[х<2~)п!с[х+2 ~ Ч~'с(х+ ''~~ 4!И' ~ с(х+ а !-! 1,— в 8722 Прострела(ео 72 +6 ь +2 ~ (рв([х+2~1'г[хь' < 2~)з([х+2М'5+5АМей+ 24 а ь 6 ь .(.
2л' В .(. 2 [ (' 4* = 2 [ (' 4* (- [ 6 4* ) .( 4(26 4- ( (а' 6. (62.46( а Пусть геперь задано н ь О. Выберем отрезок [х„г)] гак, чтобы Е ь ') 16 Лх + ) 1' г[х ( —. и ч Это возможно в силу сходимг(сти интеграла ) 12(х)([х. а Затем выберем 5 >0 гак, чтобы 4(216+ [) М'5( —, тогда из неравенства (57.45) получим Отсюда, очевидно, следует сущесгвование последовательности непрерывных на отрезке [а, Ь[ функций, сходящейся в метрике йв к функции 1, т. е. для функции [выполняется условие (57.34).
Что же касается условия (57.32), то его выполнение предполагалось с самого начала. Итак, 1~1.2[п, Ь) Теорема доказана. 1 задача 27. Доказатьч что функция 1(х) == не принадлежит прост- 2( Х ранству Аз[ в и, и), т. с. не является пределом в среднем в смысле йь последовательности непрерывных функций. Задача 28.
Пусть йлз[о, Ь[ — предгильбертово пространство, порожденное линейным пространством функций, интегрируемых по Риману на отрезке [о, Ь) с квазискалярныь( произведением (87.24). Доказать, что пространство ~,з[а, Ь[ неполно и что его пополнение изоморфно пространству 1.2 [а, Ь). Определение пространства йв[а, б[ естественным образом обобщается и на случай бесконечного промежутка.
Рассмотрим для определенности всю числовую ось. Для двух непрерывных интегри- ") Ь[ы воспользовались очевидным числовым неравенством й Б7. Функкаональные пространства руемых в квадрате на всей вещественной оси функций гр нар скалярное произведение определим по формуле +со (ф, ф) =- ~ ф(х) ф(х)с(х. Это определение корректно, ибо интеграл, стоящий справа, прп сделанных относительно функций гр и ф предположениях сходится и даже абсолютно.
Это сразу следует из неравенства (гр(х) ф(х) ( ~( (57.46, ') и (х) г(х = )' ~ сс, (х) г(х. ч га Свойства скалярного произведения для (57.45) легко проверяются. Моясно показать, аналогично конечному промежутку, что получившееся при этом метрическое пространство непрерывных интегрируемых в квадрате функций не является полным в метрике, порожденной скалярным произведением; его пополнение обозначается Е з( — со, +со). Замечание.
Мы видели, что в одних и тех же линейных пространствах можно разным образом вводить квазинормы, н частности нормы. Поэтому часто во избежание недоразумений квазинорма (норма) элемента х пространства тс обозначается не просто символом () х 11, а символом 11 х 11 . Например, норма (57.10) функции Š— символом 11)((с(,,ь) или, короче, ())()с, квазинорма (57.11) — символом 1(Е 11Е 1, или, короче, 1) ) 11,, квазпнорма (57.25) — символом 11 7" ()„1, ь пли, короче, ()1)1, . Сходимость последовательности функций по квазинорме р)(е, называется также сходнмостью в смысле среднего квадратичного (см. определение 5 в п. 55.2) или сходимостыо в среднем в смысле Е„ а сходимость по квазинорме 11))(, — просто сходимосгью в среднем или, подробнее, сходимостью в среднем в смысле Ет У и р а ж н е н и я.
19. Доказать нсзквивалентносгь понятий скодимостн в среднем в смысле Е, и Ез для последовательности функций. 20. Доказать, что если последовательность интегрируемых функций ф„(х), и =- 1, 2, ..., равномерно сходится на отрезке (а, Ь) к интегрируемой функции ф(х), то она скодится и в среднем в смысле Е, и Ез к втой функции. 21. Построить пример последовательности непрерывных функций, сходящейся к некоторой непрерывной функции в среднем на отрезке в смысле Е, но не сходящейся равномерно на атом отрезке.
22. Пусть п (х), л = 1, 2, ..., — интегрируемые функции. Доказать, что если ряд ~, и„(х) сходится в среднем в смысле Е, иа отрезке [а, Ь) к интегрви-1 руемой функции и(х), тогда зтот ряд можно почленно интегрировать на отрезне (о, Ь): ь со ь вас 5К.1. Ортонорннроеонние еистелси А(ы для простоты рассматривали в примерах функции одного переменного. Подобным же образом, если взять линейное проссранство функций, непрерывных на замыкании некоторого кубируемого множества 6 с:. Е", ввести скалярное произведение по формуле (ср,т)с) =~с1сф й6 н пополнить получившееся пространство, то получим гильбертово пространство, которое обозначается 1.т(6).
1т(ьс описали различные типы пространств. В анализе в основном изучаются пространства, элементами которых являются функции. Такие пространства называются функциональньсмсс. Введенные в этом параграфе многочисленные определения будут применяться в дальнейшем для описания определенных свойств различных классов функций в привычных и наглядных геометрических терминах (пространство, точки, расстояние, вектор, базис и т.
и.) и помогут установить аналогии, имесощиеся между обычными и-мерными векторными пространствами и пространствами функций, и выяснить специфические свойства бесконечномерных функциональных пространств. ф 58. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НИМ Б8.1. Ортонормированные системы Определение 1. Пусть П вЂ” предгильбертово пространство. Элементы х ( )сс и у ( тг назяваются ортогональнылси, если (х, у) = О; в енсом случае писиетпся также х 1 у. Определение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
