kudryavtsev2 (947414), страница 51
Текст из файла (страница 51)
7. доказать, что простравство непрерывных иа отрезке (а, 51 функций, расстояние между которыми определяется по формуле (57.8), ие является полным. 67.2. Линейные пространства Определение 11. Множество элементов(х, у, г, ...) называется веи(ественным линейным пространством Я, если: каждой упорядсненной паре (х, у) элеменпюв х ~~ Я и у ~ Я поставлен в соответствие некоторый элемент пространства 1с, называемый суммой х и у и обозначаемый х + у; каждому элементу х( К и каждому веи(ественному числу Х поставлен в соответапвие элемент пространства Й, называемый про- Все аксиомы метрического пространства в этом случае легко проверяются (проделайте это). Полученное метрическое пространство непрерывных па отрезке (а, Ь) функций с метрикой (67.8) не является, как это можно показать, полным. Согласно теореме 1, его можно дополнить до полного пространства.
Естественным образом аналогичное пространство вводится и для функций, определенных на бесконечном промежутке. Например, в случае а == †, Ь = +со для двух непрерывных абсолютно интегрируемых иа всей числовой оси функций ф и ф расстояние определяется по формуле 572 Ливевние пространства изведением Х на х и обозначаемый Хх.
При этом выполняются следуюи(ие группы аксиом: !. а) х + у = у + х для любых х ~ Я и у ~ Е; б) х + (у + г) = (х + у) + г для любых х ~ И, у г- 1! и г ~ К; в) в Я сущеопвует элемент, назыикмый нулевым и обозначаемый О, токой, что х + О = х для любого х ~ й; г) для каждого х ~Я существует элемент, намлваелалй обршпным и обозначаемый — х, такой, что х + ( — х) = О; 2. а) 1.х = х для любого х(- К б) Х(рх) = (Хр)х для любого х~ Е и любых вешественных чисел Х и р; 3. а) (Х+ р)х= Хх + рх для любавах(- )г и любых вещественных чисел Х и р„ б) ).(х+ у) =Ах+ ).у для любых х~Д, у~К и любого ве. щественного числа к.
Для каждой пары элементов х~Л и у~Я элемент х+ ( — у) называется разностью элеменпюв х и у и обозначается х — у. Примерами вещественных линейных пространств является множество всех вещественных чисел, а также множество всех вещественных функций, определенных на некотором множестве Е, при естест. венном определении сложения и умножения их на число. Если в определении 11 вещественного линейного пространства всюду вещественные числа заменить комплексными, то получится оп реъел епие комплексного линейного проопранства.
Примерами комп. лексных линейных пространств являются множества всех комплексных чисел, а также и множество всех комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве, при естественном определе. нии сложения их элементов и умножения их иа комплексное число. Определение 12. Множествами', содержащееся в линейном пространстве Е (вещественном или колтлексном), называется подпространством пространства Е, если: 1) х+ у~)(' для любых х~)г" и уС )!', 2) Хх(К для любого х(Е' и любого числа Х (соответппвенно вешественного или комплексного). Очевидно, что подпространство К линейного пространства К в свою очередь является линейным пространством. Если А' — линейное пространство и х~ Я, то совокупность всех элементов пространства Е вида Хх, где Х вЂ” всевозможные числа, образует пример подпространства пространства Я.
Множество функций, вещественнозначных и непрерывных на некотором множестве Ес:Г, является подпрострапством пространства всех вещественнозначных функций, определенных на этом мио. жестве Е. Элементы линейных пространств обычно называются точками, или векторалш. 808 В 57. Фрнкклоьольлые пространство Определение 13.
Конечная система векторов х„..., х„линейного проспгранства >с (вещественного или коыплексного) называется линейно зависимой, если существуют такие числа Х>, ..., Ла (своп>- ветственно вещественные или комплексные), не все равные нулю, что Л>х + ... +Л„х„=О. В противоположном случае система векторов х„,..., х„называеп>- ся линейно независимом. Определение 14.
Система век>доров хо, а ~ й, (е1 — некоторое множес>пво индексов) линейного просп>рвнс>ива )г навьи ается линейно независимой, если любая ее конечная подсистема х„„х„„..., х„„линейно независима. У п р а ж н е н и я. 8. Доказать, что если система х, аЕз1, линейно независимая, то хо~о для всех ачба. 9. Доказать, что, для того чтобы конечная система векторов была линейно зависима, нсобходилю я достаточно, чтобы одни яз нпх являлся линейной комбинацией остальных. Определение 15. Совокупностпь всевозможных конечных линейных >сил>бина>1ий век>порог сис>пены (хп, о~Я), т.
е. совокупность всевозможных веко>оров вида Л> хо +Леха + " +Л*хои' зве х„1~(хо, а~6), а Л вЂ” числа, г'=1, 2, „., й, называется линейной" оболочкой систел>ы (х, о~6). Определение 16. Если в пространстве 1с (вещественнол> или комплексном) имеется система и линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых является просгпранство )т>, то оно называется и-л>ерным и обозначается )с", а всякая система и линейно независимых векгпоров, линейной оболочкой колюрых является просп>ранов>во )с'", называется базисом просгпранатва.
Иначе говоря, векторы е>, ез, ..., е„являются базисом пространства 1г", если: 1) векторы е„е,...., е„линейно независимы; 2) для каждого х ~Р" существуют такие числа Л>, Лз,... Л„, что х=Х>е>+Лаев+ ... +Х„е„. У п р а ж и е н и е 10. Доказать, что в и-мерном пространстве йа каждая система линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых является й", состоит из л векторов и обратно; каждая систел>а из и линейно независимых векторов в л-мерном пространстве является его базисом.
Примером и-мерного вещественного пространства является пространство, точкамн которого являются точки и-мерного евклидова пространства(см. т. 1, п. 18.1), т. е. упорядоченные комплексы и вещественных чисел. Прн этом сложение двух точек х=(к,,..., ха) 307 57Л Кора!ароаанные пространства и у =- (у„..., у„) определяется по правилу х + у = =(хт+у„..., х„+ у„), а умножение точки х на число Х вЂ” по правилу1х=(Ххт, ..., 7х„). Базисом в этом пространстве являются векторы е, = [б!, ..., Ь„"), где 6~! — так называемый символ с(ронекера ~1, если !'=-/, б'; =- (О, если счь/. Очевидно, что х=(х„..., ха) = ~~'., хсе,.
! ! Определение 17. Два лине" ых просп!ранстеа сс! и Кт наев!во!отея изоморфными, если между их злементпали! существует псиное взаимно однозначное ссэтвеп!степе у=/(х), х ~ /7т, ус Я„чпсо/(х+ у)= =-/(х) + /(у), /(Хх)=Ц(х) для любых х г- Яы ууы~ Я! и любого числа Х.
Соответсннзие / называется в етом случае ивоморфивлюм пространен!в )7! и Яз. /(ва изоморфных пространства могут отличаться лишь природой своих элементов, а не свойствами линейного пространства как такового; поэтому в дальнейшем часто мы не будем различать изоморфные линейные пространства. У и р а ж н е н н е 11.
Доказать, что все и-мерные линейные пространства нзоморфны между собой. Определение И. Если линейное пространен!ео )7 не являеп!ся и-мерным ни яри каком натуральном и, пю ано называер!ся бесконечнамер Если линейное пространство )т бесконечномерно, то оно не имеет базиса, состоящего из конечного числа элементов. Попытка обобщить понятие базиса приводит к бесконечным суммам, т. е. к рядам вида~ )ые„, /(ля того чтобы имело смысл говорить об их сумме в прои=! странстве /т, должна быть задана какая-то метрика. Рассмотрению такого вида пространств посвящен следующий пункт. 57.3.
Нормированные пространства Определение 19. Линейное прасспранстеа /т! (вещесп!вен- ное или комплексное) называеспся нормированным, если на л ножест!не его точек определена вещественная фун ция называемая нора!ой, обозначаемая(х~, х~Я, и удовлетворя щая следующим свойсп!вам: 1) 1х~>0, х~)т, 2) 1),х1=1Х! '1х1, х~И, Л вЂ” число, 3) 1х+у(<()х))+((у((, х~й, у~/т'. 4) если 1х(=0, то х=О.
зоа В Б7. Функциональные пространства Заметим, что из свойства 2 следует„что если х = О, то ) х~ = О. Действительно, фиксируя произвольный элемент х(Я, получим ))0(=)(0 х))=01х)1=0. Определение 20. Если на мноахеипве точек линейного пространства Ус определена веи(ес(пленная функция 1х(, х( ((?, удовлетворнюгцан п(олька свойствам ?, 2, д, то пространство Я наэ((вас(пся кваэинорлгированным, и функция)х1 — клазинормой, или полунормой.
Отметим еще, что, очевидно, всякое подпрострапство линейного квазинормпрованного (в частности, нормированного) пространства в свою очередь является линейным квазинорлшрованным (соответственно, норьщрованным) пространством. Примеры линейных нормированных и квазннормированных пространств !. Множество вещественных и множество комплексных чисел, если за норму в них взять абсолютную величину чисел, а также линейное пространство и-мерных векторов х = (х„..., х„) с нормой !! (=Р Л+ .
(-н 2. Линейное пространство всех ограниченных вещественных функций, определенных на отрезке 1а, Ы (см. п. 57.2), превращается в нормированное, если в нем ввести норму по формуле И!1= эцр ) р(г)!. ие(<ь (57. 10) (5?.! 1) Это действительно квазннорма (свойства 1, 2, 3 легко проверяются), причем она не является нормой. В самом деле, рассмотрим, напри- мер, функцию /1 при х=а, ~0 при х((а, Ь). ') Мо(кво взять и бесконечиый промежуток, и частности исю ось.
Его нормированное подпространство непрерывных на отрезке (а, Ь) функций обозначается С(а, Ы. 3. Линейное пространство функшш, абсолютно интегрируемых (см. п. 34.4 и 33.4) на некотором отрезке!а, Ыв>. Определим квази- норму для этого пространства равенством Б7.8. Нормированные пространства 309 Очевидно, [Я = О, и так как 1" не равняется тождественно нулю ца отрезке [а, Ы, то она не является нулем рассматриваемого линейного пространства.
4. Пространство непрерывных на отрезке [а, Ь[ функций являетсн подпрострапством предыдущего пространства. Дла него квази- норма (57.11) является уже нормой. Это непосредствешю вытекаег из следующей леммы. Лемма 2. Если непрерывная, неотрицатлеланал на отрезке [а, Ы функция 7"(х) не является на нем тождественнылс нулем, що ~ 1(х) дх ) О. (57. 12) Д о к а з а те л ь с та о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
