kudryavtsev2 (947414), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Обозначим этн классы через х*, у*, гв, ..., а их совокупность — через яв. Если фундаментальная последовательность (х„) содержитси в классе х*, то будем, как обычно, это записывать следующим образом: (х„) г-хв. П. Определение расстояния р(хв, уч) в 1г>* Пусть (х,,) и (у„) — две фундаментальные последовательности метрического пространства 1г, тогда числовая последовательность Ю а7. Фанкционалииыи иросгрансгиа 300 и, следовательно, в силу симметрии индексов и и и ~р(хи,у„) — р(хану,„)~ (р(хи, х,„)+р(уси у,„).
(57.4) Из фундаментальности последовательностей (хи) и (у„) следует, что для любого числа в)О сушествует такой номер и„ что для всех номеров я~ и, и и.: и, выполняются неравенства Р(Х, хи) (уса) ) (57.5) Из (57.4) и (57.5) для п)~пс и и> пи получаем !р(х„, у„) — р(х, у )1< в. Следовательно, числовая последовательность (р (хси у„)) является фундаментальной, т. е.
удовлетворяет условию Коши н, следовательно, сходится. Пусть (х„) ~ хи, (у„) ~ у'. Положим по определению р(х', у')= =1ппр(х„,у„). В силу доказанного указанный предел сушести-~и вуег. Покажем, что так определенная функция р(х*, уи) не зависит от выбора фундаментальных последовательностей (хи) ~ х* и (у„) ~ уи и удовлетворяет аксиомам расстояния, Пусть (х„) ~хи, (х„')~хи, (у„)~уи, (у„') ~уи, тогда р(Хси уи) <р(х„,х„')+р(х„', у„')+р(у у„') ~ р(хси у„) — р(х„', у„') ~ < р(Хи, х„')+р (уи, у„'). В силу зквнвалентности последовательностей (хи), (х„') и соот- ветственно — (у„), (у„') получим 1ппр(хи, х„')=1ппр(у„, у„')=О и со и со и, следовательно, 1пп р(хсо уи) = 1ппр (х„', у„').
и со ™ и и со 1П. Проверка аксиом расстояния для Пусть (хи) ~ х*, (1„) ~ у*, (аи) ~ г'. Если 1ппр(хи, у~=О, т. е. йоследовательности (х„) Р(х уи) р(к', у )=О, то н (у„) эквнвалент- р(х„, у„) также фундаментальная, т. е. удовлетворяет условию Коши (см. п. 3.2). Действительно, для любых номеров и и и р(Хи, у„) (р(Хси Х )+р(Хаи у„)+р(у, уи) 67.д метрические иуостлонатоа иы, что означает совпадение элементов х" и у':х'=у". Из равенства р(х„, у„) = р(у„, х„) в пределе получаем р(х", 1~)= =р(у', х*), а из неравенства р(х„, у„) <р (х„, г„) +р(з„, у„) получаем неравенство р( ', у'):р('*, г*)+р(г*, )*).
Итак, Я~ является метрическим пространством. ЬЧ. Построение подпространства пространства Я изометричного пространству К Пусть х~ 77. Последовательность х„ = х, п = 1, 2, ..., очевидно, фундаментальная. Поставим в соответствие точке х~ )с точку х~ ~ 77*, такую, что (х) ~ х*. Если при указанном соответствии точке х соответствует точка х*, а точке у — точка у~, то, очевидно, при х + у н х' + у',:причем р(х', у') = !пп р(х, у) = р(х, у), т. е.
указанное соответствие осуществляет взаимно однозначное изометрическое соответствие между пространством 77 и некоторым подмножеством )с' пространства 77~. Точку х* пространства К~, соответствующую при рассматриваемом соответствии точке х~ !т, мы будем для простоты обозначать также через х, а пространство Я' через )г. Мржно считать, что мы просто отождествили соответствующие точки пространства Й и К' (см. замечание после определения 7). В этих обозначениях имеем 77~)7~. Ч. Доказательство плотности Я в Я~ Покажем, что каждая точка х* пространства Я~ является точкой прикосновения множества Я.
Для этого достаточно показать, что для любой точки х~ ~)7~ существует последовательность х ~77, п = 1, 2, ..., сходящаяся к х~. Пусть х~ ( К~ и (х„) ~ х*, х„~ 77. Точку пространства Л'~, содержащую фундаментальную последовательность, все члены которой равны одной и той же точке х„„будем обозначать, согласно сделанному выше соглашению, также через х„. Докажем, что последовательность (х„), х„~ Р~, сходится к точке хэ ~ К~. Пусть фиксировано число а ) О.
Р."з фундаментальности последовательности (х„) следует, что существует такой номер и„ что для всех номеров н > п, и т > и, выполняется неравенство р(х, х„)(е. (57.6) Замечая, что по определению расстояния в )7" р (х', х„) =. = !!ш р (х, х„), из неравенства (57.6) для и )~ п, получаем п~ ю неравенство р(х*, х„) (е, р З7, Функциональные пространства т. е.
Итп р(х*, х„) =- О. что и означает, что точка х* является а ьь точкой прикосновения множества Р, Итак, тс' = Р". Ч1. Доказательство полноты пространства )т' Пусть ( х„) †фундаментальн последовательность точек про. * ь 1 странства К*, пусть х„~Р и р(х„, х„) к.—, п=1, 2, .... Так!н точки хн существуют в силу плотности К в Р*.
Последовательность (х„) фундаментальная. Действительно, замечая, что р(хв, хы) < р (Хев Х„)+р (Х„, Х )-4- 1 ь 1 + р ( х, хы) ( — + р ( х„, хы) + —, * ь1 е 1 е 1 е выберем номер и, так, чтобы р(х„, х )( з, — ~ з, — ( —. для Всех и )~ па и и ~ ле Тотда (57.7 ~ р(х,х )~з+з+з=е для всех п ьпе и гп~.-п„т. е. последовательность (х„) — фунда.
ментальная. Обозначим через х* класс эквивалентных последовательностей, которому принадлежит последовательность (х„). Очевидно, р (х', х„) < р (х", хД+ р (х„, х„) =- р (х*, х„)+ —. 1-1о из (57.7) при и- со и н'.» н, получаем р(х*, х„)= !пп р(х, х„) < е. Следовательно, 1пп р (х', х„) = О, а ьь а потому н Ип1р(х*, х„) =- О. п а Таким образом, мы доказали, что данная фундаментальная последовательность(х„) сходится в Яв. Полнота Яе доказана. Теорема доказана.
У п р а ж н е н и е 2. Доказать, что с точностью до иааметрических про странств пополнение иетрического пространства единственно. Вт.л Метрическое пространство 303 Определение 8. Числовая функция( (еещестеенно- или комплекснозначная), определенная на множеспы А метрического пространства )7, нагосваетпся непрерывной в точке хе ~ А (или„более подробно, непрерьюной по мноъсеству А в точке хе~ А), если дяч любого числа е ) О существует число Ь = Ь(е) ) О, такое, что для всех точек х ~ 0(хе, б)т'чА выполняется неравенство ( ~ (х) — ) (хе) ~ с. е.
Определение й. Функция 1", определенная на л<ножестве А метрического пространства )с, называется непрерывной на множестве Вс:А, если она непрерывна по л<ножеству А в каждой точке х ( В. у п р а 1к н е н н е 3. Сформулировать определение непрерывности функции й заданной на множестве Л<:й, в точке х, с помощью понятия последовательности и доказать эквивалентность этого определения с определением а. Дословно, так же, как и в п. 36.3 (см.
т. 1), доказывается, что предел равномерно сходящейся па метрическом пространстве Я последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией Г1 р и м е р. Рассмотрим метрическое пространство ограниченных н непрерывных на некотором метрическом пространстве )с функций 1, расстояние между которыми определяется по формуле (57.1). Поскольку фундаментальность последовательности ()'„) в смысле метрики (57.1) означает, что последовательность (га) удовлетворяет условшо Коши равномерной сходимссти на множестве Я, то всякая фундаментальная последовательность непрерывных функций ()„) равномерно сходится к некоторой функции )'.
Эта функция 1, как отмечалось выше, непрерывна и, как было доказано несколько раньше в этом пункте, ограничена на 77, т. е. принадлежит рассматриваемому пространству функций. Таким образом, пространство ограниченных и непрерывных на метрическом пространспие Я функций является полным л~етрическим пространством.
Оно, очевидно, является подпространством всех ограниченных на 77 функций с расстоянием, определенным той же формулой (57.1). В частности, поскольку всякая функция, непрерывная на некотором ограниченном замкнутом множестве Е, лежащем в и-мерном евклцдовом пространстве Е", ограничена (см. п. 19А), то пространство функций, непрерывных на указанном множестве Е~Е", с расстоянием, определенным по формуле (57.1), является полным.
Определение 70. Пусть тс, — метрическое пространппво. Функция Е определенн я на л~ножествеупорядоченныхпар(х, у), где х~ А, у~~В, Ас)7, В~)7, называется непрерывной в элементе (ха, уе), хе~А, уз~В, если для любого числа и О существует число й 57. Функциональные пространства 6= 6(е) ь О, такое, чпю для всех пар (х, у), гпшсих, что х ~ 0(хе, 6) г А, у ~ О(уе, 6)с В справедливо неравенство )1(х, у) — 1(х„уе)) ( е. Функция, непрерывная в каждом элементе (х, у) некопюрого множества пар, назьмоется непрерывной на эпюм множесгпве. Приведем пример еще одного метрического пространства, злементамн которого являются функции.
Для двух непрерывных на отрезке (а,Ь) функций гр = ф(х) и чр = зр(х) положим р(гр ф) = )! ф(х) — ф(х)И ° а (67.8) р(гр, ф) = ) ~гр(х) — ф(х)~йх. (67.9) У п р а ж и е и в я. 4. Проверить аксиомы расстояния, определенного по формуле (57.9) для просграиства абсолютно интегрируемых непрерывных иа всей числовой оси функций. 5. Привести пример последовательности непрерывных функций сходя- шейся иа некотором отрезке в смысле расстояния (57.8), ио ие сходящейся иа атом отрезке в смысле точечкой сходимости. 5. Привести пример последовательности сходящейся иа некотором отрезке в смысле точечной схопимости, ио не сходящейся иа этом отрезке в смысле расстояния (57.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
