kudryavtsev2 (947414), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В качестве примера рассмотрим линейное нормированное пространство непрерывных на отрезке (а, Ь) функций с нормой (57.11), Эта норма порождает метрику (57.8). Как отмечалось выше, метрическое пространство непрерывных функций с метрикой (57.8) не является полным. Согласно доказанной теореме, рассматриваемое линейное нормированное пространство непрерывных на отрезке (и, Ь) функций можно дополнить до полного пространства.
Это банаково пространство обозначается 5,(и, Ь). Определение 24. Система элементов х„а ~ й 1Л вЂ” некоторое множеапво индексов) линейного нормировинного проапранства )с называется вюлной, если зомыконие ее линейной оболочки (см. и. 57.2) совпадает со всем пространством )т. Эго означает, что для каждого элемента х~й и каждого числа а)0 существуют такие элементы хп„..., х„данной сии стемы и такие числа ).м ..., Х„, что выполняется неравенство Э В7.
Фуккциокалькые ироетракеееа Сумл!а вида Ххю п=1,2, ..., 1=-1 называется и-й частичкой суммой ряда (57.17). Ряд (57 17) называется сходяи(имея, если последовательность его частичных сумм образуеп1 в простраиспюе )г сходящуюся последовательность. Ее предел з = !1!и з„называеп!ся сумм!ой ряда (57.17) и п!лается и -+со в = ~ х,г и 1 При этом, как и для числовых рядов, справедливы следующие утверждения: если ряд (57.17) сходится, то сходипгся и ряд ~~~~Ах„, причем, О ио и 1 если ~~~к„= в, то ~2.",Хх„=)л; и ! и=.! если в просгпраистее Я сходя!пся два ряда, то сходшпся и ряд, со.
стоящий из сул!мы их влеменпюв с одинаковыми номерами и его сумма равна сумме сумм данных рядов. Определение 27. Последоывпельность элементов е„, п =1, 2, ..., линейного нормированного пространства Я наэывается базисом, если: 1) влеменп!ы е„, п = 1, 2, ..., образуют линейно независимую сиспмму (см. и. 55,2); 2) игково бы ни было х~ Д, существуют такие числа Х„, и =- =1,2, ..., что х= ~~) х„. и=! Иэ этого следУет, что если последовательность (еи7 ЯвлЯетсЯ базисом пространсгва Я, то для каждого элемента х~Я существует последовательность чисел (Х„), такая, что для каждого числа е) 0 существует номер п„такой, что при всех п)~ п, выполняется неравенство (57.18) ) Х вЂ” (Х1 Е1+ ...
+ Х„Е„) 1к е. 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем отличие между последовательностью элементов, образующих полную систему, и последовательностью элементов, образующих базис. В первом случае коэффнциепты Хь,)!=1, 2, ..., п, в неравенстве(57.16) зависяг, вообще говоря, не только от выбора элемента х ~ й, но и от выбора числа а. Во в!ором же случае коэффициенты Хе, я = 1, 2, ..., п, в неравенстве (57.18) определяютсн только самим элементом (они иазыва!отса коэффициентами разложения влеменпи х по данному базису или координатов!и бп4.
Гььльбертовы и предгальберговы прогграясгва элемента х при данном базше) и лишь их количество, т, е. число пе, зависит от выбора в. Проблема существования базиса в линейных нормнрованыььь пространствах до сих пор не решена. В следующем пункте мы рас. смотрим еще более специальный класс пространств, в котором проб- лема базиса и связанные с ней вопросы поддаются более полному исследованию. ЗадаЧа гб. ДОКаЗатЬ, Чта ЕСЛИ р-Е СТЕПЕНИ, ! < р <+ьь, абСОЛЮтНЬЫ величин функций чь и ф интегрируемы по Римаиу на отрезке (а, Ь), то вы- полняется неравенство а а р~ ! ь ~ ~ ~ р~ 1 ь ) 1ьа(1)+ф(1)1Р 1~ «: 1 ь «[(ььььь'«~'ь [1~ьььь'ь1', которое назыгаетсн яеразаььстэан Л1аякт ского ьк Доказать, что множество функций, р-е степени которыя ннтегрнруемы по Ричану на отрезке (а, Ь), образуют линейное квазинормнрованное про- странство, если в нея ввести квазинорму по формуле ь Гь )ьа11 = ~~ 1ьа(1) )г ь(1~ а Пополнение этого пространства обозначается Ер(а, Ь).
57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства Определение 28. Вещественная фуньщин, определенная на мнавсатпве упорядоченных пар элементов вещественного линейного пространсгпва )ьь и обозначаемая (х, у), х ~ )ьь, у~Я, называется скалярным произведением, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) (х, у)=(у, х), х~)т, у~Р; 2) (Лх+р)ь, г) = — ) (х, г) + р(у, г), х~)т, я~й, г~)(, ), и )ь — вещественные чпсла; 3) (х, х) - О, х (- )с; 4) если (х, х) ==. О, то х =- О.
Заметим, что из свойства 2 следует, что для любого х ~ )с справедлино равенство (х, 0) = О. Действительно, (х, О) =. (х, О 0) = 0(х, 0) =- О. Ю Г. Яниковсквй (1864 — 1909) — польскььй математик. 3!а й З7. Функиаональние пространства Определение 29. !!ещгственнаяфункция (х, у), определенная на множестве дтюрядоненных пар элементов вги!гспюенного линейного простпранстпва Р, ха сс, у ~ )с, и удовлетворяюи!ая лисиь условиям 1, 2, 8, называется квизискалярным произведением. Аналогичным образом вводится понятие и квазискалярного (в частности, скалярного) произведения в комплексном линейном пространстве )7. В этом случае комплекснозначная функция (х, у) называется квазискалярным (соответственно скалярным) произведением, если она удовлетворяет свойству 2 для любых комплексных чисел Л и р, свойству 3 и свойству Г) (х, у)=(у, х), х~)т, у~!г.
В дальнейшем под линейным пространством будем понимать вещественные линейные пространства, если не оговорено что-либо другое. Лемма 7. Для любой пары векторов х и у линейного просп ~ранства тс с квазискалярным произведением справедливо неравенство (х, у)' ((х, х) (у, у), (57. 19) которое называется неравенством Коши — Шварца. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого вещественного числа Х в силу свойства 3 квазискалярного произведения имеем (Лх+у, Лх+у))~0.
Отсюда, применяя свойства 1 и 2 квазискалярного произведения, получаем Лв(х, х) + 2Цх, у) + (у, у) > О. Следовательно, дискриминант получившегося квадратичного относительно Л трехчлена неположителен: (х, у)~ — (х, х)(у, у) ( О, что равносильно (55.19). Лемма доказана. Следствие. Для любой пары векторов линейного пространства с квазискалярным произведением справедливо неравенство )с(х+у, х+у) <)/(х, х) + )7(у, у), х~й, у~И.
(57.20) Действительно, применяя неравенство Коши — Шварца, получим (х+ у, х+ у) =- (х, х) + 2 (х, у)+ (у, у) < < (х, х)+ 2 )т(х„х) (у, у)+ (у, у) =- ~ ~Г(х, х) + у'у, у) ~'. б7.4. гильбертова и пребгильбертоеы пространства Зрт У п рати пенне !5, доказать, пто в комплексном линейном пространстве со скалзрным произведением выполнветсв неравенство 1(х, у)!'<(х, х)!у, у), х с и, у Е й. Если в пространстве )с положить )х ~ — — ус(х, х), х ~ )7, (57.21) то функция ) х) удовлетворяет сиойствам 1 — 3 квазинормы. Свойство 1 квазинормы следует из свойства 3 квазискалярного произведения, свойство 2 — из свойства 2, свойство 3 квазинормы — из неравенства (57.20).
Если же квазискалярное произведение является скалярным, то квазинорма (57.21) является нормой. Действительно, свойство нормы 4 следует из свойства 4 скалярного произведения. Таким образом, мы доказали следуюшее утверждение. Лемма 8. Каждое линейное пространство со скалярньии (соотвепктвенно квазискалярным) произведением является норлгировонным (соответственно квазинориированным) пространством с нормой (соответственно кьазинормой), определяемой формулой (57.21), и следовал!елька, и метрическим пространством с метрикой (57.13).
Квазинорму (57.2!) будем называть квазинорл1ой (соответственно нормой), порожденной заданным квазискалярным (скалярным) произведением. Расстояние (57.13), порожденное нормой (57.21) линейного пространства со скалярным произведением, будем также называть расстоянием, порожденным заданным скалярным произведена ели Применяя обозначение квази~арми, неравенство (57.19) можно переписать в виде (х, у) <)х(/ ~у//. (57.22) Примеры линейных пространств со скалярным произведением. 1. Рассмотрим и-мерное линейное пространство со скалярным произведением (57.23) где х = (х„..., х„), у = (у„..., у„). В этом случае норма элемента х (ее обычно называют длиной вектора х) определяется формулой )х1=- 1/ х~+ ... + х„, а метрика — формулой расстояния в и-мерном евклидовом пространстве: Р(х, У)=1х — У(= Ус(хт — У,)'+ ...
+(х„— УДз . й ВХ Фрнкцпонольнь~е поостранства 3!В Для этого пространства неравенство Коши — Шварца было доказано нами раньше (см. лемму 1 в п. 18.1). 2. Возьмем более сложный пример. Будем говорить, что функция 7' является функцией о интегрируелым книдратам на отрезке [а, б[, если существует его разбиение т = (хь),'. ь такое, что на каждом отрезке [са, т,), таком, что — <В <ЧЬ< о функция / интегрнруема по Римаиу и существуют, вообще говоря, несобственные интегралы «ь )в (х) ь[х, 1= 1, 2, ..., /г, «е а следовательно, и интеграл ) 7в(х)с[х. а Совокупность функций с интегрируемым квадратом на отрезке [и, Ц образует линейное пространство.
Пусть 1 и и — две функции этого пространства. Поскольку произведение функций, интегрируемых по Риману, является снова функцией, интегрируемой по Риману (см. п. 28.1), и уй [ < [я + а' '> ) 7 (х) д (х) йх то интеграл (7', д)= ~7(х)д(х)ь(х. (57.24) Свойства 1, 2, 3 квазискалярного произведения легко проверяются. Заметим, что неравенство (57.19) может быть записано в этом случае так: ь> Это неравенство сразу получается пз неравенства ( [1[ — [и [)ь > О. сходится и даже абсолютно. Квазискалярное произведение в атом пространстве определяется формулой 874. Гильбертоэы и лредгильбертоаы просгранггэа 819 < ь ,г ь Ь ~[(х)д(х) г[х) < ~[г(х)г[х ~аэ(х) г[х а а а И НаЗЫВастея НЕраВЕНСПтВОМ КОШи — БуНяКОВСКОЕаь1. Дпя Кнаэниар- мы функции ) имеем формулу (57.25) Легко устанавливается, что квазискалярное произведение (57.24) не является скалярным (проверьте это).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
