kudryavtsev2 (947414), страница 48
Текст из файла (страница 48)
При этом будет предполагаться, что функция 1 принимает, вообще говоря, комплексные значения. Лемма 4. Если функция ~ абсолютно интегрируема на всей ее° '~ щеспиенной вси, то ее преобразование Фурье ((у) ограничено на всей оси, причем )г (у)) ~~ = ~ [г'(х)[с[х. тт2в С лед с т в и е. Если последовательность абсолютно интегрируемых функций 1„(х), п=1, 2, ..., и абсолютно интегрируемая функция Дх) таковы, ьто ат Игп ~ [1".„(х) — ~(х)[дх=О, то последовательность (~„(у)) равномерно на всей оси сходится к функции 1(у). Доказательство. Неравенство (56.23) следует из формулы +аь ~(у) == [ 1(х)е "«йу, (56.24) " СО ьв.в. Свойства преоораэованнн Фурье 2аа если только вспомнить, что ~(е "у(=1. Лемма доказана. Следствие сразу вытекает из неравенства (56.23).
Лемма б. Если функция 1 абсолютно интегрируема на всей ве- н(ественной оси, то ее преобразование срурье /(у) непрерывно и йгп 7(у) = О. (56.25) л ьсо До к аз а тел ь ет во. Пусть 1(х) = и(х) + ьа(х), уде и(х) и о(х) — вещественные абсолютно интегрируемые функции. Поскольку 1(х) = и(х) + (о(х), то для доказательства непрерывности функции 1(у) достаточно доказать непрерывность функций и(х) и о(х). Согласно лемме из п. 55.2, для любой вещественной абсолютно интегрируемой на всей оси функции ср(х) существует последова- тельность ступенчатых функций <у„(х), и = 1, 2, ..., таких, что +со 1! тп ( ( ьр„(х) — су (х) ) дх = О.
н со -сь В силу следствия леммы 4 последовательность (ьр„(у)) равномерно Г~ сходится к функции ьу(у). Для того чтобы убедиться ь непрерывности функции ср(у), достаточно доказать, что функции су„(у) непрерывны (см. теорему 6' в п. 36.3). Покажем зто. Каждая ступенчатая функ- ция является линейной комбинацией одноступенчатых (см. п. 55.2). Позтому в силу линейности преобразования Фурье непрерывность ту„(у) будет доказана, если мы покажем, чтв для любой одноагупенча- той функции ее преобразование Фурье непрерывно.
Пусть от(х)=1, если а <х<,.Ь, и ат(х)=0, если хс а или х > Ь, т. е. са(х) — одноступенчатая функция. Тогда в силу (56.24) имеем ь ь 1 е -сер 1 «т(у)= =) е с(х = ( (совху — 121пху)с(х )т 2л Ус2л е (в(п Ьу — и1 и ау) + 1 (сов Ь вЂ” соь ау) у )/2л Правая часть этого равенства является непрерывной функцией ( ь — а если считать ее при у = 0 равной =) . Следовательно, Ус2л функция ьу(у) непрерывна.
л л Из доказанного следует, что функции и(х) и о(х), а значит, л л и функция 1'(у) =и(у)+ьо(у) непрерывны, Е ав. Интеграл Фурье и иреаарагаеание Фуры 290 Равенство (56.25) следует из теоремы 2 и. 55.2. Действительно, Г+ ' +са ((у)= = ~ ( Г(х) созхус(у — г ~ )(х) з)пхус(х =уК~ где в силу указанной теоремы вещественная и мнимая части, а следо. вательно, и сама функция /(у) стремятся к нулю при у -~. 3-, оа. Лемма доказана. 56.4.
Преобразование Фурье производных Теорема 2. Пусть абсолютно интегрируемая функц я( имеет п абсолютно интегрируемых и непрерывных на всей оси производных, тогда р У 1=((у) р И й= 0, 1, --, п, и сутцествует постпоянная М >О, такая, что 1РИ! < ~,,п,. (56.27) Д о к а з а тел ь ст во. Пусть сначала функция г' вещественна. Если ( абсолютно интегрируема на всей оси вместе со своей производной 1' и зта производная непрерывна, то из формулы к ((х) =((О)+ 1 Г (1) й1 а в силу интегрируемости Г' следует, что существуют пределы 11тп 1(х), причем из интегрируемости самой функции(, очевидно, следует, что зти пределы равны нулю.
Интегрируя по частям формулу преобразования Фурье, получим +(;О ~+ си с К1== 1 Г'(х)е ""г(х==Г(х)е ткх + +аь += ) 7(х)е "тдхс (уРЯ. )т 2н Таким образом, дифференцирование функции приводит к умножению ее преобразования Фурье на множитель Уу. 56.5, Свертка и преобразование Фурье Если теперь ( = и + со, где и и о — весцествениые функции, и снова ( абсолютно интегрируема вместе со сво й производной 1' = и' + со' и эта производная непрерывна, то Я['1 = Е[сс'+ со'1= Е[о'1-ь (И[о'1 = (ус[и[ — уг[о[= = суг[и + св[ = сУГ[11. Формула (56.26) при и = 1 доказана. Для произвольного и она получается отсюда по индукции. Функция Л)сн)1 яяляется ограниченной функцией (см. лемму 4), поэтому верхняя грань М = зцр ! Й[сн)1! конечна и, следо— ~се<+~ вательно, оценка (56.27) следует из формулы (56.26) при А = п.
Теорема доказана. Итак, чем больше имеет абсолютно интегрируемых производных функция (, тем быстрее стремится к нулю на бесконечности ее преобразование Фурье. 56.5. Свертка и преобразование Фурье Пусть функции ср и тр определены на всей действительной оси. В различных вопросах математики часто используется так называемая свертка ср е ф фс)нкс(ий, которая определяется равенством +со (гр ь ф) (х) = ~ гр (с) ф (х — с) мс*).
(56.28) Для простоты в этом пункте будем предполагать, что рассматриваемые функции ср(!), ф(Е), )((с) — вещественны. Интеграл (56.28) заведомо существует, если обе функции ограничены и абсолютно интегрируемыеец При этом интеграл (56.28) и более того интеграл равномерно сходится на асей действительной оси. В самом деле, в силу ограниченности функции ф имеем [ср! < М, где М вЂ” постоянная, поэтому для всех х и ( !гр(() р(х — ()! <М[ср(()! *> Через (ср «ф)(х) обозначаетсн значение функции ср ф в точке х. ее) Супсествованне интеграла (ббтвз) можно гарантировать и при более обшил услоаинх, однако мы на атом не будем остаиавлнватьси. б бб. Интеграл Фурье а ареобразование Фурье и данное утверждение, в силу абсолютной интегрируемости функции тр, вытекает из признака Вейерштрасса равномерной сходимости (см.
п. 36.2). Из приведенных рассуждений следует также, что если функции ср и ту ограничены, абсолютно интегрируемы и непрерывны, то и их свертка Г также непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема. Действительно, непрерывность функции Г следует из равномерной сходимости интеграла (56.28), ограниченность в из оценки +СО -ЬОЬ !(<р«ф)(х)! < ! !ф(У)тр(х — т)!Й(М ! /ср(Е)!С(г. Докажем абсолютную интегрируемость свертки. Пусть 1 = ~р «ф; ! ~ п а«*= ( с ! ! «сь « с — ь+ ! ь ) ~ «с 1«с*- тв- +СО +СО +СО +СО = ~ !'Рй)!Нт ~ !ф(х — Г)!гЬ'= ~ !<р(Г)!М ~ !т!:(з)!сЬ.
(56.29) Перестановка порядка инт-грирования здесь возможна в силу +СО того (см. теорему 5 п. 54.2), что интеграл ! !Ср(г)тр(х — ~)(гй +СО равномерно сходится на всей оси, интеграл ~ !ср(г) ф(х — т)!С(х +СО =!сг(г)! ) ! т(х — Г)!дх равномерно сходится на любом конечном +со +Ос отрезке(почему?), а повторный интеграл ! 0х ) !ср(г)тр(х — ~)!С(г, - СН вЂ” СО как это следует из неравенства (56.29), существует. Таким образом, при сделанных предположениик к функции г=ср «тр можно в свою очередь применять операцию свертки с некоторой непрерывной ограниченной и абсолютно интегрируемой функцией (причем снова получится функция того же класса) или преобразование Фурье. Операция свертки функций коммутшпивна и рссоциатинно в рассматриваемом классе функций.
Действительно, делая в интеграле (56.28) замену переменного х — г = з, г>олучим Ч>«тр= '! Ср(т)ф(х — г)от= ! ср(х — з)т! (з)гЬ=С(>«ср. ео.е. Свертка и ареоаравование Фурее Далее, производя в ниже написанном интеграле замену переменного 1=у — $, меняя порядок интегрирования и делая замену х — у+$=Ч, получим Ч СО +СО (ср»ф) ° у= ~ Х(у — х)дх ! Ср(1)ф(х — г)о(= +СО +СО = ~ Х(у — х)т(х ( ср(у — $)ф(х — у+5)с1$= +СО +СО ! ср (у — я) с(я! ф (х — у + $) Х (у — х) е(х = +СО +СО = ~ ф(У вЂ” Я)е(Я ! ф(Ч)Х($ — Ч)(Ч=(ф»Х)»~р=ср»(ф»Х). Возможность перестановки порядка интегрирования и в этом случае следует из теоремы 5 п. 54.2.
Действительно, исследуем на равномерную сходимость интегралы +СО Х(У вЂ” х) ! сР(У вЂ” 5)ф(х — У+5)о$, (56.30) +СО тр(у — $) ! ф(х — )'+$)Х(у — х)с(х. (56.31) В силу ограниченности функций ф и Х имеем ! ф ! ~ М, ! у ! ~ М, где М вЂ” постоянная, и поэтому ! у (у — х) ср (у — $) ф (х — у + $) ! ( М' ! ср (у — $) !, ! Р(У вЂ” Я)ф( — У+Я)Х()' — )!~М'!Х(У вЂ” )!' из этих неравенств и абсолютной интегрируемости функций ср и Х следует, что интегралы (56.30) и (56.31) равномерно сходятся на любом конечном отрезке (почемут). Наконец, сутцествует повторный интеграл ! с(х ~ !Х(у — х)ср(у — $) ф(х — у+я)!т$=(!ср!»!ф!)„!Х !.
Таким образом, все условия указанной теоремы 5 из п. 54.2 выполнены. Следует заметить, что при рассмотрении сверток функций можно существенно ослабить ограничения, накладываемые на свертываемые функции: отбросить требования их ограниченности и непрерывности, й Бб. Ии<еглал Фурье и иреобразование Фурье а оставить только требование абсолютной интегрируемости. Однако доказательство свойств сверток только при одном этом предположении потребовало бы прежде всего более тонких теорем о перемене порядка интегрирования. Для простоты изложения мы не стали этого делать.
Займемся теперь изучением преобразования Фурье сверток двух функций, Для удобства видоизменим определение свертки <р ь <р, ! добавив дополнительный множитель =: <<'2л +сь <р.» ф = — <ь' (<) ф (х — Г) с<П ~'2а В Теорема 3. Пус<пь функции ф и <р ограничены, непрерывны и абсолютно ин<пегрируемы на вещественной оси, тогда р(< и=рм р(ф).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функции ц< и <); ограничены, непрерывны и абсолютно интегрируемы, поэтому функция <с ь<р обладает теми же свойствами, в частности, абсолютно интегрируема и для нее можно рассматривать преобразование Фурье ч сь +<с Е(<р <р) = — ( е "Я<(х ~ <р(1)<р(х — 1)<(г. =ь,~ Меняя здесь порядок интегрирования (что возможно здесь в силу теоремы б п. 54.2) и производя замену переменного х = г+ з, получим +ьь +сь г (<р, щ = — ( <р(1) <у ~ <р(х — Р) е их<(х= 2а +Оэ +сь == ~ <ряе ах<у -.= ~ ф(в)е ьхаз=р(<р) Р(ф), г<2я р 2а т. е.
преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье этих функций. Теорема доказана. Теорема 3 также может быть доказана при более слабых ограничениях на рассматриваемые функции, например, при единственном предположении их абсолютной интегрируемости. 66.6. Проиевознол преобразован«я Фурье 56.6. Производная преобразования Фурье функции Теорема 4. Если функции 1"(х), х1(х), ..., х'Г(х) абсолютно интегрируемы на всей веи]ьапеенной оси, то преобразование Фурье функции 1 является п раз дифференцируелюй функцией и 1 Им[1] =Г[х(], я=О, 1, ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
