kudryavtsev2 (947414), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ф + 0) или 1(г — 0)). Применяя теорему 3 из п. 53.1 к каждому прямоугольнику и суммируя полученные результаты, мы и получим формулу (56.8). Из очевидного неравенства [1".(1)сову(х — г)[ <[~(О[ и сходнмости интеграла )[Щ[й следует равномерная сходнмость на отрезке [О, т[[ относительно параметра у интеграла +о» Г(у)= ) ['(г)созу(х — ()й, (56.9) 86.П Представление функций в виде интеграла Фурье 28! Этот интеграл конечен (почемут); он является аналогом интеграла Дирикле для рядов Фурье. Полагая и = г — х (ср.
(55.13)), получим +СО Я(т!) = — ~ Г(и+ х) ~' т(и. Представляя получившийся интеграл в виде суммы двух: и делая в первом из ннх замену и= — г, получим Ю(т)) = — ) Ц(х+г)+1(х — г)1 — '" йг. о Вспоминая (см. и. 54,3), что при т))0 +СО $!от! 1 е 2 т о получим Г(х+О)+1(х — О) ! Г )( + +Г е)вц! 2 и,! о +Оь — 11(х+О)+~(х 0)1 — ' ~ """' Ш= о ! Пх+О 1(к+О) .. ! 1(х — !)-П вЂ” 0) . гйп т)га!+ — й! з!и т)! ь(!.
и а (56.10) Рассмотрим, например, первый интеграл, стоящий в правой части етого равенства. Разобьем его на два интеграла: Поскольку 1(х+ !) — 1(х+ О) Иш = !'+(х), т +о 8 оьб. Интеграл Фурье и ореовраэованае Фурье 282 !(х+ 1) — ! (х — О) то функция является кусочно непрерывной функцией переменной ( на отрезке !О, 1), и поэтому в силу теоремы 2 из п. 552 ! +оо о Функция — также кусочно непрерывна на любом отрезке ((х+ 1) полуоси (~~ 1 и поскольку ~""+" ~ )и+)(, то она абсолютно интегрируема на этой полуоси и, следовательно, в силу той же теоремы +оь !нп ~ ( з!и т)Ы = О.
(56.12) +оь 1 Наконец, из сходимости интеграла ) " т(г (см. п. 34.4), о делая замену переменного и=т)1, получаем 1!п1) япт)(ь((=1(х+0)1!гп 2! — '2(и=О. (56.13) 1(х+ о) +со ! Н +оо Из (56.11), (56.12) и (56.13) следует, что х Аналогично доказывается, что +оэ !цц — ~ 1 е 1(х — Π— !(х — О) з!пт)Ы=О, Ч +ьо о Отсюда в силу (56.10) получаем ! (х + 0) + 1 (х — о) +со 2 Предел левой части также равен интегралу Фурье (56.7). Теорема доказана. ЖЯ.
различные аиды записи формрлы Фурье. Преоаразоеание Фурье йаз У ар аж нен не 1. хгоказать, что если Функция 1 а дополнение к наложенным на нее а теореме ! ограничением валяется четной, соотеетстаенно нечетной, то снрааедлииы формулы ~'(х-1-0)+(<к — О) 2 — соз ух ду ) (Г) соь уЫ6 о соответственно )(х+0)4. )(х — О) 2 = — ~ з)пухду ~ )(г)ыпуГдй 56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье В дальнейшем для простоты записи будем считать, что функция / в дополнение к условиям, сформулированным в теореме 1 п. 56.1, непрерывна во всех точках.
В этом случае справедлива формула Фурье +оз +оо пч- — ' ~ зг 1 нь ° и — ч а, и так как подынтегральная функция четная относительно перемен- ной у, то +Оь +00 )(х)= — ~ Ну ~ ~(~)сову(х — т)з)т. (56.14) В силу очевидного неравенства )у(1)з(пу(х — 1)) <!)'(У)~ при сделанных ограничениях на функцию ( существует также интеграл +со ( ) (г) з(п у (х — )) Й, ч +со лбу 1 1(1)з)пу(х — Об(, (56.15) причем в силу признака Вейерштрасса (см. п. 54.1) он равномерно сходится на всей вещественной оси переменного у и, следовательно, является непрерывной функцией от у.
Поэтому для любого числа т) существует интеграл и ВВ. Интеграл Фурье и нреооразаеание Фурье причем в силу нечетности подынтегральной функции относительно переменной у этот интеграл равен нулю. Однако при сделанных предположениях относительно функции ! нельзя гарантировать существование несобственного интеграла ( ду ( ! (т) з(п у (х — т) «(г. (56.16) ь с — е ь ° г!о«1~ -й !о«)~ ь !о«ос]. о а с+е +со « г«!х Заметим, например, что интегралы ) хдх и ) — „не существуют, -со — 1 как несобственные, однако существуют в сл«ысле главного значения, которое в обоих случаях равно нулю. Если же существует несобственный интеграл, то существует и его главное значение, причем онн, очевидно, совпадают.
*) Главное звачеиие по-фраипузсии — еа!е««т рппс«ра!е. Введем следующее определение. Определение 2. Пусть функция «р интегрируема на любом конечном отрезке, если сущеапвует конечньш" предел 1!т ) «р(х)с(х, т! >О ~-+со (а не предел Итп ( «р(х) «(х, где а и т) стремятся к бесконечности +со г « — со « независимо друг от друга, как при определении несобственного интеграла, см. и. 34.Г), то он называется главным значением интеграла ) «р(х)«(х и обозначается буквами о.р.*й +со 1 о.р.
~ «р(х)«(х=1!и«( «р(х)дх. +со а Подобным же образом определяется и главное значение несобственного интеграла в точке: пгусть а е. с~ Ь и функция «р интегрируема по Риману на отрезках (а, с — з) и (с + е, Ь) при любом и ) О (естественно, предполагается также, что а е.. с — а и с+ ее ' Ь); ь тогда главное значение интеграла ) «р(х)«(х в точке с определяется формулой ббаа Розничные види зппиеи формуем Фурье; Преобразование Фурье 285 Мы будем систематически рассматривать существенно комплекснозначные функции в(т) = и(т) + !о(8) вещественного аргумента !.
Мы уже встречались с понятием предела и непрерывности подобных функций. Производная функции в(!) определяется по формуле в'(!) =и'(1)+(о'(1). Покажем, например, что, согласно этому правилу, (ззи)' = = (азь»'. действительно, (е"')' = (сова(+( з!п а!)'= — а яп а!+ьа сова! = = !а (соз си+ ( я и сй) = Юе'м. Аналогично определяется и интеграл (собственный, несобственный или в смысле главного значения) от функции в = и + в: ь ь ь )е в(!) ьй=.~и(!)тй+!)во(!) ьй, — оо < а((г <<-)-оо. (С несобственными интегралами такого вида по конечному отрезку мы уже встречались в п.
55.10.) При этом функция в называется абсолютно интегрируемой, если абсолютно интегрируемы функции и и о. Очевидно, что ряд свойств интегралов от вещественных функций (линейность интеграла, аддитивность его по множествам и т. п.) автоматически переносятся н на комплекснозначные функции. Отметим, например, что если функция в(х) = и(х) + то(х), где и(х) и оГх) — интегрируемые по Рнману на отрезке (а, 5! вещественные ь функпии, то интеграл )в(х)дх также является пределом интеггг ральных сумм о, = ~„в(Ь)Лх, (ъ = (хз)з о — разбиение отрезка 1 (а,б),хг ~ <$~ <хоЛх;=х; — х; ы(=1, 2,...,/г).
Отсюда, как и для вещественных функций, следует, что в этом случае функция !в(х)! также интегрируема по Риману и что выполняется не- равенство ! ь ь ) в(х)ь(х~ < ) !в(х)/ дх. и е Г!редельным переходом справедливость этого неравенства устанавливается и для абсолзотно интегрируемых комплекснозначных функций.
Вернемся к формуле Фурье. В силу нечетности по у подынтегральной функции в интеграле (56.16) имеем, согласно сделанному определению, Э бб. Интеграл Фурье и иреайраеаеание Фурье о.р. ~ йу ~ ~ (г) яп у (х — 1) йг = О. (56.!?) Помножая этот интеграл на —, и складывая с интегралом гл (56.14), получим +со +со ?(х)= —.,' ~ йу ~ )(Г) е"гл "ат, (56.18) где внешний интеграл понимается в смысле главного значения. Если положить Ф(у)= = ) ?(г)е "'гц, 1т% (56.19) то формула (56.18) примет вид ?(х)=о.р. — ) Ф(у)ете«ау. 1 (56.20) '12. ) Определенае 3. Функция Ф, которая ставится в соответствие функции ? форлтулой Ф(у)=-о.р.
— ( ?(Г) е — т«тй(, (56.21) )т 2и нажвается преобразованием Фурье функции ? и обозначается Р(Д или 1. В этом определении ?((), вообще говоря, комплекснозначная функция вещественного аргумента. Отметим, что функция Ф = РЩ может принимать существенно комплексные значения и в том случае, когда функция ? принимает только вещественные значения. Преобразование Фурье определено, в частности, для всех абсолютно интегрируемых функций. Определение 4.
Функция Ф, которая сахатится в соответалвие функции ? форлщлой Ф(у)=о.р.— ) ?(г)ет«гг(т, ' ')т2и . (56.22) назыеаетпся обратным преобразованием Фурье функции ~ и обозначается р-'Щ. Относительно обратного преобразования Фурье справедливы замечания, аналогичные тем, которые были сделаны после определе- бб 2 Различные види записи Формулы Фурье. Преабраэааание Фурье 287 ния преобразования Фурье. Сам термин «обратное преобразование Фурье> оправдывается тем, что преобразование Р' ' обращает преобразование Фурье г. Более точно, справедлива следующая лемма. Лемма э'.
Пусть непрерывная абсолютно интегрируеиая на всей оси функция > имеет в киэкдой точке конечные односторонние производные, тогда Р-' [Р 1[11 =Р [Р-'[Д) = [. До к а з а тел ьот в о. Первая формула обращения, т. е. формула Е-ЦЕ[11) = 1, является просто другой записью уже доказанной формулы (56.18). Пока>кем справедливость второй формулы обращения.
Поскольку косинус — четная функция, то в (56.14) можно переставить местами 1 и х: +ос +со ~(х)= — ~ йу ~ ~(г)сову(1 — х)й, гн в силу >ке нечетности синуса (срав, (56.17)) +со +со о.р. ~ йу ') р(ь) з[п у(1 — х)И=О. Поэтому наряду с формулой (56.18) имеем также [()= —,' ('йу ('Й() "'" 'йг, или +со [ +со с(о- — ' [ [ — ' ) с(О''"«1 --сь )с 2н 1' 2н где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.
Зта формула может быть переписана в виде Р[Р 'й)=1 Лемма доказана. Лемма 2 Пусть для функций >'> и рэ существует преобрй>ванне ФуРье ~соо>пветс>пеенно, обратное преобразование Фурье), тогда, каковы бы ни были числа )а и Лэ, существует преобразование Фурье (соотвгл>апвенно, обратное преобразование Фурье) и для функции 1А + М„причем Р [) Ь+),4) =),Р [1,[+1,р [,[ (соответственно Е ~ [1„,[, + )с«ц — )„Р-' [с ) [ ) и-с[ й аа. Интеграл Фурье и преабраеааание Фурье Это свойство называется линейностью преобразования Фурье, (соответственно обратного преобразования Фурье).
Оно непосредственно следует из формул (56.21) и (56.22). Следствие. Р10] = Е-ЦО] = О. Например, у[О] = у[О ° О] = О с [О] = О. Лемма 3. Дреобразсвание Фурье, также какивбратное преобразование Фурье, нвляепюя взаимно однозначным преобразованием на множестве непрерывных абсолютно интегрируемых на всей оси функций, имеющих в каждой тачке одноапоронние производные, Это означает, что если 1, и гг — две фУнкции Указанного типа и если Е[Ц = ЯЯ (соответственно, если Р-ЧЦ = Р'-Чгь[), то 1, = [ь на всей оси. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть с[Ц = Я)ь].
Тогда в силу линейности преобразования Фурье ЛГ, — 1ь] = О. Поэтому по линейности Š— ' и с '[г"[1", — Ц~ = О. Но, согласно лемме 1, Р ' [с[1, — 1е]1 = 1, — 1,. Следовательно, г, = [г. Аналогично доказывается взаимная однозначность обратного преобразования Фурье. 56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций В этом н следующих пунктах будут рассмотрены некоторые свойства преобразования Фурьефункции1, которое, как и выше, будет обозначаться 1 или ЯД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
