kudryavtsev2 (947414), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть функции р" и [„ определены на некопгором промежутке, конечном или бесконечнолц с концами а и Ь. Если 1[и> ) [1(х) — 1„(х)1'йх=О, то говорится, что последовательность 4ункций (1 ) сходится в слгысле среднего квадрагпичного но указанном пролгежугпке к функции 1, Теперь утверждение, о[>ормулированное в замечании, можно перефразировать следуюшиы образом. Всякая непрерывная на отрезке 4ункция является пределои в смысле среднего квадратичного ггоследовагпельности сгпупенчатых функций. Е дд Класснчегкце ряды Фурье 55.3. Интеграл Дирикле. Принцип локализации Найдем удобное для исследований выражение частичной суммы Я (х; г) ряда Фурье, функции г. называемой также просгосумягой Фурье и-ео порядка, и = О, 1, 2, ..., этой гРункгггги.
Подставляя в Бь(х; 1) выражения для коэффициентов Фурье (55.6), получаем ь 5,(х; 1)= — '+ ~» аьсозггх+ Ььз(пггх=. а=! — ~ г (г) аг + ~» — ) г (г) (соз И соь Ах+ ейп И ейп ггх) ггг » и=! » я = — ~ г (1) —, + ~ сов lг(г — х) г)г'. 1 ! 1 ь ! — — ! (55.1О) Замечая, что — + у сои|го 1 2 и , 1» — ', -»т ( ьг»»»»»' — — ь»м — !»")~- 2мп 2 а згп (2п+ 1) — „ 2з,п —, 2 имеем из (55.10) г — х (2п+ 1) г(!.
1 — х ага зги .(', ~)= —,,'н ))(1) (55.11) Нас интересует, в час!ности, предел частичных сумл! З„(х; г) ряда Фурье. Заметим, что непосредственно перейти к пределу прн и -и оо в равенстве (55.11), т. е. перейти к пределу под знаком интеграла в указанном равенстве, нельзя. Интеграл, стоящий в правой часты этого равепс!ва, называется интеграяо»и Дирихле, а функция У п р а >к н е н и е 2, з(оказать, что осла последовательность интегрируемых на отрезке функция равномерно скоцитсн к некоторой функции, тонга последовательность скоднтсн к той »ке фуакцнн на указанном отрезке и в смысле средне~о кнадратичногз. ебЛ Интеерал Лирихле. Принцип локализации 253 Л и е1п (2а+1) 2 оп (и) = 1+ 2 ~~~ соз Ь~ = (55. 12) е!п — „ 5.(х; 0=-Ф Р„(1 — х)1(1)дг= !! — к и — 13~(и)1(х+ и) !!и =- 2 ~В (и) Г(х+и) е(и. (55.13) -Л вЂ” к Из формулы (55.12) непосредственно видно, что (55 11) (У„( — )=1)„( ), т.
е. ядро Дирихле — четная функция. Разобьем интеграл (55.13) на два интеграла, как это показано ниже, сделаем в первом интеграле замену переменного и = — Г и воспользуемся четностью ядра Дирихле, тогда будем иметь ое(Х; 1) = — ~0„(И) !'(х+и)дИ= о и 1 Г 2 ) о" (и) ! (х+ И) !(И+ 2 ~ Ое (И) 1 (Х+ И) !!И 1 à — «дрол! Лирихлг. (Последнее равенство справедливо при и +О). Из среднеи части формулы (55.12) имеел! В„(О) = 2« + 1. Ядро Дирихле непрерывно на всей вещественной оси. Продолжим функцию ) с полуинтервала ( — и, и) периодически на всю вещественную ось. Это, правда, может привести (в случае, когда определена в точке и и 1( — и)+ 1(п)) к изменению значения функции в одной точке х = и„ однако, поскольку коэффициенты Фурье функции определяются с помощью интегралов (55.6), то это не приведет к их изменению, и, следовательно, ряды Фурье данной и продолженнойфункции совпада!от.
Отметим, что при таком периодическом продолжении непрерывность функции Г, если она была непрерывна, вообще говоря, нарушается. Продолженная функция будет непрерывной, если данная функция !' непрерывна на отрезке ( — и, п) и1( — и) = 1(п). Ядро Дирихле 0н(и) является периодической функцией от 1 с периодом 2«, что видно из формулы (55.12). Сделаем в интеграле Дирихле (55.11) замену переменного и=1 — х: В 55.
Кяесеиеескке ряды Фурье = — ) Вя(Е)еь(х — Е)ИЕ+ —,, ~ 0„(и) )(х+и)да=* 1 Г 1 о Р ('О (Е) 1(к+В+1(х — Е) Е я 3 ь 2 о (55.15) Мы получили удобное выражение для частичных сумм ряда Фурье. Из формулы (55.12) получаем еше — '~о„(Е) еЕЕ =1. (55.16) Зафиксируем теперь число 6, О «" 6 «" и, и разобьем интеграл (55.15) иа два: В (х; Е")= — „~+ —— Г 1 Е' (55,!?) Второй интеграл — Ы и (2ег+ 1) — агг 1 ГЕ(к+Е)+ Е(х — Е) п~ 2 ь 2 2 кгпв 16, п), поэтому функция Е(к+Е) + 1(х — Е) 2 кгпв 2 абсолютно ннтегрьруема на отрезке!6, н1). 1'аким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 8(прегнцпп локализации). СуиЕествехгание и величина предела сумм Фурье Зк(х; е) про п-» оо зависит только от суи(ествования и величины предела первого интеграла в формуле (55.17), т, е. интеграла ('О (~р1(х+Е)+Е(» — Е) ) ь ) г и случае, когда Š— абсолютно интегрируемая на отрезке [ — и, п) функция, согласно теореме 2 п.
55.2, стремится к нулю прн и- оо 1 (действительно, функция — ограничена н непрерывна на отрезке .1п 2 Бй 4 Ряды Фурье д»я кусочно диск>фсренцируемм» функций в подынтегральное выражение которого входят лшиь зна сенин функции ) на отрезке [х — Ь, х + 8[. Из принципа локализации следует, что если две функции в некоторой окрестности (какой бы «малой» она ни была) тачки х, совпадают, то для них одновременно в точке х, существуют или нет пределы частичных сумм ряда Фурье при и — со, причем если этн пределы существуют, то они равны. Это тем более интересно, что ряды Фурье таких функций, вообще говоря, различны, ибо в формулы для коэффициентов Фурье входят значения функции по всему отрезку [ — л, л1.
55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций Пусть функция 1 кусочно непрерывна на отрезке [а, Ь[ (см. определение 1 в и. 28.3) и пусть разбиение т =- (хз)',=''„' отрезка [а, Ц таково, что функция [ непрерывна на каждом интервале (хь „х,), ~'=-.1, 2, ..., я, и существуют конечные пределы 1(х; — О), 1(х,+О), 1=1, 2, ..., й — 1, 1(ха+О) и 1(хь — О), (ха=-а, хя — — О). Через Г, (х) [соответственно через [ (х)), как и раньше (см. п. 9.1), обозначим производную справа (соответственно слева) функции [(х) в точке х. Оиределенгге 6. Если кусочно непрерывная функция 1 дифференцируема на каждом вышеуказанном интервале (хз л хь), 1= 1, 2, ..., )г, и существуют конечные производные ~' (х,), Г' (х,.), »=1, 2, ..., Я вЂ” 1„1+ (х,) и 1 (хь), то 4УнкЦиЯ [' называетсЯ кусочно ди44еренцируемой на он|резке [а, Ц.
Прн этом в точках х; полагается ~' (х,.) =-1ип ' ' „' Р (хз) = 4(»,. + Л»,) — [(х, — О) ' = 1[ш л»,. — о д(ы изучим сходимость рядов Фурье кусочно диф~[жренцируемых функций и даже функций несколько более общего вида. Теорема 4. 11ус~пь 4ункция г' является кусочно непрерывной на отрезке [ — л. л) и в каждой точке х имеет конечные односторонние пронзенные 1» (х) и [ (х)*', тогда рядФурьефункции[в каждойточ)( -~о)+[(х — о>*м ке х сходится и его сумма равна,, в чаапности, в «з Заметим, что, очевидно, кусочно диффареннируемые на отрезке 1 — и, и[ фуньюп. удовлетворяют условиям теоремы.
«М В точках х = н и х =- — я сумльа ряда Фурье равна [1- а+ О) „[1;. о) 2 ббие Рады Фурье дел кусочно дифференцируемые фунлиий збу Теорема 4 означает, что в указанном смысле «любой» периодический процесс может быть в типовой степенью точности представлен как линейнан комбинация синусоид н косинусоид кратных дуг или, как говорят, «простых гармоник».
У и р а ж н е и и е 3. Лоиазать теорему 4 для функции й абсолютно интегрируемой на отрезке 1 — л, н) н имеющей а каждой точке конечные пределы г(х — О), /(х + О) и конечные односторонние проиааодные 1+(х) и 1 (х). П р и м е р ы. 1; Найдем ряд Фурье функции сЬ х. Для коэффициецтов Фурье этой функции имеем а Р зь х 1и 2 «1! и а„= — ~ сЬ хг)х= — ~ а а„= — )! сЬ хсозпхс(х=( — 1) — и=1 2 ... 1 (' 2зин и ) а(1+ ла) ' ' ° "' ° Рнс. Пг Из четности функции сЬ х следует, что для нее б„= О, и = 1, 2,,... Функция сЬх удовлетворяет условиям теоремы 4 и :Ь ( — и) сЬ»т, поэтому ее ряд Фурье во всех точках отрезка .— «т, и) сходится к самой функции сЬх: сЬх= — 1+2 ~ ( — 1)л —,,созлх 51!л! 1 л ! при этом ряд сходится равномерно, что сразу получается, если его ~ч 1 срнвг«ить со сходни(иа!си числовым рядом дм1+««а' о а ед Классические рлс7л! Фдрле Графики функции сЬ х и суммы 5(х) его ряда Фурье для сравнения изображены на рнс.
172. 2. Найти ряд Фурье функции з)7х. В силу ее иечетпости имеем а„=-О, и=О, 1, 2, ...; далее, Ь = — ~ з)!хз(пс7хс(х=-( — 1)" — — ', а=1, 2... ! л еки и((+ил) ' 7 / ! / ! Рис. !73 Функция зпх удовлетворяет условиям теоремы 2, но з)! ( — я) =ь з)!л, позтому во всех точках интервала ( — и, и) ряд Фурье функции з)!х сходится к самой функции: зп х = — '- '~ ( — 1)и — ' з(п ах, и и (+л' и ! ен ( — и)+ 5(!и а в тачках х= — и и х = и — к значению 2 =- О. Ряд Фурье функции Й х уже не сходится равномерно к функции зп х на всем отрезке ( — и, п) (действительно, в противном случае его сумма должна была бы быть непрерывной на отрезке ( — и, пй а она икееет разрывы на колпак). Графики функций зп х и суммы Ь(х) ее ряда Фурье для сравнения изобра7кены иа рис. 173. 555.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
