kudryavtsev2 (947414), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра При изучении свойств несобственных интегралов, аависящих от параметра, очень часто придется иметь дело с перестановкой предельных переходов по различным переменным. Поэтому прежде всего докажем лемму, относящуюся к этому вопросу. Лемма. Пусть Х и 1' — два числовых мноясесптва, функция )(х, у) определена на их протстведении Ху( 1' (см. п. 41.2). Пуапь, далее, ха и у, — числа или символы оо, +ос, — со и пусть суи(есптвуют простые пределы ср(х)=!!тп ~(х, у), х~Х„и ф(у)=1(тп~(х, у), ) ~)т. У Уе «о Если стремление функции ) хопть к одному из указанных пределов происходил равномерно, то сутцеств)утот и равны оба повторных предела: йщ 1!гп ) (х, у) = Игп 1(щ )'(х, у).
к ке у-'уе у-у. к .о. До к аз а тел ь ство. Пусть, например, функвия 1(х, у) равномерно на Х стремится к чт(х) при у -ь уа. Тогда для любого фиксированного е ) О существует окрестность О(уа), такая, что, каковы бы ни бьипи у~О(уа)с )т их~Х, выполняется неравенство (1(х, у) — ч (х) ! с.
—. (54.7) Если ух~О(уа)т~)т и ух~О(уа)г о)', то ! !" (х, у ) — Их, уя) ! < !) (х, у ) — ср (х) !+ ! г( (х) — Г (х, у )) ( е. Переходя здесь к пределу при х- ха, получим ~ф(ут) ф()2)! е (54.8) Согласно критерию Коши для существования предела функции (см. п. 4.9), из (54.8) следует существование конечного предела 1пп ер(у)=А, у уо йт.2. Свойства несобственкмх интеервхов Итак, доказано существование повторного предела 1пп 1пп7(х, у)=А. У Уек «е Зафикснруелт теперь у,~О(у) еч)', тогда из (547) прн у = у, и из (54а8) при уи-+-уь соответственно получим !7(х,)т) — тр(х)1«.. Я, !«у(у,) — А! .;а.
(54.8) ПриФиксируем у,~О(уь) П'т', для заданного н)0 найдется окрестность О(хь), такая, что для всех х!-О(ха)ктХ будем иметь !!(х, ут) — тр(ут)~«" н, (54.10) Из неравенств (54.9) и (54.10) для всех х~О(х ) к~ Х имеем ~ ср (х) — А ! < ! ть (х) — т (х, у ) !+ ! ~ (х, у ) — т(> (у,) ! + $ тр (ут) — А ! (Зе, что и означает сутнествование повторного предела А Игпте(х) Игп 1пп 7(х, у). к хе У У Теорема доказана. Теорема 2. Пусттть — оо «" а «" Ь < -!- оо и функция ) (х, у) определена при х Яа, Ь), у~!' и непрерьеени по х ни (о, Ь). Тогда если при любом т) ~ !а, Ь) функция !" (х, у) равномерно ни отРезке (а, т1! стРемшпсЯ к фрнкЦии ~у(х) пРи У-т-Уьа> и интегРал ь ~)(х, у)дх (54.11) а равномерно сходится ни мнозхесптве !', то ь ь ь 1пп ) 1 (х, у) дх = ) Ипт ) (х, у) дх аа ~ тр (х) дх.
(54.12) У Уеа аУ Уе а Доказат ельство. Если а(т1~ "Ь, то в силу теоремы 2 п. 53.1 имеем ч ч Итп )/(х, у)дх= ) Игп ь'(х, у)дх=~тр(х)дх, (54.13) У Уеа а У Уе а поэтому, согласно определению несобственного интегра.ла, равенство (54.12) можно переписать в виде ч Итп Игп ~ !(х, у)дх Итп Итп ) 7(х, у)дх. (54.14) У У Ч Ь Ьа ., Ь вЂ” ОУ Уеа е> Здесь уь — число или один из символов.
ао, + аа, — аа, б Я. Несобственные интегрилы, вивисящие от лтиралсетяв Таким образом, остается доказать возможносгь перестановки по- рядка предельных переходов для функции Ф (у, т!) = ) 1 (х, у) с(х. и Это следует из показанной выше леммы. В самом пеле, согласно (б4.13), существует предел 1нп Ф(у, ц), с другой старо- У Ув ны, существует и предел ь !пп Ф (у, ц) = !! ш ~ ) (х, у) йх =- ~ ) (х, у) с(х, ,ь — о ',ь-о; и причеьт здесь, согласно условию теоремы, стремление к пределу происходит равномерно на множестве !'.
Следовательно, справедливоссь равенства (54,14) непосредственно вытекает из утверждения леммы. Теорема доказана. Теорема 3. Пт!сть функция )(х, у) отсресмлена и непрерь«на (как функция двух ттерелсенных) на аолуотпкрытом сспрялтоугольникеь ((х, у): а < х и" Ь, с < у < а), — 0йа(5< +, — Ойси" йи" + О.
Тогда, если интеграл Ф (у) = ) 1(х, у)с(х сходится равнолсерно на опсреаке !с, с!), то он являетттся непрерья- ной функцией на атом отрезке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Каково бы ни было у„~ (с, й1, функция ~(х, у) при у- у, равномерно на любом отрезке (а, т!1, а<"т!(Ь, стремится к функции !(х, у„) (см. п. 39.4), поэтому, согласно предыду- щей теореме (см. (54.1х)), ь ь !!сп Ф(У)=) !!ш!(х, У)с!х= ) !'(х, Уо)с!х=Ф(У,). У Ув сУ Ув и Теорема доказана. Теорема 4. В ттредполоясениях теоремы б е и ь ь и ) Ф(у)йу=) Ыу) )(х, у)йх= ) с!х) ~(х, у)с!у. (54.15) с и 227 ас 2 Свойства нетвбстввивчс аитетеалвв Доказательство. Если а(ц( Ь, то по теореме 3 п. 53.1 имеем а а ~ду~ Дх, у)дх=~дх ~1(х, у)ду.
(54.161 а С Функ пня Ф(у, ц)=--, )г)(х, У) дх непрерывна по у и при и — Ь вЂ” О равномерно на отрезке (с, д) стревьится к своему пределу Ф(у), понтону, согласно теореме 2 п. 63.1, н левой части равенства [54.16) можно перейти к пределу под знаком иьпеграла прп и — Ь вЂ” О: Оьп ~Ф(у, т1)ду.= ) )ип Ф(у, т))с(у= л ь-в„ ь — 0 а а ь = ~ Ф (у) ду = (:Ьу ~ 1(х, у) дх; с а при атом полученный предел конечен.
Следовательно, при и — Ь вЂ” О сушествует тот же предел и у правой части равенства (54.16), который в силу определения несобственного интеграла равен ) дх~)(х, у)ду. а с Теорема доказана. Докажем одну теорему о перестановке порядка интегрирования для случая, когда оба интеграла несобственные. Теорема д. Пустив Функция )(х, у) определена и непрерьсено в полуоткрытол. прялсоугольнике ((х, у):а<х(Ь, с<у(д), — (а Ь(+ос, — (с.
д:::+ Если интиеграл ) 1(х, у) дх (54.17) равномерно сходится на лвбом отрезке (с, ц), с ' ц(д, а ин- теграл ') 1(х, у) ду Е 54. Несобствеыние антеерали, ваваонтэтте от парометра и пусть с(г[с" А В силу равномерной сходимости на отрезке [с, Ч[ интеграла (54.17), согласно теореме 4, имеем ч ь ь ) с[у) ~(х, у)дх=) дх) ~(х, у)ду. (54.21) Предел левой части этого равенства при г) -+ д — О, очевидно, равен а ь ) ду) Дх, у) дх. с с Покажем, что предел правой части равенства (54.21) равен ) с[х ) р"(х, у)ду, о с т. е. что в этом случае возможен предельный переход при г) -т- д О под знаком интеграла. Проверим выполнение предпосылок теорелты 2 этого пункта.
Функция Ф(х, г))=) [(х,у)ду непрерывна с по х(см. теорему 1 п. 53.1) и, согласно условию теоремы, на любом отрезке [а, ь[, а ( $ < Ь, при г1 — д — О равномерно а стремится к интегралу (54.18)т т. е. к функции Р(х) = ) г (х, у) ду. с равномерно сходится на любом отрезке [а, Ц, а( э«" Ь, и сутцео ь ств[тет один из двух повторных интегралов ) ду) 1[(х, у)~с[х, с о ь а ) дх) 1Г(х, у)1ду, то с[ти[ествуют и равны межды собой оба и с ь ь и повторных интеграла ~ ду ~[(х, у) т[х и ~ дх) [ (х, у) ду„т. е. с о а с ь ь а ~ду~)(х, у) т[х=~дх~[(х, у)ду.
с и о Доказательство. Пусть, например, существует интеграл ~ дх ) 11(х, у)1ду (54.20) З4.2. Свойства несойывеааых интегралов Наконец, интеграл ь ( ) Ф(х, т)) дх = ~ дх ) 1 (х, у) ду а а с сходится равномерно относительно т), с( т) ( д, нбо 1Ф(х, Ч)1 < ) 17(х, у)1 ду, с а интеграл (54.20) по предположению сходится. Следовательно, условия теоремы 2 для правой части равенства (54.21) выполнены, поэтому ь е ь в 11гп ~ Ф (х, т)) дх = ( 1нп Ф (х, т)) дх = ~ дх ( ~(х, у) ду. ч е о а э-е — о Итак, искомое равенство (54.19) получается из равенства(54.21) предельным переходом при ц -т.
д — О, Теорема доказана. Перейдем теперь к рассмотрению днфференцируемости несобст- венных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 6. Р)успгь функции )(х, у) и — ' определены и о! 1х, г) непрерывны в полуоткрытом прямоугольнике Л=(а (х(Ь, с< у(д), — оо(а(о(+оо, — оо(с(д(+оо. ь ь Если интеграл ) ) (х, у) дх сходилгся, а итпегрол ) 1( ' ") дх г д1(х, у) разномерно сходится на отрезке (с, а), то фу9кция ь Ф(у) =-) 1(х, у) дх непрерывно дифференцируема на зпюм отреза ке и ь ь — )1(х, у)дх= ~ ' г дх. а а ь Лока зательство. Представим функцию Ф(у)=) 1(х, у)с(х в анде сходящегося на отрезке (с, д) ряда ь аа ха+с Ф(у)= ) )(х, у)дх = ~ ~ ~(х, у)дх, (54.22) а аец й 54 Оетоаственсслсе сгитегтласлс, тавсссяцие от аааа ветви де и, и = 1, 2, ..., — фиксированная с1ослсдозатсльнос1ь, такая, лс с " с а что с)„~(а, 61, т(, =а и !!ю т(„=6, а функцию ) .
' с(х — в ви- Г д! (х, г! а со а де равномерно сходящегося на отрезке !с, с(! ряда со 'л+! (54.23] а ;=с 'Ф Согласно теореме 4 и. 53.1, каждый член ряда (54.23) является производной по переменной у от соответствусоньио члена риза (54.22), поэтому в силу теоремы о дифференцировании рядов (см и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
