kudryavtsev2 (947414), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Аналогично определяются в этом случае и поверхностные интегралы второго рода. У п р а ж н е н и е 2. Пусть о — гладкая поверхность с конечным чи. слом конических точек. ьгоказать, что для непрерывной функпив Ф, определенной на носителе поверхности 5, существуют интегралы ЦФЮ, ДФс(хс(), ДФс(ус(г, ЦФдгс(х. *) При достаточно л~алых е ) О множество Й чч К, является замтдутой областью.
й 5!. Лпверхнпстные интегралы !94 Определим поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям. Определение 4. Иусгт>ь 3= (3!), ! = 1,2, ..., й — кусо!но-гладкая поверхность (схь определение 28 в и. 50.б) и Ф(х, у, г) — функция, определенная на лгножестве точек поверхности Ъ, пюгди по определе- ЦО>д5=,'р ЦО>д5н * ! 1 5 (51.16) Определение б. Если кусочно-гладкая поверхноспгь 3=(Б!), ! = 1, 2, ..., ?г, ориенппгррелга и 3 = (5? ) — одна из своп>веп>ств>7югцих ей ориентированных поверхностей (обозначения см.
в и. 50.б), то по определен!ею е гв ) ) Фдхду= ~~.', Я Фг(хду, ЦФдуде = ~ч'., Ц Фг(ус(г, ! ! .+ 5+ ! ! + 5! 5! Фаг ах = ~'.! ) ) Ф дг г(х. 5+ ,+ 5! (51.1?) х = гсоз!)>созгр, у = т сов>уыпту, г = гяпту, где 0 <гу ~< —, 0 <ф< —,', Аналогичпо в рассматриваемом случае определяк>тся и ингегралы по поверхности Я = 1Я ]. Мы остановилнсь только на тех свойствах поверхностных интегралов, которые связаны со спецификой нх определения, с поверхностью, по которой, как говорят, производится интегрирование, Естественно, что, поскольку они сводятся к обычным кратным интегралам, на них переносятся и различные нх свойства (линейность, интегральная те!>рема о среднем и т.
п.). 3 а м е ч а н и е. Условия на отображения, осуществляюшие допустимые преобразования параметров для гладких поверхностей, сформулированные нами выше (см. п. 50.1), частооказыва>отса слишком жесткими (ср. с подобным обстоятельством для кривых в 47.2). Например, при таком подходе представления части шара единичного радвуса с центром в начале координат, лежащей в первом октанте: г= )г1 — х'+у', где х'+у'<1, х~~О, у>0 ЯЛ Иктегралы го кугочко-гладком оовеуккогтвл~ не эквивалентны. Более того, первое представление не определяет в указанном смысле непрерывно дифференцируемую поверхность. Поэтому естественно расширить определение непрерывно дифференцируемой поверхности. Сделаем это следующим образом.
Рассмотрим совокупность представлений г = г(и, и), (и, и) ~с О, непрерывных на О и непрерывно дифференцнруемых на О. Допустимыми преобразованиями параметров и = <р (ио и,), и = ф(ио и,), (ио о,) ~О„будем называть всякое взаимно однозначное непрерывное отображение замыкания О1 плоской области О, на О, непрерывно дифференцируемое и имеющее не равный нулю якобиан в О. Как всегда, два представления называются эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью допустимого преобразования параметра. Мы скажем, что класс эквивалентных представлений указанного типа задает непрерывно дифференцируемую поверхность, если в этом классе существует по крайней мере одно представление г = = г(и, и), (и, и) ~ О, непрерывно дифференцируемое вплоть до границы области О.
Непрерывно дифференцируемая поверхность называется гладкой поверхностью, если г„хг„+ 0 в О при некотором ее представлении г =г(и, о), (и, о) ~О. Площадь непрерывно дифференцируемой поверхности с представлением г =г(и, и), (и, и) ~О определяется как значение интеграла ~ ~ ! г„Х г„! г(и ~Ь, который, быть может, является и несобственным, Чтобы убедиться в его существовании, достаточно сделать замену переменного с помощью допустимого преобразования, переводящего данное представление в представление„ непрерывно днфференцируемое вплоть до границы области. Аналогичным образом ослабляются требования на допустимые преобразования параметра н в случае ориентврованных поверхностей. При таких опреде.чениях остаются в силе все выше данные определения поверхностных интегралов н нх свойства, естественна при учете того, что в этом случае при некоторых представлениях поверхностей мы можем получить несобственные интегралы.
Остаются справедливымн и теоремы, доказываемые в следующем параграфе о поверхностных интегралах, но мы не будем на этом специально останавливаться. Е я. Скалярные и нектарные ааля 1За У п р а ж и е и и е 3. Пусть о — гладкая поверхность (и ионом расширенном смысле) и ч — функция, непрерывная на 8. Локаэатгь что существуют интегралы Ф(х, у, г)йхйу, ) Ф(х, у, г)дгйх, ) Ф(х, у, г)йуйг. в 52.
скллярныв и ввкторныв поля 52.1. Определения Вместо терминов «числовая функция точки», «вектор- функция точки» употребляются равнозначные: скалярное поле, векторное поле. Эта терминология подчеркивает, что значения рассматриваемых функций зависят именно от точек пространства (в которых эти функции определены), а не от их координат, при выборе той или иной системы координат. Употребляя эту терминологию, можно еказать, например, что всякое скалярное поле и = и(М), определенное и дифференцнруемое в некоторой области 6, порождает векторное поле его градиентов (см.
п. 20.6 и п. 50.2): а(М) = йгад и. Определение Е Пусть в области 6'1 задано векторное поле и = а(М) и существует определенная в 6 функция и=и(М) такая, чпю и (М) = йгад и (М). Тогда функция и(М) нозьгвается потенциальной функцией„или потенциолож данного векпюрного поля»*>. Пусть, например Е(М) — напряженность электрического поля, созданного единичным отрицательным зарядом, помещенным в начале координат. Тогда в точке М(х, у) вектор Е(М) имеет, как иго 1 известно из физики, длину —, где г = )г"х»+уа + гя, и направлен от точки М к началу координат. Отсюда получается, что Е(М) = ~ — — — — — — ). х у гх г» г» )' Ю В этом параграфе для простоты рассматриваются только плоские или трехмерные ооластв 6. **) Иногда в приложенинх потенциал и определяется формулой а = — дгаг) и. В2.1. Ооявдвхвноя Электрический потенциал рассматриваемого поля, т.
е. функ- 1 ция и(М) = —, является и погенциалом, ибо Г агад и(М) = Е (М). Рассмотрим снова векторное поле а = а(М), определенное в некоторой области 6. Зафиксируем систему координат. Вектор-функцию а(М) можно рассматривать как функцию трех переменных— координат х, у, г точки М: а = а(х, у, г). Пусгг М» = (хо у». хо) б 6, н задан единичный вектор е = (соз а, соз р, соз у). Проведем через точку Мо прямую в направлении е: х = хо+» сова~ у у»+гсов() 2 = — х»+ гсов у Определение 2. Производная векпгор-4цнкггигх а(хо+»сова, уо+»соз(3, ао+(сову) по г пргл 1 = 0 (если она сри(ествуеггг) наэогваепгся производной яо напоавленшо е в точоа ке М векторчлункг(гхи а(М) и обозначив»пса — (М„): — = — а(х„+ г'сова, у,+(совр, го+ гсозу)!, да (М«) д По правилу дифференцирования сложной функции, опуская для простоты обозначения аргумента, получаем оа оа да оа — =- — соз а+ — соз (»+ — соз у.
дв ох ду о» д .д д Вводя символ ~~ = г' —, +,~ —. + Й вЂ” (см. п. 20.6) и по.питая дх ду д» д д д ед = сова — +срз13 — +созу —. ох ду дх ' Перепишем формулу (52.1) в виде дв (е ~7) а. Определение 3. Если Ь =- (Ь„, Ь,„Ь,) — произвольный (не обязательно единичный) фиксированный вектор, то ве»опор да да да (Ь с7)а= ܄— + ܄— +Ь, Г называется ерадггентом вектора а по вектору Ь.
Если Ь= ЬЬ», где ~Ь»~=-1, то «формальггыми преобразованиями» получим (Ь»7)а =(ЬЬ, т7)а = Ь(Ь„т7)а = Ь д В Зд Скалярные и еекгопнме коле до до д(ы а = — + — У+ —. дх ду дг Символически д!ыа может быть записана как скалярное произведение символа ~г и вектора а: д)ыа=- ~7а. (52.2) Определение б. Вектор с координаталш дог да„дау де„ дг дх ' дх ду ' дог две ду дг ' (52.3) называется вихрем, или ротором, векторного поля а = а(й4) и обозначается го1 а. Символически ,у й д д д дх ду дг го1а= С7 х а= (52.4) а„а а, Геометрический и физический смысл й)ы а и го1 а будет выяснен в дальнейшем.
Приведем пример формальных преобразований е символом ',у. Если за символом ~г следует несколько членов, на один из которых он дейсгвует как оператор дифференцирования, а на другие нет, то для ясности будем обозначать этот член вертикальной стрелкой. Поясним это на примере. Переходя к координатной записи, легко непосредственно убедиться в справедливости полученной формулы„показать, что с символом ту можно обращаться при вычислениях, как с настоящим вектором, не забывая, конечно, при этом, что, кроме этого, символ ~назначает также и определенную операцию дифференцирования.
Мы не будем здесь останавливаться на обосновании правомочности таких «формальных преобразований с символом г7». Любая формула, полученная подобным образом, может быть, конечно, получена и без применения символа '~ обычными обоснованными рассуждениями в координатах. Следует иметь в виду, однако, что применение символа ~7 часто весьма существенно сокращает выкладки. Вернемся снова к исходному векторному полю а =(а„, а„а,) в области 6. Определение 4. Г)усть поле а = (а„, а, а,) дифференцируемо до, да да, в некоторой пючгее. Число — + — ~+ — называется дивергенцией де ду дг поля в данной пючке и обозначаегпся й)ыа, т. е.
э Б2. Скалярные и векторные воля ГОО тенциальность поля, существование потенциальной грунтгции и условие, что вихрь поля ьо всех точках равен нулю, эквивалентны. Определение 8. Пусть 5 — некоторая ориентированная поверхноопь, лежащая в области 6, ч — единичная норлигль на поверхности, задающая ее ориентацию, и 5+ — поверхность 5 с указанной ориентацией. Интеграл Ц ачй5 называется потником векторного поля через поверхность 5 и ю . )) лг, для= гл( !) ле,ля- гл) Очевидно, что ач = пр а, поэтому ЦаЮ =- Цпр,ай5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
