kudryavtsev2 (947414), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Этн формулы сразу следуют из формул (50.12) н (50.!3). Действительно, если, например, Г,+О и г=)(х, у) — функция, определяемая уравнением Г = 0 в окрестности точки (х„, у„ го), яу то достаточно заметить, чго )„= — —, )" = — (см. и. 41.1). э у к Если функция Г(х, у, г) задана и непрерывно дифференцируема в области 6, то для любой точки поверхности, заданной неявно уравнением Р(х, у, 2) =с (и' "') ~ста ура~~О (50.14) (с — постоянная), получим уравнение касательной плоскости и нормальной прямой того же вида, что и в случае Г = О, если только в этой точке Г~ + Ру + Г:-) О.
Множество точек (х, у, г);-6, для которых Г = с, называется поаерхногппью суроанл 4рнус1(исс Гь ВектоР (Г,, )Уо, Р,) ЯвлЯетсЯ гРаднентом фУнкцин Е (см. п. 20.5) и направлен по нормальной прямой к поверхности уровня. (йпаче говоря, если градиент функции Е отличен от нуля, то он перпендикулярен к поверхности уровня (т. е. перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня в рассматриваемой точке).
Мы доказали существование касательной плоскости в неособой точке у параметрически заданной поверхности при фиксированном ее представлении. Возникает вопрос: что будет, если перейтн к другому представлению поверхности? останется ли пеособая точка неособой? Оказывается, что для того, чтобы неособые точки оставались иеособыми, необходимо и достаточно, чтобы допускались только такие преобразования параметров (50А), у которых всюду >72 В бв.
Элементы теории поверхностей Пусть г(и, о) и г(и„о,) — два представления одной и той >ке поверхности. Чтобы не усложнять обозначений и подчеркнуть, что речь идет об одной и той >ке поверхности, второе представление обозначено через г(и,, о,), а не через р(и„о,) как раньше (см. 50.5). Это пе приведет к недоразумениям, если помнить, что г(и,о) и г(и„о,) — разные функции. Пусть координаты и, о и и„о, связаны допустимым преобразованием (50.4), тогда справедлнво тождество г(и, о) = г(гр(и, о), зр(и, о)). Дифференцируя его, получим (50.15) г = ч>,г„,+т)>„г,, Следовательно, пара векторов г„„гт, прео>разуется в пару век- торов г„, г, с помогцью матрицы поэтому если дли данной точки векторы ггч и г„, линейно неза- висимы, то векторы га и г, будут линейно независимы тогда и только ~огда, когда будет выполнено условие (59.14).
Определение 1Б. Непрерывно дитЯеренцируема параметриче- ски заданная поверхность, у которой нет особых точек, назы- вается гладкой. При этом для гладких поверхностей допустимыми преобразова- ниями параметра (50.4) являются взаимно однозначные, взаимно непрерывно дифференцируемые отображении, с икобианом, не рав- ным нулю на б.
Определение 16. Пусть Я вЂ” поверхность с краем или без края (в смысле определений У и 10) и пусть для каждой точки М С 5 су- щесп>врет такой замкнутый сиар Я с централ> в этой >почке, что мно- жество 5 гг является носителем некогпорой гладкой параметриче- ски заданной поверхности Вхг =(г(и, о); (и, о) ~ К) без кратных точек, где К вЂ” круг или полукруг с центрол> в точ>се (ив, ов) и М =- г(и„о,), Позерхность Я, для которой выполняется это условие, называется гладкой. Касательная плоскость (норд>аль) к параметрически заданной поверхнссп>и Яхг в точке М назьыается касательной плоскостью (нормалью) к поверхности Я в эпк>й точке. Мы не будем останавливаться на вопросе о независимости каса- тельной плоскости и нормали от выбора местной системы координат. У и р а и и е и и е 3.
Доказать. что всякая гладкая поверхность с краси является объели>1еииех1 коиечиого числа носителей параиетрически заданных гладких поверхиостей. 50 8. Первая кваднатнчяан фарлафа поверхности 173 50.3. Первая квадратичная форма поверхности Зафиксируем какое-либо представление данной гладкой параметрически заданной поверхности и рассмотрим некоторую ее касательную плоскость. Как мы видели, векторы г„и г, образуют в ией естественный базис.
Векторы, лежащие в касательной плоскости, будем обозначать символом йг, а нх координаты относительно базиса га и г„через йи и йов1. Таким образом, йг = гв йи+ га с о. Найдем квадрат длины вектора, лежащего в касательной плоскости, выраженнын через координаты естественного базиса г„, г, (в линейной алгебре это выражение обычно называется основной лтетрической форлтогт рассматриваемого пространства, в данном случае плоскости): )т) )г=(гади+у,йо)в= г,'йиг+2гаг,йийо+г,'дог. Введем обозначения Е = г., Е = т „г„6 = г„ тогда ~йг~' Ейиг 1 2,сг)иди 1 6 дог (50.16) (50.17) Определение л7. Квадратичная 4орлта Е йиг+ 2Г йи до+ 6 дог называегпся первой квадратичной форлтой поверхности**'. Посмотрим, как она меняется при переходе к другому представлении> поверхности (см.
формулы (50.4)). Как известно (см, (50.15)), при этом базисы в рассматриваемой плоскости преобразуются с помои;ью матрицы грп ")ттт тре 'Ф, Следовательно, координаты векторов преобразуются с помощью транспонированной матрицы, т. е. матрицы Якоби ()т, т. ' )ф фе *) Это обозначение естественно, ибо если вектор в касательной плоскости является касательным к некоторой кривой (50.8) ка поверхности. то пря соответствующем выборе параметра этот вектор будет являться дтирт)теренниалогг вектора (50.8) и, следовательно, для него будет выполняться равенство (50.9).
'П то, что рассматриваемая квадратичная форма называется первой, объясняется теч, что существуют другие квадратичные формы, связанные с повсрхностыо. Их изучение не входит в задачу настоящего курса. 174 й дп Эхеиентм теории поверхностей Если матрицу первой квадратичной формы (50.!7) прн представлении поверхносйн г = г(и, о) осюзначить через А, а прн представлении р = р(и„о,) через А„т. е ~Е Е А =- ~Е 6, Е= г„', Е=- лиг„б=гйп то, как известно из курса линейной алгебры, для первой квадратич- ной формы поверхности, как и вообще для всякой квадратичной формы, А =,РА,3, где через У* обозначена матрица, транспонированная с матрицей Якоби Отсюда для соответствующих определителей нли Еб )те (Е б Ее) ~д(и~ об ~ д(и, в1 (50.18) Е)0 и 6)0.
Знание первой квадратичной формы поверхности позволяет решать ряд задач на параметрически заданной поверхности, например, находить длины кривых и углы между ними, вычислять плошадь поверхности. К рассмотрению этих задач мы и перейдем. 50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ниии рассмотрим непрерывно дифференцируемую кривую (50.8), лежащую на данной параметрнчески заданной поверхности (50.2). Предположим, что отсчет длины дуг э = й(~) на ней произде водится в направлении возрастания параметра, т.
е. что „-) О. Как известно (см. п. 18.3), Заметим, что по самому своему определынно первая квадратичная форма является положительно определенной квадратичной формой, поэтому ее днскрнмннант Еб — Р положителен. Из определения коэффициентов Е и 6 (см. 50.16) непосредственно следует также, что вхб б Плогцадь поверхности 175 !!о и поэтому — = ф~Е.~--) + 2г" — „— „- +6(„— ) Таким образом, для длины Я кривой (50,8) получаел! формулу и 5 = ~ 1/ Е ( — ) -т- 2 à — „— „+ 6 ( — о) г(!. Л Перейдем теперь к вычислению углов между кривымн на пара- метрически заданной поверхности.
Отаределсние И. Если дэе кривые пересекаются в некоторой точке, то углом между кими е этой точке наэыеаетсн угол, обрию банный их касотсльнылги е указанной точке (если, конечно, э!пи каса- тельные суи(естеугоп!). Пусть две гладкие кривые, лежащие на рассматриваемой по- верхности, пересекаются в некоторой точке. Обозначим дифферен- пиалы их представлений в этой точке соответственно черо йг и бг, а коэффициенты разложений по векторам ги и га соответственно че- рез йи, ао и би, бс, тогда йг = г„йи+ г, сЬ, бг = ги йи+ г, бо. Поэтому если гр — искомый угол между кривыми, т.
е. между векторами сЬ' и бг, то бе Вг созгр = . ! бг ((аг ( ндихи + р(лв .о + Ив'и) + плохо гхпогР + ар!(ибо + плот г' Еба" + вр ь ива +йбоа ' У и р а гк н е н и е 4. Локазать, что, длн того чтобы координатные и- и о-линин ва поверхности были ортогопальиы, необходимо и достаточно, чтобы всюду на понерхностн имело место г" = О. 50.5. Площадь поверхности Пусть представление (50.2) рассматриваемой гладкой поверхности определено иа замкнутой квадрируемой области О. Разобьем плоскость ио линиями и = сонэ( и о = сопз! на какие- либо прямоугольники: тогда область В окажется покрытой конеч- па 4 Ю. Элкигн«ы теории вовелхноете» Ло, = ~г„Лихг, Ло) =)г„хг„(,. )Ли 4'Ло! = (г;,хг,( р тезЕг ! Функции г„и г непрерывны па замкнутой квадрируемой области, поэтому (см. п.
44.5) ,им ~~ Ло, = Ц~ ) г„х г, ~ ди до. (50.19) Здесь штрих у суммы означает, что суммирование распространено только на те индексы ~', для которых Е, — полный прямоугольник, т. е. Е, не пересекается с границей дВ области О. Как известно (см. п. 44.5), добавление остальных слагаемых интегральной суммы не влияет на величину предела (50.19-;. Определение 19. Предел (50.19) низывпепюя плои(адью или мерой гпез 5 поверхности 5 п«ез5== Игп ч Лос М Лля вычисления площади поверхности из (50.19) непосредствен.
но получается формула ным их числом. Перенумеруем каким-либо образом пересечения внутренностей (множеств их внутренних точек) этих прямоугольников с областью В и обозначим их через Еь « = 1, 2, ..., г,. Тогда т = ( Е«)г '~' образует разбиение области О (см. п. 44.3), Рассмотрим одно из тех Е«(рис.
160), которое представ- ляет собой полный прямоугольник о (при достаточно малой мелкости разбиения т такие множества Е« всегда существуют, почемуу). Пус«ьдлнны сторон этого прямоугольника соответственно Ли и ла Ло, Р« — одна из его вершин. Тоге М„, да при переходе от вершины Р« к соседним вершинам радиус-вектор получит приращения с точа в настыв до бесконечно малых более высоких порядков равные по абрис або солютной величине соответствен- но числам )г„Ли),!г,Ло~.
При определении площади поверхности мы будем образы мно«кеств Е, заменять прямолинейными параллелограммами, построенными на векторах г„Ли и г,Ло (рис. 161). Найдем площадь такого параллелограмма. Обозначая ее через Лаи получим БО.Б. Площадь поверхности 177 тезЗ = Ц ~г хг„)бидо. о (50.20) Рис. !61 !ахЬ) =- ~а~~Ь~ыпаЬ, аЬ = ~ а ~! Ь ~ соз аЬ, (50.2)) где аЬ вЂ” угол между векторами а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
