kudryavtsev2 (947414), страница 32
Текст из файла (страница 32)
оо), то точка г(и,„о„) поверхности называется конической пиеской. Пусть поверхность В = (1 (и, о); (и, о) ~ б) имеет конечное число конических точек т(ин от), ю' = 1, 2, ..., т, и в любой другой точка(и, о) ~В, (и, о)+(ин от), 1 = 1, 2, ..., т, функция г(и, о) пепрерывно дифференцируема и г„хге + О.
Тогда на поверхности В нормаль (50.26) является ориентацией. Действительно, пусть Ю.б. Ораентаггггя поверхности О» =О'~ () ((иг, о,)). Легко видеть, что О» — область и что О* = О. г г Поэтому могкгго написа~ь, что 3 (г(и, о), (и,о) гО»). Таким образом, заменив О на О», получаем, что поверхность Б гладкая во внут ениих точках. к ратко можно сказать, что ггоралгетрически заданная поверхносгпь, еладкая во внутренних то гках, кроме, быть можеаг, коне«гнало числа их, имеет ориентаг(ггю. Если вернуться к общему определению поверхности (см.
определение 9 в п. 60.11, то следует от»гетггть, что не всегда, когда в каждой точке поверхности существует нормаль (см. определение 16), можно найти нормаль, непрерывную на всей поверхности. Примером поверхности, когда зто нельзя сделать, является так называемый л и с т М е б и у с а; его можно получить так: взять прямоугольную полоску бумаги АЕСО, одкп раз перекрутить ее вокруг оси симметрии г)гЛг, параллельной сторонам ВС и АО, «склеить» ребро АВ с ОС, как зто показано на рис. 163. Рас. 1бз Определение 2о. Гладкая поверхность 3"' называется ориентируемой, если на Ю суи(еслгвуелг непрерывная единичная нормаль. Если такой нормали не суигествуеггг, то поверхность наэываетсн неориентируемой.
Примером ориептируемой поверхности является сфера. В качестве ее ориентации можно взять, например, единичные нормали, направленные по радиусу от точки сферы к центру (см. рис. 164). Можно показать, что всякая гладкая поверхность, являющаяся границей некоторой области б трехмерного пространства„является ориентируемой. При атом одна из ориентаций состоит из единичных нормалей, направленных от поверхности в область б (так называемые внутренние нормали), а другая — из единичных нормалей, направленных от поверхности наружу области б (так называемые Р г. В ~~ ~6. Э Ж Элементы теории поверхностей Если вектор-функция н является ориентацией данной поверхности, то и вектор-функция — н также является ее ориентацией. У и р а тк н е н и е б.
Доказать, что если ч является ориентацией некоторой поверхности, то никаких других ориентаций, кроме ч и — ч, у данной поверхности нет. Если даны две какие-либо ориентации поверхности, то, для того чтобы узнать, совпадают онн нли нет, достаточно это проверить лишь в однои произвольной точке: если они в ней совпадают, то они совпадают и всюду, если же они в этой точке противоположны по знаку, то это имеет место и всюду. Одна из двух ориентаций и и — ч (произвольная) ориептируемой поверхности называется гголожительной, другая — отрицагпельной.
Иногда ориентируемые поверхности называют также двцстороннтгми: опи имеют две «стороны», соответствующие двум ее ориентациям. Неориентируемые поверхности называют соответственно «односгоРис. Г64 ронннми» (например, лист Мебиуса и«тест одну «сторону»). Подчеркнем еще раз, что всякая парамегпрически заданная поверхность, гладкан во внутренних точках всегда илгеет ориентацию.
Определение 2б, Поверхноппь, у которой фггксирована одна из ее ориентаций, называется ориентированной. Здесь под поверхностью понимается либо параметрическн заданная поверхность, гладкая во внутренних точках (см. определение 22), либо ориентируемая гладкая поверхность с краем или без него (см. определение 16). Существует и другой подход к ориентации поверхностей, основанный на другой идее.
Определение 27. Пусть поверхность 5 гпакова, тпо ее можно разбить на чаапи 5; конечным числом простых контуров ут, «=1, 2, ..., я (т. е. гтредспиюигпь 5 в аиде 5=() 5г) таким образом, что т=т 1) каждое 5,. являегпся носителем парамегпрической поверхности с представлением г;(и, о), заданным на замкнутом круге К, ограниченном окружностью у, отображающейся на уй 2) каждое представление г;(и, о) взаимно однозначно отображает круг К в 5; 8) два множества 5, и 5, могугп имегпь оби(ие «почки только принадлежащие контурам у, и угй 4) можно так одновременно ориенгпировать все контуры ут, чпю всякая кривая, являюи(ияся одновременно частью двух этих контуров, получит от них прогпивоположную ориентацию. Жв. ОП«»н«оггыя поя»рхыогты 1зь В эпголг случае поверхность называется ориентированной, Это определение имеет то преимушества, что может быть использовано для любой непрерывной поверхности — оно не предполагает гладкости поверхности.
Можно показать, что гладкая поверхность ориентируема в смысле определения 25 тогда и только тогда, когда она ориентнруема в смысле определения 27. При этом двум ориентациям поверхности в смысле определения 25 соответствуют две ориентации контуров уг в определении 27, согласованные между собой «по правилу нггопорал (острие штопора направлено по нормали, а вращение его ручки указывает на ориентацию контура). Из сказанного следует, что и с точки зрения определения 27 лист Мебиуса неорнентируем. Мы не будем доказывать все яти факты, так как они не будут использоваться в дальнейшем, кроме того, это потребовало бы привлечения новых методов, относящихся не к математическому анализу, а к часги математики, называемой топологией. Однако используем изложенную идею для определения ориентации так называемых кусочно-гладких поверхностей.
Введем некоторые обозначения. Пусть 5, = 1е, (и, о), (и, о) ~ Рг ), г' = 1, 2, ..., !г, — гладкие во внутренних точках поверхности и пусть границы до; областей О; являются замкнутыми контурами у, = (и, (1), ог (1); а, ~=" г СБ г ). Пусть Г; = (г,(и,(1),ог(г)); а, 1~(бг), г'= 1,2,...,(г. Две поверхности 5; и 5г назовем соседними, если для контуров Г; и Гг существует по крайней мере одна кривая, являющаяся их общей частью (см. определение 5 в п.
16.1). Мы будем предполагать, что пересечение каждых двух контуров Г, и Г. состоит из конечного числа кривых. Определение 28. Совокупносгпь гладких во внутренних »почках поверхностей 5„» = 1,2, ..., (г, называется кусочно-гладкой поверхностью 5=(5,)г»м если для любых двух поверхностей 5, и 5 существуют такие поверхности 5,, т = 1, 2, ..., тчь что поверхность 5,— соседняя с 5;, поверхноапь 5, — соседняя с 5, +м т = 1, 2, ..., ти — 1, а поверхность 5 г — соседняя с 5,, Совокупность всех частей кони»уров Гь каждая из когпорых принадлежит только одному контуру Гь называется краем д5 кусочно-гладкой поверхноспш 5. Определение 29.
Кусочно-гладкая поверхность 5 = (5г)г-» называется ориенгпирйелгой, если сущеспгвует такая ориентация !за В Ж Элементы теорио поверхностей контуров Гт, т = 1, 2, ..., А (называел«ал согласованно«1), чтпо часпт затих контуров, принадлежаи(ие двум различным кон«пури»«Г, и Г« соседних поверхностей, получают от контуров Г, и 1'; противоположную ориенттитцию (рис. 165). Если ориентация поверхностей 5, (т. е.
соответствующие непрерывные единичные / нормали) выбраны таким образом, что они согласуются с указанными ориентациями контуров Г« «по правилу штопора» (см. рис, 165), то мы будем говорить, что поверхности Зт ориентированы согласованно. В этом случае совокупность ориентированных контуров Г, и ориентаций поверхностей Зо « = 1, 2, ..., й„называется ориентацией поверхности Я. Как и в случае гладких поверхностей, можно показать, что если кусочно-гладкая поверхность ориентируема, то она имеет в точности две ориентации.
В этом случае, однако, уже нельзя ввести понятие положительной ориентации, используя заданные представления гладких кусков поверхности и беря на них единичные нормали г Хㄠ—, так как эти ориентации могут оказаться несогласованными. ~генг, р Поэтому в случае кусочно-гладких поверхностей следует всегда конкретно оговаривать, что подразумевается под ориентированными поверхностямн Зт и я орнентируемой поверхности я. Пусть 3 = ( Я, ) ';: ~ — ориентируемая кусочно-гладкая поверхность. Выберем какие-либо согласованные ориентации поверхностен о; и ориентированные таким образом поверхности 3«обозначим через Зг, а ориентированные противоположно — через Зт .
Эриентации поверхностей 5~ также являются согласованными. Поверхнткть 5, на которой фиксирована ориентация (такне юверхности называются ориентированными), соответствующая эриентированным поверхностям З~~ь, обозначается 5' = ( 5~+ )';:1. йналогпчно о = ( Б«)~-1 ° Если же для данной кусочно-гладкой поверхности Я не суцествует разбиения Б = (3«)~ 1 на гладкие согласованно ориентируемые поверхности З„то она называется неориентпируелюй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
