kudryavtsev2 (947414), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Возведем в квадрат и сложим зти формулы: ~ахЬ~'+~а Ь|'=а'Ьь В частности, ~г,Х1'ь|' =е„г~ — (г„г )' =- Еб — Р', (50.22) поэтому формула (50.20) может быть записана также в виде и-ез 5 =- Ц у' ЕΠ— Еь г(и 1(о. л (50.23) Иногда для краткости записи выражение ф' Еб — Еь дида обоз- начается символом Ю: (50.24) Покажем, что величина площади поверкности не зависит от выбора ее представления. Прежде всего заметим, что для любых двух векторов и и Ь справедливы формулы а йт.
Элементы теорем поверхностей 178 и называется заел~витовт площади. Применяя это обозначение, фор- мулу (50.23) можно переписать в виде спея 5 = Ц с(5. и Перейдем теперь к другому представлению р = р(им о,) данной поверхности, которое задано на замыкании Р квадрируемой области Р, и для которого преобразование (50.4) параметров и, о в им о, взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо на Р и имеет на Р не равный нулю якобнан. В новой системе координат рассмотрим интеграл я, = 111 е,о,— т',едал,.
Ю1 Для сравнения его с интегралом (50.23) сделаем замену переменных (50.4), что возможно, так как все предпосылки теоремы 3 п. 45.4 в данном случае выполнены. Используя (50.18), получим гпез 5, = Д )' Е 6,— Е ~ с)и, с(от гл = ~1 у' Е,6,— Е1 ~л („' "1~~пп сЬ = ') ~ у'Е6 — тес(исто = тпез5. Б б Таким образом, действительно, величина плошади поверхности не зависит от выбора ее представления. Найдем выра>кение для площади поверхности, имеющей явное представление г = )(х, у), (х, у) ~ Р. В этом случае и = х, о = у, л = (х, у, ~ (х, у)) и, следовательно, ем(1~0~те)тс(0ф1ф~у)» Е тт 1+~в Е г т ) 6 е,е 1 1 )2 Е6 — ге = (1+)х) (1+1у) — )х 1уе = 1+)от+)уз (5025) поэтому '= Я1+). '+~,'а у.
Замечание. Из формул (50.22) и (50.18) получаем, что ! .Х .1=! ., е,!!',(,"„'.";) !. оп б. Ориентояин иоверхности ггз Отсюда еще раз (см. п. 50.2) следует, что, если якобиан перехода от одной системы координат на поверхности к другой системе координат не равен нулю, то неособая точка в одной системе координат будет неособой и в другой (напомним, что условие т „к г„=(=.
О является необходимым и достаточным условием для того, чтобы точка поверхности была неособой). 50.6. Ориентация поверхности. Ориентнруемые и неорнентнруемые поверхности е =с„,1+с,,1+с,й, т=1,2,3, см сы с1з см с с,„ с„ с„ с„ Все определения и понятия, связанные с координатамн, вводимые ниже в этом параграфе, даются применительно к правым системам координат. Пусть 5 — гладкая поверхность, заданная параметрическн. Тогда существует такое непрерывно дифференцируемое представление г = т'(и, о), (и, с) ~К этой поверхности, что гихг„+О на 0 и, следовательно, в каждой точке поверхности 5 определен нормальный единичный вектор г„Х си У= —, 1 г„хг„! ° (50.25) являющийся непрерывной функцией на В.
Кратко это обстоятельст- во выражают, говоря, что на поверхности Б существует непрерывная единичная нормаль. В этом параграфе будем предполагать, что в пространстве выбирается всегда правая система координат. Зто означает следу1ощее. Пусты,,/ и и — единичные орты координатных осей. Если смотреть из конца вектора й на плоскость хОу, то вектор г надо повернуть на 90' против часовой стрелки, чтобы он совпал с вектором /. В этом случае говорят также, что упорядоченная тройка векторов г', .( и и согласована по еправилу штопора>.
Аналитически это означает, что в пространстве точек (х, у, г) рассматриваются только такие упорядоченные базисы е„ем с„которые получаются из упорядоченного базиса У = (1; 0; 0), 1 = (О; 1; 0), к = (О; 0; 1) с помощью матриц, имеющих положительный определитель (более точно, равный +1). Таким образом, тхли Е 50. Элелгектм теории ловерхчоствл Определение 20. Всякая непрерыенил единичная нарткала чг р(гг, о), (и, а) ~ К гладкой ггараметрически заданной поверхности 5 = (г = е(и, о); (и, о) ~ 0) назыеагпгся ориентацией ггоеерхности 5.
Очевидно, что если вектор ъ является ориентацией параметрически заданной поверхности 5, то и вектор — ч также является ориентацией той же поверхности, и легко показать, что других ориентаций нет. У и р а ж н о н н е о. Доказать, что парачетркческн заданнав поверхчость о могкет ннеть только две орнентапнн. Одна из двух ориентаций ч илн — ч (произвольно выбранная) называется положительной, а другая — отрицапгельной. Для определенности в дальнейшем для гладкой поверхности, заданной фиксированным векторным представлением е = е(гг„о), (и, о) ~~ К за положгггпельнуго ориентацию буделг принимать всегда вектор (50.26). Таким образолг, понятие положительности и отрицательности ориентации в этом смысле не определяется однозначно самой поверхностью, а зависит от выбора ее представления.
Чтобы прн взаимно однозначном непрерывно дифференцируемом преобразовании параметров и и а с якобианом, ие равным нулю, у поверхности сохранялась ориентация, необходимо дополнительно потребовать, чтобы якобиан этого преобразования был положительным. Действительно, для преобразования параглетров и,= гр(и,о), о, =- ф(и, о) из формул (50.15) имеем Таким образоьг, для поверхностей, у которых выбрана ариев. тация, допустимыми преобразованиями будем считать такие непрерывно дифференцируемые преобразования, у которых якобиан положителен.
Поверхность 5 с положительной ориентацией мы будем обозначать через 5~; а с отрицательной — через 5 Данное выше определение ориентации, разумеется, не переносится на негладкие поверхности. Примером поверхности, не дифференцируемой в одной точке, на которой уже нельзя выбрать непрерывную нормаль„является конус: г =-)'х'+у', х'+у' (а'. (50.27) В этом слу гае векторное представление имеет внд е(х, у) = = (х, у, 1/х'+ у'). Следовательно, ба.б. Опве>почия пььепхььгги 1а> г„=(1;0;д-,— „.- —,), гт=(0;1; =-,,— ' — „); Х г хг — =.,— —;; 1); 1гь.хг,,)= ф'2. Поскольку пределы !пп =, н 1нп л У <ь,х> <ь,о> 17к'+>л <к х> <о,<> 1/х'-1->л не существуют (почемуу), то и единичная нормаль не имеет предела при (х, у)->-(0,0).
Поэтому на конусе (50.27) нельзн выбрать нормаль, непрерывную на О= ((х, у):хь+уг ..., аг). Чтобы обойти эту неприятность, мы введем более слабое понятие ориентапин. Предварительно введем понятие внутренней и краевой точки для поверхности, заданной параметрически. Определение 21. Tочха параметрически заданной поверхности Ь' = (г (и, о), (и, о) ~ О), (50.28) соответсп>ву>ощая значениям параметров и, о, таким, что (и, о) ~ О, назьваеп>ся внутренней точкой >юверхности.
точка же, соответствующая таким значениям пирометров и, о, что (и, о) ь.-дО, называется краевой точкой поверхности. л(ножесп>во всех краевых т>~очек назь>вагтся краем дЮ парамеп<рически зидинной поверхности 5. Это обозначение естественно, так как всякая замкнутая плоская область Ос:Е„'х является носителем параметрически заданной поверхности Ь с представлением х = х, у = у, г = О, (х, у)~О, являющимся, очевидно, тождественным отображени м О на себя. Носитель края д5 этой поверхности совпадает с граниней дО области О. Определение 22. 77праметрически заданная поверхность (50.28) называется гладкой во вну>пренних точках, если ее векторное представ><ение г(и, о) непрерывно ди4ферен«ируемо на О и каждая точка поверхности, соответспи<ующан (и, о) ~ О, является неособой.
Определение 23. <<сякая непрерьнния ни О единичная нормаль ч =- ч(и, о), <и, о) с О, параметрически заданнои поверхности (50.28), гладкой во внутренних точках, называгп>о> ориентацией этой поверхносп>и. Следует, конечно, иметь в виду, ч>о далеко не всегда нормаль т можно непрерывно продолжить с О на О. Это бьто показано выше иа примере обыкновенного конуса. 4 Ю. Элементы теории воееркностев 1зв На рис. 162 изображена гладкая во внутренних точках поверхность, у которой целый отрезок состоит из точек, в которые нормаль ч нельзя непрерывно продолжнтщ Наглядно вта поверхность может быть получена из прямоугольника АВСО (см.
рис. 162), путем «склейки под углом» его сторон АВ и Г-'С. Рис. 1Вл Как и в случае просто гладкой поверхности, для поверхности, гладкой во внутренних точках, существуют две ориентации г«Хг ч — — ' и — ч, 1 тих ге « называемые противоположными. Первую из ннх будем называть положительной, вторую — отрицательной, Допустимыми преобразованиями координат, сохраняющими ориентацию, являются взаимно однозначные непрерывные отображения замкнутой области В, непрерывно дифференцируемые и имеющие положительный якобиан внутри ее, т, е.
на О. В смысле определения 23 конус (50.27) имеет ориентацию. Действительно, если взять Ое = ((х„ у): 0 «' хе + у' «" а'), то для каждой точки (к, у) ~О« существуег нормаль„непрерывная на Ое. Обобщим понятие вершины конуса, введя понятие конической точки. Определение 24. Лусть В = (г(и, о)'„(и, о) Я), (о„о„) ~ О и существует такая окрестность О точки (и„, о„), что на множестве О «(и„ое)) функция г(и, о) непрерывно дисрференцируема, а векторное произведение ге х г,+ О и ограничено по абсолютной величине. Если единичную нормаль (50.26) нельзя непрерывно продолжить в пшчку (ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
