kudryavtsev2 (947414), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для этого положим (1 (х), если 1(х))~0, )ь (х) =- $ О, если 1(х)(0, 1 (х) —.— ч ~ ~ ь — 1(х), если 1(х) < О, О, если ~(х)) О. Легко видетгь что !1! +1 ) 11! — 1 2 ' — 2 (48.10) 0 :: ~, (х) .- ! 1(х) !, 0 -, ) (х) -. ! 1 (х) !, (48. 1 1) 1'(х) == 1 „ (х) — 1 (х), ! 1' (х) ! = — 1 „ (х) + ) (х). (48. 1 2) *г Отметим, однако, что мозкво было бы и в л-мерном случае получить качественно ту же связь л1сжду сходилюстью и абсолютной скодимостью интеграла, что и в одномерном случае, если соответствующим образом ввести определение несобственного и-кратного интеграла.
Например, в случае интегралов по всему пространству дли этого следует в определенна интеграла и качестве элементов монотонно исчерпывающей последовательности брлгь только а-мерные вары с центром в начале координат. Из формул (48.10) следует, что, если функция 1" интегрируема по Риману на некоторой кубируемой области, то и функции ~„ и 1 также иитегрируемы по Рнману на этой области; из первой формулы (48.12) следует обратное утвер>кдение.
Поэтому из (48.10)— (48.12) следует, что интеграл ~ )дб абсолютно сходится тогда и только тогда, ковда сходятся интегралы 11",аб и '11" дб. Как и в случае несобственных интегралов от функции одного переменного, из абсолютной сходимостн кратного интеграла следует его сходимость (при этом конечно рассматриваются только такнефупкции, которые интегрнруемы на каждом кубирусмом множестве, содержащемся вместе со своим замыканием в открытом множестве, по которому производится интегрирование). Это сразу получается на основании формул (48.11), первой формулы (48,12) и из теоремы 2 настоящего параграфа (см. п. 48.2).
Однако для кратных несобственных интегралов справедлива и обратная теорема. Теорема 3. Если кратниб интеграл 11г(б(п > 2) сходится, аю он и абсолюгпно сяодшпся. Эта неожндапнан на первый взгляд теорема связана с отличием определения несобственных интегралов от функций одного н и переменных (н ~1), указанным в начале этого параграфа".>. 4В.В Нетолттаенные интегралы от Вгункяиа. иенямткие знак 11т ) ( ) ~ е(6» = + оо.
» оз Без ограничения общности (переходя, если надо, к подпосле- довательности) можно предполагать, что ~111 (6+, >3~11~ )6,+2й, й=1, 2, .... (48Л3) Пусть А» — — 6»+1',,6е; тогда А» — открытое кубнруемое множе- ство, и так как 6„с: 6»+„то (рис.157) 6»е~ ==А»'-л6», и, следо- вательно, ояы ) (Г(е(6»41 = ) (7 ! »(А»+ ) )1 ) ги . Отсюда в силу неравенства (48.13) Вя ~()~ (л„>2~1Р! 6»+2й. Используя вторую формулу (48.12), получим ~), (Л,+~) (Л„>2~Щ И,+2й. тне, т'В7 Пусть для определенности ) 1,»(А» > 1) е(А», тогда 2~~. (А„> )), (л„+ ~~ (л»>2~~Д 6„+2й, и, следовательно, ) );е(А >) (1(г(6„+й. (48.
14) Нашей целью является получение неравенства подобяого типа ие для функшш 1„, а для функции й Для этого, казалось бы, можно просто отбросить точки, в которых функция 1+ обращается в ноль; тогда на оставшемся множестве имели бы 1 =. 1,. Однако получившееся множество может, вообще говоря, оказаться некаадрируемым, поэтому мы будем действовать несколько обходным путем. Из неравенства (48.14) следует, что при любом достаточно мелком разбиении т =- (Ег),'," множества А» (схь п.
44.3) для любой ш1гегральной суммы Римана имеем Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Пусть интеграл ~ 1»(6 абсолютно расходится, т. е. для некоторой (а значит и для всякой, см. теорему 1 в п. 48.2) последовательности кубируемых множеств 6„, й = 1, 2, , монотонно исчерпываюгцей открьпое множество 6, имеем 4 48. !!е«об«твенние крптные интегралы и » )', (5,) п~сз Е, '» ~ ! !' ! й6„+ й, гч ~ Е„( = 1, 2, ..., 1,. г=! Обозначим через Е~ те множества Е,. ~ т, для которых г, $)>0 во всех точках з с Е„тогда, выбирая Ц,~Е,+Е," так, что ! ($,-) =О, получим ~~ !',(в,)гпезЕг ~ 1~( г(6»+ Л, (48.15) где (а также и в дальнечшем) знак «штрих» у суммы означает, что суммирование распрсстравяется только на те индексы 1, для которых Е, =Е~.
Положим Вх = () ' Е» ( (48.! 7 откуда 10п ) ~с(О = + оо. (48. 20) Из включения (48.19) следует, что множества 0„, (г = 1, 2, ..., образуют последовательность кубпруемых множеств, монотонно (см. рве. 157). Очевидно, что В» — открытое кубируемое множе- ство, лежащее в множестве А„, а т*=(Е~[ является его разбие- нием. На замыкании этого множества1„.>0, и следовательно, 1„-: 1. Из неравенства (48,15) следует, что для нижних сумм Дарбу з, функции ( иа множестве В» справедливо неравенство з...:- ~ Я 6» + Ф. Отсюда, очевидно, следует, что ~1 (В„> ~ |~! (6„+й. (48. 16) Заметим, что 1~~ — !1! н, следовательно, ~~ (6,> — ~,1! (6,.
Складывая неравенства (48.16) и (48.17), получим ~ ! ВВ„+ ) !" Н6» - !1. (48. 18) Пусть О»=В„~-~6», 6=1, 2, .... Очевидно, «)„— огкрытое куби- русмое множество н 6„~0 с:6»чы 1=1,2,.... (48. 19) В силу того, что множес»ва Вх и 6» не пересекаются (так как не пересекаются множества А» и 6«), из (48.18) имеем ~)-Ю„> 7, чйд Вычисление влощадеа и обвалов исчерпывающую открытое множество 6, ибо таковой являлась данная последовательность 6„, й = 1, 2, ..., поэтому равенство (48.20) означает, что интеграл ~~06 расходится.
Теорема доказана. Итак, для кратных интегралов сходимость несобственного интеграла ~ ~06 эквивалентна его абсолютной сходимостн. У и р а ж н е и и с Уи Заменив в определении вратного несобственного интеграла всюду отнрытые множества областями (в частности, рассматривая толька монотонно исчерпывающие данную область последовательности, состоящие тольно из нубируемых областей), ноназаттч но и при таком чболсе узком» определении вратного несобственного интеграла сохраняется теорема 3. ф 49. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 49.1. Вычисление площадей и объемов Пусть 6 — кубируемое открытое множество в Е".
Как известно (см. п. 44.5), (49.1) Таким образом, с помощью и-кратного интеграла можно вычислять меру кубируемых множеств в и-мерном пространстве (площадь — в двумерном, объем — в трехмерном). Если н-кратный интеграл (49.1) можно свести в повторному (см. 5 45), то вычисление меры кубируемого множества 6 тнмерного пространства сведется к вычислению (и — 1) кратного интеграла. Пусть, например, 0 — открытое кубируемое множество в (и — 1)-мерном пространстве Е,"... х„= 1(хт, ..., х ~) — неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании 0 множества Е>, а 6 = (х =(х„..., х ): (хт, ..., ха н) ( ь), 0 ~ х„ч. )(х„..., х,,)) (таким образом, 6 является и-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции, рассмотренной нами в п.
32.1). Тогда ~(л» ..., «л ~) п|ез6= ) г(6=) Ю ) бх,==) )'(х„..., хи,)тЮ, т. е. и — 1 раз гпез6 = ) .„) 1'(х„..., ха,) г(х, .. т1ха !ЭО ф 49 Геаттрикеские и 4нтвикеские арилажеиав кратных интегралов Меру произвольн>ях (не обязательно кубируемых), в частности неограниченных, открытых множеств пространства Е", и > 2, можно вычислить с помощью несобствеяных интегралоь. Действи- тельно, пусть 6 — произвольное открытое мяожество в Ен и 6», й = 1, 2, ... — последовательность открытых кубируемых мно- >кеств, монотонно исчерпывающих множество 6 (см.
п. 48.1). Тогда, как известно (см. и. 31.2), Иш п>ез 6» = >вез 6. Но в силу (49,1) шез6 = ~>(6», поэтому >пез6= Иш ) с(6». По определеяию же кратного несобственного интеграла Иш ) с(6» =) д6. шез6= ) с(6, Таким образом, >» Е' () Рр > где интеграл и правой части понимается, вообще говоря (а именно, если 6 пе является кубируемой областью), как несобственный.
Остается ли>пь показать, что для любого открытого множества 6 всегда существует последовательность кубируемых множеств 6„, л = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающая заданное множество 6. Дока>кем это. Рассмотрил> последовательность кубильяжей Т», А = 1, 2, ..., пространства Е" (см. п. 44.1) и обозначим через Я» п-мерный открытый куб, определяемый следующим образом: 1~» — — ((х,): ~ х; ( ( А, ( = 1, 2, ..., и). Число кубов данного ранга А (см. п. 44.1), содержащихся в кубе Я», а следовательно, и подавно в пересечении 6 «(;>», конечно. Обозначим эти замкнутые кубы Р„..., Р;: Ртбт;, Р;с= 6Г'()», 1=1, 2, ..., /„.
Через 6 обозначим множество точек, состоящее из внутренних точек всех кубов Р„..., Р;„а также точек их грашшы, не являющихся точками прикосновения для дополнения к множеству точек этих кубов, т. е. не являющихся точками прикосновения для множества арка Физические приложении кротких иктегрохоа 161 Например, в случае, изображенном на рис. 158, множество 6 состоит из двух квадратов Р, н Р, и интервала, получающегося отбрасыванием вершин этих квадратов из их общего ребра. Множества 6„, й = 1, 2, ..., и являются открытыми кубируемымн множествамн, образующими последовательность, монотонно исчерпывающую данное открытое множество 6, Рис.
15В У и р а ж и е и и е 1. Доказать, что построенная последовательность бм гг = 1, 2, ..., действительно образует последовательность кубируемык мьюжеств, монотонно исчерпывающую данное множество О. 49.2. Физические приложения кратных интегралов С помощью кратных интегралов можно вычислять различные физические величины: массу и заряд тела, центр тяжести, момент инерции, поток жидкости, потенциал тела и т.
п. Найдем в качестве примера центр тяжести плоской фигуры. Пусть в некоторой квадрируемой области 6 распределена некоторая масса, вообще говоря, с переменной плотностью р(х, у), т.е. на замыкании 6 области 6 задана некоторая неотрицательная и непрерывная функция р(х, у). Область 6 с распределенной в ней массой будези называть фигурой Б, а величину М =- ~ ~ р (х, у) йх ду о (49.2) — ее массой. Если р(х, у) не тождественный ноль, то М ь О. Определим и найдем центр тяжести фигуры 5.
Возьмем какое- либо разбиение т = (6), г = 1, 2, ..., и, области 6 (см. п. 44.3). Область 6; с распределенной в ней массой плотности р(х, у), (х, у) го 6,, назовем фигурой 5о Выберем по некоторой точке ($ь т1,-) ~6о Величину пи, = РДп т),)пзез 6; назовем приближенным значением массы фигуры Я, (естественность такого названия следует из формулы (49.2)). Велищщы же гпД; и т;гп назовем приблнженнымн значениями моментов фигуры Бь 1 = 1, 2, ..., й, сгютветствегпноотносительно координатных осей Оу и Ох (естестгенность этого названия следует из того, что моментамп материальной точки массы гп с координатамн (х, у) относительно осей Ох и Оу называются величины глу н хчх, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
