kudryavtsev2 (947414), страница 26
Текст из файла (страница 26)
"аддитивность интеграла по множествам, линейность интеграла, интегрирование неравенств, сведение кратного интеграла к повторному, формулу замены переменного н др. последовательносп! ью, лгонстонно исчерпываюигей открытое множе- ство б, если 1) бь с- Оп.е „А =-- 1, 2, ...; 2) () 6„=6. я=! Определение 2. Пусть на открьипом множестве 6 задана функция ) (ограниченная или неограниченная) и пусть эта функ- ция 1" ингиегрируема по Риману на любом кубируелгом опгкры- пгол! множестве П„ггигколг, что Ос:б. Тогда функция ( называется интегрируемой в несобственном смысле на открыгпим множестве 6, если для любой последовательности овгкрыпгых кубируемых лгножеств б, й=-1, 2..., лгонотонно исчерпываюи(ей мнохсество 6, сугце- спгвует предел 1гп! ~гйбю не завистций от выбора указанной после- довательности б, й = — 1, 2, ....
Зтот предел называется несобспгеенным инпгегрплол! ст функции 1 пс сткрыпюму множеыпву 6 и обозначается ) гс(б, или более подробно Ц ) 1(хг, х„..., х„) г1х, йхе ... г(х„. о Таким образом, а 48. 11есобственные кратные ттнтеврплы 1СО Например, если х = г(и) — непрерывно дифференцируемое взаимно однозначное отображение открытого множества Пс:Е",, иа открытое множество 6с:Е'„' и якобиаи .т"(и) этого отображения нигде не обращается в ноль на О, то ~1(х) с(6 = ) 1(Р(и)111.Цтт) ~ с(6.
Доказать это можно точно так же, как доказана теорема 2' в п. 46.2; следует только вместо полной аддитивности интеграла использовать определение (48.1). Используя аддитивность несобственного кратного интеграла, определение (48.1) можно переписать в другом эквивалентном виде. Замечая, что для кубнруемого мнонсества Г т.: 6, справедливо ра- венство (48.2) можно сказать, что интеграл ~)с(6 сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности кубируемых множеатв 6„, и = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество 6, 11гп ) )с((6'~6п) =О. (48.3) У п р а ж н е н и е 1. Доказать формулу (48.ат; в частности, иоказать, что интегралы ) (аб и ~то(0 ~Г) одновременно сходятся нли расходятся.
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций для любой монотонно исчерттьюаюи(ей множество 6 последовательнопти кубируемых множеств 6„, я = 1, 2, .... В последнем случае пишут ) Г'й6=+ ос. До к аз а тел ьст во. Очевидно, теорема будет доказана, если показать, что для любой монотонно исчерпывающей область 6 Теорема 1. Пусть утупят(ия 1' неотрттт(ательна на открыптм мновкесптве 6с:Е". Тогда либо ттттункцтит 1" интегрируема (в несобственнолт слттлсле) либо 11~тт 1(д6а=+ ~ то.г Нееойттеенные интегралы от неотрицательных траттецеа 1а! последовательности кубнруеьтых множеств 6„, /г = 1, 2, существует конечный или бесконечный предел Б 1 ~/е/6„ е оо' И ') / г/6 == /,.
Пусть, теперь Р„, /г = 1, 2, ... — какая-либо другая последовательность кубируемых множеств, монотонно исчерпывающая открытое множество 6. В силу доказанного выше существует конечный или бесконечный предел Игп 1 / ЙЭ„=- /е. е-ео ' Покажем, что /,==/е (48.4) Для любого фиксированного элемента 6 первой последовательности существует номер /г, = /ге(й), такой, что 6„~ Ое,. (48.5) Это следует из того, что открытое множестно 6, будучи кубируемым, является и ограниченным, поэтому б„есть ограниченное замкнутое множество, и существование номера /г„для которого имеет место включение (48.5), следует из леммы 3 п.
31.2. В силу же условия / ) 0 из (48.5) вьггекает, что ) /86„< ) /8Ое., ~/Ю,. < /„ но, очевидно, поэтому прп любом /г=1, 2, ... ~/86и </,. и этот предел не зависит ог выбора указанной последовательности. Пусть 6то /1=1, 2, „— последовательность кубируемых множеств, монотонно исчерпывающая открытое ьшожество 6. Тогда, согласно определению такой последовательности, 6е с: бе+~, /г=1, 2„..., а так как /~~0, то ~ /т/6а < ) /т/6е+м /г = 1, 2, ...
и, следовательно, всегда сучнествует конечный или бесконечный предел 4 тб )/есобственные кратные интеграла 162 Переходя в этом неравенстве к пределу при й- со, получим /т е /е. Подобным же образом доказывается и неравенство 1,> 1,, Тем самым равенство (48.5), а вместе с ним и теорема доказаны. П р и м е р, Рассмотрим интеграл 1 = ~ ~ е — "' — у* с(х г/у. Положим бн = ((х, У):хе+ Уе</тн), /т = 1, 2, .... Эта последовательность является последовательностью квадрируемых множеств (и данном случае просто кругов), монотонно исчерпывающей всю плоскость Ен. Г!усть 1„= ~ ~ е — ' — У' с(х с(у. ое Перейдем к полярным координатам: тм А 1„= — Де "гт(гоар = ~ с(тр~е — "*т дг= 2п — ' — ~ =п(1 — е — е*).
2 )о а, о о Отсюда, согласно определению (48. 1), (!тп /н (48,6) Найденное значение интеграла / легко позволяет яайти величину интеграла и — л' с(х .1 называемого и н те г р ил ом П у а с со н ае) и часто встречаю- щегося в приложениях. Действительно, ет=~( е). Поэтому из (48.6) сразу получаем сс е — '0х= угп. ") С. Г))нисон ()76! — (840) — фрнннунскнй иатеынтик и физик.
4В.« Не«иве«генные интегралы от нептрицательных функций 1.3 (,,а+ +.). х -!.... +х„<! (48.8) Первый интеграл берется по внешности единичного шара; второй — по его внутренности. Дг!я исследования этих интегралов удобно ввести сферические координаты р, трн ..., тр, в и-мерном пространстве. Они вводятся по формулам х! — р соэ Ч!х —. ! сов Ч!х — 2 хх=рсоз~ре ! соэтрх г ... соз ~рх соз ~р„ сов тр з!пито х, = р соз ! ы, соз тре е ... соз трх ми тр„ (48.9) х,=рсоэть, ! ...
созтр!э!птр! х„=- р э!и тр„ где О < р <' + оо, О < (р! < 2п, — —" < ~р! < — ', ! = 2, 3, ..., п — 1. С помощью этих формул декартовым коордттатам х„..., х„ гочки пространства сопоставляются сферические координаты э, тр„..., тьн „и обратно. При этом следует иметь в виду.
по, покобно полярным координатам на плоскости, здесь пе суитествует Теорема 2 (признак сравнения). Пусть в открытом множестве б выполняюп!ся неравенства О <((х) <д(х), х ~ б, тогда из сходимостпи интеграла ~д(х)т(б следует сходилтость интеграла ) )(х) дб, а из расходимости интпеграла ) )(х) дб следует расходал!ость интеграла ) у(х) дб. Эта теорема доказывается аналогично подобной теореме в одномерном случае (см.
п. 33.3 и п. 34.3). В качестве примеров и эталонов для сравнения с другими интегралами рассмотрим интегралы (48.7) «т+ ....!.х > ! б 4В. Несобственные крптные ннтегрплег )54 полного взаимно однозначного соответствия между множествами П ЧИСЕЛ (Х„..., Хн) И (Р, )Р„..., СР» 2). Отме')нм, что тг 2 Р= У'Х-1+ ... +Хп. Элементарнымн, по несколько громоздкими вычислениями, которые пе будем здесь приводить, можно показать, что якобиан этого преобразования имеет внд '1 '2 — 4 рп — 1 СС)211 СОЗ2 Ч) СОЗп — 21) Положим для краткости Ф()рвг " )р» — 1) =сов срвсоз ч)а ... Соуп срп 1 ° Легко убедиться, по 2» 2 2 с= ~ ~."~ гр()р ... срп.
))Бает ... с(ср„) Ое). Исследуем теперь сходимость интеграла (48.7). В качестве последовательности кубнрусмых множеств 6к, )г = 1, 2,, монотонно исчерпывающей внешность единичного шара (), возьмем последовательность множеств ба = ~х = (р, сры ..., )р»,): 1 + — „(р с' А~, й =- 1, 2, .... ! Перейдем к сг)ернческим координатам: пх) ... Вх„ - ~(р'" .')' р' ' "1'()рт, ", ~рн-1)с(рсйр) "сйрн 1 —— ') Это следует па тато Факта, что если в кубируемой области 6 4)ункппя 1 непрерывна и неотрщ)ательна и если существует точка х~ ) Ч б та(о) кая, что 1(хго)) > О, то ) г)б > О. Действнтелыю, ныбереи какое-либо т,> О так, чтобы 1(хьо))> ч > О тогда существует 6 > О чакан, что для всех х ГО= — О (х)о) ь) выполняется неравенство 1(х) > ч и ) 11)6 л ) ) г)0 > > и )пеа О > О.
4В.З. Негобгтзенные интеграла 4тункнна, неннющох знак =с 1 р' — ' г(р. '+т, Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (48.7) свелся к сходнмости интеграла ) р" — ' ос(р, который, как известно (см. ! п.34.3), сходится при и — 1 — а ( — 1, т. е. при а ) п, н расхо- дится прн а ( и. Итак, доказана следующая лемма. Лемма 1.
Интеграл (48.7) сходи!пса, если а больше разхтерно- сти простпранства, и расходи!пол в противном случае. Рассмотрим теперь интеграл (48.8). Полагая ! ! ! б„= (х =(р, тр„..., трк !): — (р(1 — ), 1 =3, 4, ..., )()т'хт+ + хг) получим !— Ф г 2 ~ рл — 1 — а т1! (тр !р )т(рДтр Дтр ! О н н ь 2 2 ! !— =с ~ рн — '- т(р.
! Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (48.8) свелся к сходимости интеграла ~р" ' "г(р. Этот интеграл, как известно, о сходится, если п — 1 — а ) — 1, т. е. если а ( и, и расходится в противном случае. Полученный результат сформулируем снова в виде леммы. Лемма 2.
Интеграл (48.8) сходится, если а меньше раззтерноапи пространства, и расходился в пропмюном случае. Подобно одномерному случаю (см. п. 33.3 и и. 34.3) с полтощью интегралов (48.7) и (48.8) можно сформулировать критерии сходи- мости несобственных кратных интегралов, однако мы не будем на атом подробно останавливаться. 48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак Определение 3. Иесобстпвенныт1 интеграл )1т(О нагьь вается абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ~ ) 1" ~ г(О. 4 48. Негобгтаенные нрагныг онтегралы Приведем одно необходимое и достаточное условие абсолютной сходимостн интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
