kudryavtsev2 (947414), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть теперь А ~б, В ~б, А — некоторая кривая, соединяющая в 6 точки А и В и пусть х=х(г), у=у(с), Рис. 15« а < с < Ь вЂ” ее представление и, следовательно, А = (х(а), у(а)), В = (х(Ь), у(Ь)). Тогда имеем ь ) Рйх+бйу =) (Р[х(г), у(У)[х'(1)+(Э[х(Г), у(Г)[у'(1)) йт лв = ~ и, йс = и[х(Ь), у(Ь)[ — и[к(а), у(а)[=и(В) — и(А), и т. е. формула (47.29) также доказана.
Т р ет и й ш а г: 3 — » 1. Это утверждение сразу следует нз формулы (47.29). Лействительно, для любого замкнутого контура у его начальная точка совпадает с конечной, поэтому в силу (47.29) ) Р Нх+ Я йу = и (А) — и (А) = О. Теорема доказана. Заметим, что, хотя эта теорема и дает необходимые н достаточные условия независимости криволинейного интеграла ~Рйх+ Яйу от пути, однако эти условия трудно фактически проверяемы.
Если сузить класс рассматриваемых областей, то можно получить существенно более простой и эффективный критерий. Введем следующее определение. Определение 8. Пмхкая область 6 называется односвязной, если, какое бы ни был простой контур ус:6, ограниченная область Г, граниией которой является контур т, содержится в б. Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр», Круг является примером односвязной области, круговое кольцо — неодносвязпой (рис.
154). Теорема 4. Пусть с[7ункг[ии Р(х, у) и 0(х, у) непрерывны вместе со своими частными производными — и —.— в односвяздр дЯ ду дх й 47. Криволинейные инте»валы 142 ной области 6. Тогда каждое из трех условии 1, К и д теоремы 3 эквивалентно следующему условшо: 4. — = — в6. дР вО ' ау=в« Доказательство. Применим схему Утверждения 1 -«- 2 -~ 3 уже доказаны.
Докажем 3 «- 4 н 4 — ».1. П е р в ы й ш а г: 3 — »- 4. Если в 6 существует функция ди и=и(х, у), такая, что да =Рдх+Яду, т. е. такая, что — „= Р, — =Я, то (см. п. 21.1) -'=.-~.-')=.—:(В)==.. следовательно, условие 4 выполнено. Заметим, что, как зто видно из приведенного доказательства, утверждение 3 «- 4 справедливо для любого открытого множества (в частности, без предположения одно- связности), В т о р о й ш а г: 4 -»- 1, Заметим предварительно, что если вы- полнено условие 4, т. е. дЯ дР— — — =О, дх ду сели у — простой замкнутый контур, лежащий в 6, н à — ограна- ченная область, границей которой является 7, то, применяя формулу Грина (здесь используется односвязность области 6), получим ~ Р дх + 6 ду = Ц ~ — — — ) дх ду = О. г Если кривая у, лежащая в 6, имеет конечное число точек самопересечення, то последовательно для каждой ее «петли» у„, й = 1, 2, ..., в», являющейся уже простым замкнутым контуром, в силу доказанного имеем ~ Р дх+ Я ду =- О, т„ 478 Интегралн.
нг зав«тсв««)ив от пути интегрирования откуда следует, что и для всей кривой у ) Р г(х+ () ду = О. (47. 33) 1пп ~ Р дх + Я ду = ) Р ах + ф ду. (47.34) «, т До к а з а тел ь с т в о. Носитель кривойу является, очевидно, ограниченным замкнутым множеством. Обозначим его для простоты также через у. Поскольку множество у не пересекается с замкнутым множеством Е,т'~б, то расстояние между ними больше нуля (см. лемму 4 п.
18.2). Пусть т) — какое-либо число, такое, что р (7, Е,„', б) ~ х) ) О. *) Для конечной области, ограниченной конечнозвеиной ломаной, воэможность применения к ней формулы Грина следует из того, что такую область можно разбить на треугольники. поторые, очевидно, являются элементарнымн относительно обеих координатных осей областямн.
Следовательно, в этом случае выполняются предпосылки теоремы 1 п. 47.3. *в) Такая ломаная Х называется вписанной в кривую т ломаной, соотввтствуюи)ей разбиению т отрезка (а, У). Если «не для некоторой последовательности ломаных (Х ) выполняется условие 6, О прн и пв. то будем гово«в и рить, что авенья этих лол«аных стремятвя к нулю прн и в«. Переходи к доказательству утверждения 4 -«- 1 в общем случае, заметим прежде всего, что рассмотренным приемом равенство (47.33) доказывается и для случая, когда у является замкнутой конечнозвенной ломаной.
С геометрической точки зрения отличие состоит лишь в том, что самопересечение конечнозвенной ломаной может состоять не только из конечного числа точек, но и конечного числа отрезковв). Любая же замкнутая кусочно-гладкая кривая у, лежащая в 6, может быть сколь угодно точно аппроксимирована замкнутыми конечнозвенными ломаными, поэтому предельным переходом равенство (47.33) может быть получено и для любой замкнутой кривой из б. Для того чтобы это показать, докажем следующую лемму. Лемма 7.
Пусть Функции Р(х, у) и )',)1х. у) непрерывны в области б. у — гладкая кривая, лежащая в б. х=х(1), у=у(1), а <1 < (),— ее представление, е=(1))т о' — разбиение отрезка )а, Ц, )), — ломаная с вершинами в точках (х (1«), у(1т)).
«'=0,1, ...го*'. Тогда З 17. Крчвохииейыые интеграла 144 и, = ~~, Р, бх, = ~ ~ Р, г[х. ~ и, и. (4?.37) Обозначая через 1=, длину ломаной Х„ через 5 — длину кривой у, а через в(6; Р) — модуль непрерывности функции Р(х, у) на ограни- ченном замкнутом множестве у„, из (47.36) и (47.37) получим Обозначим через у„совокупность всех точек плоскости, находящихся от у на расстоянии. не большем чем т).
Ь)ножество 7 ограничено, замкнуто (см. там же лемму 6) и узс:6. В силу равномерной непрерывности фуннций х(1)'и у(1) на отрез- ке [а, Ы существует такое число 6„) О, что для любых двух точек 1'~[а, Ы и 1" ~[а, Ь[, удовлетворяющих условию [1' — 1" [ ~ 6„ выполняется неравенство р(М', М") —. [?[х(1") — х(1'И'+[у(1") — у(1 ))'~Ч, где М' = (х(1"), у(1')), М" = (х(1"), у(1")), Все точки отрезна с концами в точках М' и М", очевидно, также находятся от точки М' на расстоянии, не большем чем ть и потому лежат в у и, следова- тельно, в 6. Поэтому, если мелносгь 6, разбиения т отрезка [а, Ь[ такова, что 6, ( 6, то все точки ломаной Х, лежат в 6, и для таких разбиений т имеет смысл рассматривать интеграл ~Рдх+ 1,"ч[у. Рассмотрим интегралы ) Р дх и ) Р дх.
Положим х,.=х(1,), у,.=у(1,.), Р,=Р(х,, у), Лх,=х,— хю и 1=[,2, ...,1з о,= ~ Р,-йхе г ! Как известно (см. и. 47.2, свойство 4), [пп о,= ~ Р дх, (47.35) Пусть, далее, М,. (х,, у;) — вершины ломаной Х., тогда ) Рдх= ~я~~ ~) Рдх. (47.36) ,и, ~м; С другой стороны, заметим, что (употребляя обозначение п. 47.2) Нх= ~ созя Й=[М; ~М;[сози=Лхн и; , ли и; ', и, поэтому 47.8. Интегрпхвь не впвиееткие ит пути интегрирование <ло(б-;, Р)~(Лх,( <ол(б,; Р)1., <нл(б„; Р)л. Отсюда 11гп ~ ') Рт(х — о,) =-О, 6 о и, значит, в силу (47.35) 1пп ~Ре(х= ) Рг(х.
в -о„ (47.38) Лналогично доказывается и равенство Вгп ) Ят(у = ) 1,1 т(у. Лт (47.39) ') Р т(х+Я г(у =-О. л Но, согласно лемме, 11гп ~ Р 0х+ Я т(у = ~ Р г(х+ 14 о(у, 1 =- 1,..., гг, е. - о т т. 7 l и, следовательно, 111п ) Р т(х + Яг(у —..— ) Р т(х+()г(у, л -ол Ъ поэтому ') Рт(х+Яе(у=О. 1 Теорема доказана.
Из (47.38) и (47.39) непосредственно и следует утверждение леммы, т. е. формула (47.34). Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Утверждение, аналогичное лемме, справедливо и для криволинейных интегралов в пространстве, причем доказательство пространственного случая проводится по той же схеме, что и плоского. Вернемся теперь к доказательству теоремы. Пусть у — кусочно- гладкая замкнутая кривая в области 6, заданная некоторым представлением гЯ, а < 4 < Ь, и являющаяся объединением гладких кривых у,, ..., ун. Впишем в каждую кривую уь 1 = 1, 2, ..., К ломаную ).т.
Объединение всех ломаных Хп 1 = 1, 2, ..., А образует замкнутую ломаную Х, соответствующую некоторому разбиению т отрезка (а, Ы. В силу доказанного й 47. Крняялинейнтла ннтеералм В заключение этого пункта отметим, что в теореме 4 1ребование односвязности рассматриваемой области является существенным, его нельзя отбросить. Подтвердим это примером. Пример. Пусть Р(х, у) =- — - — —,, 1) (х, у) = —.—.
у л '" -1. у' ' ' х» + У« Легко проверить, что (47.40) для всех точек плоскости, исключая начало координат (О, 0). Это следует, например, из того, что т((агс1д У, )= у„, ~ л у, х'+у»)0. (47.41) Таким образом, в этом случае за область б можно взять вск. плоскость с «выколотым» началом координат: 6 = Е'",,((О, О)). Облает ь б, очевидно, не односвязна. В качестве замкнутого контура возьмем единичную окружность у=з1п1, 0<1 <2п), уе = (х = соз 1 ю тогда Р е(х+ Я е(у = ~ У,л+.» У =- ~ е(1 = 2п. и т. о Таким образом, в этом случае условия (47.40) выполнены, но мы нашли замкнутый контур у,„по которому интеграл пе равен нулю.
Нетрудно убедиться, что вообще по л1обой окружности у, радиуса т с центром в начале координат (4?.42) ) Рг(х+Еду=2п. Далее, каков бы ни был простой кусочно-гладкий контур у, являющийся границей ограниченной области Г, содержащей'начало координат (в этом случае говорят, что контур у содержит внутри себя начало координат), для него также ~ Р е(х+ Я «1у = 2п. (47.43) Для доказательства этого возьмем окружность у, такого радиуса г, чтобы у,с:Г, тогда контуры у и у, не пересекаются. Соединим й ЕВ Несобственные кратные интегралы и(М)= ~Рс(х+Яду+2пи, и=О, ~ 1, 1-2 — каждый обход вокруг начала координат изменяет значение функции и(М) на величину -~2п в зависимости от направления обхода.
В данном случае в этом легко убедиться н непосредственно: из формулы (47.4!) следует, что ~ Р с(х+ О с(У = ~ ~ ., + 'а У = ~Лгс18 У ), и т где (Агс1й ьУ ) — некоторое фиксированное значение Агс18 —; у . о л ' поэтому сс(М)==Лгс1д ~~ Вдумчивый читатель заметил, что многие рассуждения, проведенные в этом примере, не зависят от конкретного вида функций Р и Я и являются справедливыми всегда, когда мы имеем дело с одной изолированной «особой точкой», т. е. точкой, в которой нарушается условие (47.40).
У п ражи си ив 2. Пусть Аи= — + —. Доказать формулу д'и д'и дх ду тле 6 — плоская область, лля которой справедлива формула Грина, т — ограничивающий ее контур, ч †единичн внещнян нормаль к контуру Т. 2 48. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 48.1. Основные определения Как и ранее, для однократных интегралов введем понятие несобственного кратного интеграла, т. е. кратного интеграла от функций, которые либо неограничены, либо определены на неограниченной области. Определение кратного несобственного интеграла сформулируем в таком виде, что опо будет охватывать оба указанных случая (ср. с п.
34.!). сгнрсдсление 7. Пустив Π— юглкрылке мноясество (ограниченное или неограниченное) в и-мернюлс пространстве Е', Последовси тельнюсть открьииых лсноахествба, )г =- 1„2, ..., будем называть 08Л Основные определения гля ) ) с(6=1пп ) 1" йбге (48.1) Если интеграл ))дб сугцесгпвуепг, то говорят также, что он сходится, а в противном случае — расход!!асса, Следует замегить, что в случае п =- 1 данное определение несобственного интеграла не эквивалентно определепнго несобственного интеграла от функции одного переменного, данного в эЗЗ и 34.
Это связано с тем, что в указанных параграфах мы в качестве множеств бь брали лищь интервалы, т. е. одномерные открытые кубируемые множества весьма специального вида. Поэтому введенное в настоящем параграфе понятие несобственного интеграла (48,1) будем применять только в случае и .ь 2, сохранив для случая п = — 1 прежнее понятие несобственного интеграла. Если открытое множество О кубируемо и функция ) интегрируема на О, то несобственный интеграл от функции ) совпадает с обычным интегралом Римана,— это следует из полной аддитивности интеграла Римана (см. п. 44.5). Определение (48.1) позволяет перенести на несобственные интегралы ряд свойств собственных интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
