kudryavtsev2 (947414), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из сказанного следует, что Г( является квадрируемым открытым множеством. Из взаимной однозначности отображения Е следует, что совокупность те=(Г;)',.='(" образует разбиение множества Г*. Оценим мелкос1ь разбиения тл. Пусть 6а — дяаметр квадрата ~/з ) ранга и )* очевидно, 6„= ---„- ) н М ( =-(х„ул) ~п Г;, М х =(хв, у ) (- Г,, вд.а Замена аерелленних в двукратном интеграм тогда существуют такие М, ~Г, и М, ~Ги что Е(М,) = М„ Е(Мг) = Мз, причем р(М„М,)< 6».
Следовательно, р(Мл>Мг) = )/(х,— х )'-1-(у,— у )г < устое(б», х)+сов(б».,у), (46 34) где го(б; х) и со(б; у) суть модули непрерывности функций х = х(и, о) я у = у(и, о) на ограниченном замкнутом множестве Г. В силу непрерывности этих функций на Г они равномерно непрерывйы, и поэтому (см. п. 19.5) 1!ш со(б»',х) = 1!гп со(6»',у) = О. Рис. Их Из (46.34) для диаметра г((ГД получаем 11 (1 л) = зир р (М ~> Мл) < 1> со~(6»' х)+ иЖ5», 'у), »р Сг, иге гл откуда в силу (46.35) 1инс((Г,) = О (1' = 1,2, ...,1»), и, следовательно, 11тб '=О.
(46.36) » оо Составим теперь интегральную сумму для функцииу, отобрав из элементов разбиения т» только те, замыкания которых не пересекаются с границей Г*. Это, очевидно, имеет место тогда и только тогда, когда элемент разбиения т» является образом целого квадрата ранга й, содержащегося в Г (рис. 142). В каче- тве точки Яо о,) ~ Г; возьмем образ одной из вершин (и„о,) указанного квадрата; Вл = х(и,, ог), л)л = У(ио о,).
4 Е6, Замена переменных е кратном интеграле ыв Пусть Ф 1(5„т),) вез Гт та т (46.38) (штрих у знака суммы означает, по суммирование распространяется толькоиа те индексы г, для которых Г, нс пересекаются с границей). Как известно (см. теорему 8 в п. 44.4)„ в силу выполнения условия (46.36) Ц у) ) а аа (46.39) С другой стороны, для Г; =Е(Г,), для которых Г, является квадратом, согласно теореме 1 предыдущего пункта, гпез 1'г =1,/(ив от) ~ п|ез Гт+е, п1ез Г,, где е,=е,(и,,от 6 ) равномерно на Гстремигся к нулю при /г-~-оа.
Подставляя (46.37) и (46.40) в (46.38), получаем (46.40) о'. = )'„ /(х(и„от), у(и„о,)) ~,/(ц, о,)1гпез Г,+ + ле ег/(х(и„от), у(иь ог)) вез Гн г (46. 41) Суммирование в этих суммах распространено по всем индексам /, для которых Г, не пересекается с границей Г. Для первой суммы, стоящей в правой части равенства (46.4!), в силу условия (46.33) имеем (см. теорему 8 в п. 44.4) 1пп ~'/(х(и„от), у(иг, ог)1 ~./(и„о,) ~ тез Гт= а ао = Ц/(х(и, о), у(и, о)1 1./(и, о)1агг ао.
1 Что же касается второй суммы„то она стремится к нулю прп /г -и аа. Действительно, в силу непрерывности функции /1х(и, о), р(и, о)1 на ограниченном замкнутом множестве Г она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная С «О, что 1/(х(и, о), у(и, о)1 ! = С, (и, о) гс Г, Если фикснропано произвольное е «О, то в силу равномерного ва Г стрсмлеппа е, к нулю прп /г-+ со можно зьгбрать /г, Еб.2. Замена переменных в двукратном интеграле 113 так, чтобы при А> сс выполнялось неравенство ]а„]~ —— Ставр для всех (ии о,) ~ Г„Г, ~ Г; тогда ~Ъ ~,)] ( „,), у(ис,,)] Г,] ~ т ]е,] ]1[х(и„о,), у(и„о,)]]спев Г, ( ( —, '~' щезГ, (е. спеси .с с с Итак, И тп о * = О с ]х (и, о), у (и, о)] ],) (и, о) ] ди с(о. (46.42) А-»»»и Из (46.39) и (46.42) и следует непосредственно формула (46.32).
Теорема доказана. Доссазассная теорема легко обобщается и на несколько более общий случай, когда якобиан отображсния (46.1) может обращаться в воль на границе области интегрирования, а само отображение быть не взаимно однозначным на этой границе. Точнее, справедлива следующая теорема. Теорема 2'. Пусть 6 и С* — открытые кубируемые множества: С сЕ~„С сЕ~„, и х.: х(и, о), у=у(и, о) — непрерьиное отображение 6 на 6*, взаилсно однозначно и непрерывно дифферент(ируемо отображающее 6 на 6", пусть д(х, р) якобиан ' этого отображения не обращается в ноль д(н, в) на 6 и непрерывно продолжаем на 6. Тогда если с]тункиия 1(х, у) непрерывна на множесосве 6в, то Ц ~(х, у) ах с(у = П ) ]х(и, о), у(сс, о)] ~ ( ' ~~~ ~диас.
Д о к а з а те л ьс т во. Пусть Гь, сг = 1, 2...— последовательность ограниченных открытых квадрируемых множеств, граница которых состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, и Гс~С, ГнсГе+с, (] Гн= С. л-с За множество Г„можно в ять, например, множество внутренних точек множества точек кубов ранга й, содержащихся $!4 4 вб. Замена иерем»нных в кратнвл~ интеграле в б, т. е. множество внутренних точек множества 3»(б) (см. п. 44.1). Пусть Г„= г(Г»), тогда Г» также является ограниченным открытым квадрируемым множеством, Г» = Р(Г») сб*, Г»с Г»+~ и () Г» = бе. »-1 Из выполнения этих условий следует, что (см.
теорему 2 п. 31.2) йгп гпез 1'„= тпез б, 11гп п|ез Г» = тпез б*. (46.43) » еа » «т Для каждого из множеств Г„, 1=1, 2, ..., выполняются все условия теоремы 2 этого пункта, поэтому ) ) 1(х, у) с(х г(у = Ц Г(х(и, и), у(и, о)1 ~ ' у) ~бйг г(п. (46.44) * и» г» Функция 1(х, у), как непрерывная на б* функция, интегрн- ~ д(х,у)~ руема на б*, а функция у(х(и,о), у(и, о)1~ 'У ~ по тем же ) д(и, и)) соображениям интегрнруема*> на б. Поэтому в силу выполнения условий (46.43) получаем (см. и. 44.5): 1)п1 Ц )(х, у)г(хг(у = ) ) у(х, у)с(хе(у, г» с* )нп О11х(Р~ О), у(п, ю)1~ д ) сйцс(0 = »-" г» = ) ) Р[х(гг, и), у(п, о)1) д ' ) ~с(и»(п. (46.45) Переходя к пределу при й — са в равенстве (46.44), в силу формул (46.45) мы и получим искомую формулу замены переменного в интеграле. Теорема доказана. Замена переменных в кратных интегралах часто существенно упрощает исследование и вычисление данного интеграла.
При этом, в отличие от однократного интеграла, нередко целью замены переменного является не упрощение вида подынтегральной функции, а »~ Напомним, чтв в силу ус»авиа тевремы зта функция непрерывно првдвлжаема с множества 6 на множество 6, причем значение првхолженноа функции на границе 6 не влияет на значение интеграла (см. п. 44.4), 45 2.
Замена аерел~еннмк в двукратном интеграле Ыо упрощение вида области интегрирования, быть может, при одновременном определенном усложнении подьппегральной функции. П р и м е р. Вычислить интеграл И соз и угх'+ у' г(х г(у. к'+ук<! Решение. Введем новые переменные г, ф по формулам (46 46) у = гз(п ф. Тогда д(„1 '1созф — Гз(пф к,у ~ = г. д(е. ле) 15(пф гсозф~ Рис.
лоан Отображение (46.46) отображает прямоугольник 0=((г, ф):О<г<1, — п<ф<п) взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и с якобнаном, не равным нулю, на круг К = Нх, у): х'+ у" < 1), из которого выброшен радиус, лежащий на отрицательной части оси Ох, т. е. на множество (рис. 143) 6* = К', ((х, у): х < О, у = О). Замкнутый же прямоугольник 6 при отображении (46.46) отображается на замкнутый круг 6~ = К причем на границе кл это отображение уже не взаимно однозначно.
Якобиан отображения (46.46) непрерывен на О, причем в одной точке границы, в начале координат, он обращается в ноль. Все условия, накладываемые на отображение (46.1) в теореме 2' этого пункта выполняются для отображения (46.46), поэтому можно применить формулу замены переменного в интеграле: Ц Сазн У'Хо+У'г(Хг(У= Ц ГСОзнег)Гг(ф= к'+у <~ о<к<~ — <т<к ек лтипнтн 1 е . 1 4 = ~ г(ф~гсозпгг(г = 2п — ~ — — ) 5(нпгу ~о 'к ' о о Формула (46.32) замены переменного в интеграле может быть получена и для более общего случая, в частности, когда якобиан лтображения обращается в ноль в области интегрирования, а интегрируемая функция имеет разрывы.
Если множества указанных точек Э 4о Замена нереаенных в кратное интеграле 1!8 имеют меру ноль и отображаются также в множестве л>еры ноль, причем эти множества разбивают области интегрирования 6 и 6е на конечное число открытых множеств, на каждом из которых интегрируемая функция продолжаема до непрерывной вплоть до границы функции, то формула (46.32) в этом случае непск редственно следует из доказанного выше.
46.3. Криволинейные координаты Формулы х= х(и, о), у = у (и, о) (46.47) Обратно, каждой паре (и, о) из рассматриваемого множества пар соответствует точка М~6, т. е. точка М есть функции пар (и, о): М = М(и, о), а поэтому ее декартовы координаты х и у также являкпся функциями указанных пар (и, о). Иначе говоря, справедливы формулы (46.47), задающие отображение, обратное отображению (46.43). Геометрическое место точек (х, у) ~6, удовлетворяющих условию и (х, у) = и, и соответственно о(х, у) = о„где и, и ое — некоторые фиксированные постоянные, называется координатными линиями в системе координат и, о.
Используя формулы (46.47), координатные линии можно записать в виде можно рассматривать не только как отображение, но и как переход от одной системы координат к другой, вообще говоря, криволинейной. Поясним прежде всего понятие криволинейной системы координат. Пусть 6 — некоторое открытое множество на плоскости Е„„и каждой точке М = (х, у) ~ 6, а значит, и каждой упорядоченной парс чисел (х, у), являющейся координатами точки М в выбранной прямоугольной системе координат, поставлена в соответствие пара чисел (и, о) таким образом, что разным точкам М, и Л, соответствуют разные пары (и„о,) и (им о,). В этом случае говорят, что на множестве 6 задана система координат и, о, при этом если точке М соответствует пара (и, о), то пишут М = (и, о). Каждая пара (и, о) является функцией точки М ~6, поэтому и каждый ее элемент и и о также является функцией точки М: и = и(М), о = о(М), или ее декартовых координат: и=и(х, у), о= о(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
