kudryavtsev2 (947414), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Любая сумма о,=о,(). ры1 ~(з) ~~та)= ~ )ф'1)гпез6,, г=1 где ( 6„1=1. 2 " )о* назыается интегральной суммой Римана функции 1. Определение 10. функция Г называепюя ингпегрируемой по Разгону на кубируемом огпкрыпюм множестве 6, если существует конечный предел (44. 19) !пп о,. а. -о Этот предел называегася кратным интегралом Римана огп функции 1 по множеству 6 (или, чгпо то же, по множеспюу 6) и обозначаепюл ) 1(х)й6а> или Д ...
)1(хм,.„ха)йх, ...йх„ о Ю Обозначение аргумента можно опускать: ))дб. 84 Э 44. /Срогиые интегралы (в этих записях вместо 6 птиется иногда 6). ю14ножество 6 (а также и 6) ь зпюм стучие называется областью интпегрирования. Предел (44.19) встречается впервые (ср. с п. 27.1) и требует поэтому точного определения. Это определение формулируется следующим образом. Определение 11. Чис.то А называется инпюегралом от функцюююю1 по кубируемолюу открытому множеству 6, если, какова бы ю н) ни была последовательность Разбиений т = (6юю"') о множества 6, тикая, что б, -+-О при т-ь оо, и каковы бы ни были точки и ны) — Оию В'„,'" ~6ю, ю'„=1,2,...,воюю; т=1,2,..., справедливо равенство У и р а ж я е и н е 7.
Сфорююулнроаать определение нратного интеграла на наина е н б. 44.4. Существование кратного интеграла Теорема 5. Пусть 6 — открытое кубируемое множество. Если функция )' определена на множестве 6 и интегрируема на не.н, то она ограничена ни 6. Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству подобной теоремы в одномерном случае (см. п.
27.4). Дальше в этом пункте предполагается, что функпия,' определена и ограничена на замыкании некоторого открытого кубируемого множества 6~Е". При этих предположениях, как и в одномерном случае, имеет смысл рассматривать верхние 5. и н иж н не з-, с у м м ы Д а р б у, определяемые следующим образом. Определение 12. Пусть т=- (6,),'.=юп — разбиение множества 6, т,= юп11(х) «сою Мю= зпр )(х), ю'=1, 2, ..., 1„.
«ебю Тогда суммью з. = ~~Р тю юпез 6и Ю- = ~ Л4, пюез 6ю. ю=! г =ю назывшопюся соответственно нижними и верхнилш суммами Дарбу. 44.4. Существование нратноео интеграла Суммы Дарбу зт и Я, связаны с интегральными суммами Римана очевидным неравенством з, <а,<5,. Как и в одномерном случае, з,, < 5,, для любых двух разбиений тт т! тт.
Теорема б. Для того чпюбы функе(ия ! была интегрируема по Риману на открытом кубируемом множестве 6, необходимо и достапючно, чтобы она была ограничена и чтобы !!п1 (5,— з,) =О. т,-о (44.20) При выполнении этих условий !нп Я, = )нп з. = ) 7 (х) с(6. о о о, о Условие (44.20) равносильно условию тт йш ~я~ ы (1; 6,) шез 6т = О, вт от (44.21) 5,— з, <ы(б,; !') шез6, гдето(б; !) — модул~ непрерывности функции 7. Из этой опенки в силу теоремы б сразу следует доказываемое утверждение. Докажем теперь вспомогательное угвержденне, полезное для дальнейшего.
где то(1; 6,) — колебание функе(ии 7" на з мыкают множества 6„ принадлежащего разбиению т = (6т) множества 6. Доказательство этой теоремы также вполне аналогично одномерному случаю (см п. 27.4). Теорема Т. Если функйяя ! определена и непрерывна на замыкании 6 открытого кубируемого множества 6 ~ Е", то она интегрируема по Рилюну на этом множестве. Действительно, из куГ>нруемости открытого множества 6 следует его ограниченность; функция 7, будучи непрерывной на ограниченном замкнутом множестве 6, является ограниченной и равномерно непрерывной на 6. Дальнейшее доказательство н в этом случае аналогично одномерному случаю (см.
п. 27.5): легко получается оценка вв й 44. Кратные ынтеграгм Лемма 5. Пусть 6 — открытое кубиругмое множесгнво, Ес=.6, шезЕ=О, т=-(6!),'.='!' — разбиение 6. Тогда, если 6! — лгг влемснты 6! разбиения т, замыкания которыя пересекаются с Е, то !!ш глез () 6; = О. (44.22) г, е Доказательство. Зафиксируем некоторое е >О. В силу условия спев Е = О существуег -ранг !ь такой, что если 5! =Бе(Е) — совокупность точек кубов ранга )г, пересекающихся с Е, то (44„23) гпез Я» <.
—,. 2 ' Заметим, что, каков бы ни был ранг й' ~й, мера мнохгества точек кубов ранга й', пересекающихся с одним и тем же кубом ранга А и не содержащихся в нем, не превышает числа Действительно, указанное множество состоит нз 2н параллелепипедов ! высоты — с основанием, объем которого равен ! 10е' 1 й !ы — ! — + — „) .
Обозначим через ()! кубы ранга й, пересека!о- 10" 10е ) щиеся с Е; их конечное число, обозначим его через т, Выберем ранг й' так, чтобы (44.24) 10е '!1О 10е ) Ят Обозначим через Р4 множество точек всех кубов ранга !г', пересекающихся с Я (и том числе и содержащихся в нем). Очевидно, Р.— замкнутый куб, и в силу (44.24) шезР!(!певал+ е, 1=1, 2, ..., т.
/Л н Согласно определению, Юе =- () („'р Положим Р= () Рр Иа ! ! (44.23) н (44.25) имеем Ш Р$ гпез Р < Х гпезР ы' ~ и!ез9 + — = пезЕе+ — ч, е. у 2 н е! 2н — чинно и — 1-мерных граней ы.нерного купа. И.В. Существование кратного интеерала Заметим теперь, что любое множество В, которое имеет диаметр с((В)( —, и пересекзется с одним нз кубов Ят» целиком 1 1О* лежит в Р (рпс.
132), Возьхтем какое-либо разбиение т множества 6 мелкости б,( 1, . Тогда каждый элемент 6, = 6~ ~ т, 10 замыкание 6( которого пересекается с Е, очевидно, пересекается и с 8д (ибо Е ~ 8»)„откуда следует, что он целиком лежит в Р. Таким образом, () 6*«= Р. Замечая, что 6г попарно не пересекзются, имеем Х1пез6 =спев () 6';<и Р(., что и доказывает равенство (44.22). Рис.
182 Лемгла доказана. Эта лемма позволяет при рассмотрении интеграла как предела интегрзльных сумм Римана (44.!9), отбрасывать слагаемые, соответствующие элементам разбиения, пересекающимся с некоторым Сриксировзнпым множеством меры ноль, например, с границей кубируемого открытого множества, по которому производится интегрирование. Именно, справедлива следующая теорема. Теооема 8. Пусть 6 — оп1крытпое кубируемое множестпво в Ее Ес:6 щез Е = О т = (6Д~» 1ч — разбиение множеопеа 6.
Обозначим через 6, те влелеенты 6, разбиения ъ, замыкание котпорых пересекается с Е. Пусть функ»1ин ! определена и ограничена на замыкании 6 множества 6 и 5»~6о Положим о, Д) = ~, г" (в,) шез 6и ! о,Ц)= ~ ~(5,)щез6,; Г в первой сумме суммирование производится по всем индексам е=т', 2, ..., т„а во второй знак «'» означает, что суммирование производится только по тем(, для которых 6, + 6,. Тогда предел 1)п1 о, Ц)= ~)д6 е, а 4 44 Кратные интегралы сущеопвует спогда и только тоеда, когда существует предел !йн о,Ц). г,-о При атом, если последний предел сущестует, то он также равен ~(с!6. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим о-'.
(с) = )'., ((Ц) глез бс, где знак «*» у суммы означает, что суммирование производится только по тем индексам (, для которых бс = бс, тогда, очевидно, о, Д) = о,(~) -1- о, ф (44.28) В силу ограниченности на 6 функции г существует такая постоянная М ~ О, что ~!'(х)! (М для всех х ~ 6, поэтому ~ о",Д)~ < М~', псезбст поскольку, согласно лемме, !!сп Х спез6,*=0, е о с го 1цп о,=О. о В силу этого из равенства (44.28) сразу и следует, что суммы о,(С) и о,(!) одновременно имеют или не имеют предела при 8, -+ О, причем если эти пределы существуют, то они равны. Теорема доказана. Из теоремы 8 следует. что если функция ) определена н ограничена на замыкании 6 открытого множества 6, то изменение ее значений на множестве Ег:-(с меры ноль, в результате которого вновь получается ограниченная на 6 функция, не влияет ни на интегрируемость функции ), ни на значение ее интеграла, если он существует.
Это сразу следует из того. что при указанном изменении сумма о,(1) не меняется, а в силу теоремы 8, если ее предел при 8, — » 0 существует, то он равен интегралу) ~с!б, т. е. !пп о,(4") ==- ) с"с(б. е,-о ВЕ5. Свойства кратного интеграла 44.5. Свойства кратного интеграла 1. !7усть 6 — открытое кубируемое множество, тогда — ° дО =гнев 6. Действительно, в данном случае подынтегральпая функция тождественно равна единице; позтому, если т=(ОД',' — некоторое разбиение 6, то (см.
(44.14) ((6= йп ч~~~ гпезО(=п)езО. г, ос о), = ~~~(о(~,6(п) п)ез 6())+~, 'о) (~, Ос )) тез Ос(" (о,,) > = 2"„о) ((, 6(>") п)ез 6';", то, очевидно, о),(()(со,. Так как !!п)(о,=О, то !!(по>,(()=О, г . о г <» о отсюда н следует интегрируемость функции ! на множестве 6((' (см. (44.21)). 3 (аддитивность «нспеграла по множествам). Пусть 6, 6(н и О"' — открытые кубируемыв множества, 6(О~ 6, 6(~) = =6'~6<» и пусть функция С".
интегрируема на 6, тогда она инпсегрируема на 6')' и 6(~>, причем 1ЫО= 1УО'и+ 1УОьт). (44.27) 2. Пусть 6 и 6('> — кубируемые множества, 6(') с 6 и функция 1 интегрируема на 6, п>огда функция !" сснпсегрируема и на 6('>. Пусть 6+6<'> (в случае 6=6<') утверждение тривиально), тогда множество 6(т> =6",6 не пусто и является открытым (>) кубируемым множеством. Пусть т<') = ! 6(')! — разбиение множества 6<'> мелкости Ь,п> и т<г> = (6(сс'! — разбиение множества 6<') мелкости Ьт(з) (б.о), тогда т= (О!'), 6(с )! является разбиением множества 6 мелкости б,=б,<О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
