kudryavtsev2 (947414), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если з 44, Крвтине интегрови Действительно, в силу свойства 2 интегралы 1(ь16сн и ) гдбен существуют. Пусть т"'= 161") и тон =16Я вЂ” разбиения соответственно множеств 6' ' и 6' ', тогда т=. (6) ', 6', ~) является разбиением множества 6 и его мелкость б„=ивах ~йд1н Ьнп~. Пусть 5, ~ 61", ц ~ 6';и, о,и) = ~')(Ц)гпезб(", одгя Х)(ц )пзезб)~п о,= о„„+ одзи (44.28) В силу интегрируемости фупкпии 7 на множествах 6~ ', 6' ' и 6 11п1 о гп = ( )дб' ', 1йп о (з~= ~)дб 1нп о,= ~)с(б, ь,-о поэтому, переходя к пределу в равенство (44.28) при б-„-ьО, мы и получим (44.27). 4 (линейность интеграла). Пуопь функции 7" и д интегрируемы на сокрытом кубируемом множеаиве 6, пюгда для любых чисел ь и р ) (3~7+ру) дб=).
) рдб+р ) ддб. В частности, ~ 9+у) дб =- ~ )дб+ ~удб, ~ Цдб = Х ~ ~дб. 5. Пусть функции р и у интегрируемы на открытом кубируемом множестве 6, тогда и их произведение ру также ингпегруруемо на б. б. Пусть функции 1' и ц интегрируемы на открытом кубируемом множесппе б и / < д на О, тогда ) Иб < ) Фб. 7. Пусть функция 7 интегрируема на открь ом кубируемом множестве б, тогда и ~ 7 ~ интегрируема на 6.
При етом ! ~ Удб~ < ) 111дб. Доказательство свойств 4, 5, 6 и 7 проводится совершенно аналогично одномерному случаю (см. п. 28.1). Ела. Свойства кратного аитеграла 9! 8 (лгонотонность интеграла). Пусть 6 и à — кубируемые открытые множества, Гс:6, функция ~интегрируема на 0; тогда, если 1>Онаб, то Действительно, в силу свойства 3 интегралы )(с(Г и )1а(6~,Г) сущсствугот и Иш и!еабд=п!еаб">, И чо (44.29) И ) )дб,= ) )дб. (44.30) В силу интегрнруемости на множестве 6 функпия 1 ограничена на атом множестве, т. е. существует такая постоянная М ) О, что )г(к) ~ < М для всех я ~ б. Далее, б'~бд — также открытое кубируемое множество и в силу алдитивностй меры и!ез(0'ч бд) =теаб — тпевбд, Далее, в силу аддитивности интеграла по множествам (см. свойство 3) ) Иб — 1 )дб = ) И (6,6 ), БР!)0 — 1( 0.~ 4 И((б .6.) < < М шеи(6~,6д) =М(п!па 0 — п!еа бд) откуда " Это условие, в честности, выполииетси, если последовательность множеств ад типаев, что «д~бд+!, я=1, 2, ..., и () ад=-о (см.
теод 1 рему 2 в п. 21.2), 1)аб= ) )г!Г+) 13(6~,Г), в силу же свойства 6 имеем 1)д(6~,Г) > О. Поэтому ) 1с10= ) рг)Г + ) рд(0~,Г))~) 1аГ. 9 (полная аддитионосгпь инп!играла по множестеам). Пуси!ь функция ) интегрируема на кубируемом открыл!ол! множестве б и бд, й = 1, 2, ...,— последоеап!сльнюсть кубируелгых лгножеспы !покоя, что б„,с:б и у Лб.
Сведение кратного интеграла к повторному и, следовательно, в силу (44.29) 1цп ~ ~(д6 — ~(дбь~=0, что и доказывает равенство (44.30). 10 (теорема о среднем). Пусть Π— открытое крбируемое мно- ткеапво, функции ~ и у определены и ингт1егрирувмы на 6. Если функция р не меняет знака но 6 и т~/(х)<А4, х ~ 6, то существует такое число рн т(р(М, что С л е д с т в и е. Если функция 1' непрерывна на замыкании кубируемой области 6, то существует ашная точка $ ~ 6, что ~ ~т(6 = 1($) шез 6. Теорема о среднем доказывается совершенно аналогично одномерному случаю (см.
п. 28.2). Для получения следствия надо использовать теорему о промежуточных значениях непрерывной на замкнутой области функции (см. п. 19.4). ч 45. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОИТОРНОИУ 45.1. Основная теорема для двумерного случая Перейдем теперь к методам вычисления кратных интегралов. Будем проводить полные доказательства в основном для случая двух переменных„так как в обшем и-мерном случае дока. зснельство мож~т быль проведено с помошьк той же идеи, однако рассуждения примут более громоздкий н более трудно осюзрнмый вид. Определение 1.
Пусть нп плоскосп1и Ее фиксаротана прямо. угольная сисгпеми координат х, у ОбтхгасгиьС~Еч назыеагпюя алели н. тарной отпноситеттьно оси Оу, если ее граница состоит из грофиксе дерк непрерывных функций ч,(х) и ту(х), определенных нанекспюрох отрезке (а, б) и таких, гппо ц(х) < ~х), х~(а, б), а тактхе, быпи л~ожетт~ из отрезков прямых х =- а и х =- Ь (рнс, 133).
Аналогично определяется область, злекшнтарная относителык оси Ох. Теорема. Пусть 6 — злел~ентпарная относипмльно оси Ор пло. окая область, граница копюрой сосгпоит из графшать непрерывных 45ьи Основная теорема Вля Знумерного случая Ь ] Р(х) [[)(*,г)г* — [[] ((,н%.
о и т(х) Интеграл, стоящий в правой части формулы (45. [), называется повторным интегралом и обычно записывается в виде Ь 4(х) ] йх ] 1(х, у)йу. а т(х) Для доказательства теоремы понадобится следующая лемма. Лемлта г. В предположениях теоремы Функция р . )зз е (х) Р(х)= ) 1(х, у)йу (45.2) т (х] является непрерывной Функцией оп) х на отрезке [а, Ь]. Доказательство леммы. В силу непрерывности на ограниченном замкнутом множестве 6 функция 1 ограничена на 6, т. е.
существует такая постоянная М и О, что ]]'(х,у) ] < ))1, (х, у) ~ 6. Пусть теперь х ~ [а, Ь] и х+(зх ~ [а, Ь] фиксированы. Пусть с)(р=(р(х+()х) — (р(х), о)р=тр(х+с)х) — тр(х) и для определенности т[(х) — (р(х))~й(р > О'), с)ф > О, тогда Ф(х)+М 4 (х) ) — (и- [ )н-г *и — [((*и+ т (х) +(Гт т (х) *) если в(х) — )р(х) > О, то условие )р(х) — т(х) ж ьт всегда выполняется для всех достаточно малых йх. Если же т(х)==(Р(х), ат > О, аф и О.
то пронодимые нами рлссуждення только упрощаются, и в результате вместо нижеследующей оценки (45.4) для указанных точек х получается более простая оцсика: ] у(х+()х) — г (х) [ ц Мс(у+Ма)р, Функций(р(х) и ф(х), (р(х) < ф(х), х ~ [а, Ь] и, бить моя"ет отрезков прямых х = а и х = Ь. Если Функция 1(х, у) непрерывна на 6, то р 4Д Сведение кратного интегра.(а к аовторному ф (к) ф (х) +Дф )(х+Лх,у)((у+ ) )(х+Лх, у)(!у— т (к)+Д') ф (к) ( (х)+Дф ф [х) — )(,игр — ! )и,т)гтрк т(х) т (х)+Дф ф (х) т (х)+Дф < ) Ц(х+ Лх, у) — 1(х, у) ! ((у+ ) 1~(х, у) 1((у+ т оп+де т (х) ф (х)+Дф + ~ !Пх+Лх, у)!((у. (45.3) ф (к) Пределы интегрирования подобраны таким образом, чтобы подынтегральные функции были определены на отрезках, по которым производится интегрирование (рис. 134).
Обозначая через ы(6; )) модуль непрерывности функции 1" иа 6, получим х х+дх х ! г" (х + Лх) — г (х)! < Рие. (34 <ф) (Лх; )) !))) (х) — (!)(х) — Л(у!+МЛ(р+ )л4) 1.~ 1 -1-МЛ(!) < ы(Лх; () зпр !)!)(х) — (р(х))+ М Л())+МЛ(р. (45.4) ' <к<ф В силу непрерывности функций (у и (!) разность ф(х) — ())(х) ограничена и !пп Л(р = Игп Л))) = О. Дк О Дк 0 В силу же непрерывности ) на ограниченном замкнутом множестве О она и равномерно непрерывна на нем, следовательно, ! пп а) (Лх; 1) = О.
Дк о Таким образом, из (45.4) получаем равенство !пп !Р(х+Лх) — Р(х)~=О, дх а (45.5) что и означает непрерывность функции г в точке х. В случаях, когда Л(р > О, Л~," << О илн Л(р < О, Л(!) > О или ЛЧ) < О, Лф < О, доказательство аналогично, только пределы интегрирования у интегралов, стоящих в правой части неравенства 4Б.!. Огненная теорема для даумерного случая (45.3), надо выбирать несколько иначе, а именно всегда так, чтобы подынтегральные функции были определены на отрезках, по которым производится интегрирование.
Во всех этих случаях получается неравенство, получаю- у щееся из неравенства (45,3), 4(х) если в нем заменить Л(р и Лр() на (Л(р( и (Л)р(, откуда, очевидно, и следует (45.5). Леммр доказана. До к аз атея ь ство т е о р е м ы. Прежде всего заметим, что интеграл, стоящий (ага! в правой части равенства (45.1), 1 1 т. е.
интеграл и а Ь ь ь 1нк) ~ Р(х)((х= (((х ( ~(х, у)((у, рис. !8Б а а р[к) является интегралом от непрерывной функции (см. лемму) и потому существует. Разобьем теперь область 6 на части 6,,(, ! = 1, 2, .;., й, следующим образом. Возьмем разбиение хн=(х()(=а отрезка (а, о) на А равных отрезков: Ь вЂ” а а=ха<"х)с"...<.ха=5, х,— х) (= —, (=1,2, ...,й, (г и пусть (ра (х) = (р (х) (р,(х) =-(р(х)+ —, (ф(х) — (р(х)), 1 (р (х) = (р(х)+ — 1(()(х) — (р(х)), (рн (х) = (р (х) + — ()() (х) — (р (х)1 = (() (х).
А Положим 6„=((х,у):х( )«»х <Х(, (р! )(х)<у«»(р)(х)), и пусть сь =(6(!), (, ! = 1, 2, ..., й. Очевидно, что хак является разбиением )бласти 6 (рис. 135). Теперь имев)и р (к) С у(к) ) дх ) ((х, у)((у = ,)'„~ ((х ) !(х, у)((ука а ( ( к( — ) р(к) у ро. Сведернре к!ратного интеграла и повторному к р. (к! дх ~~ ) 1(х, у) (!у == к ! ! В (х) р, к к ту (х) е!х ) ) (х, у) ((у. р ! х. т. (к) (45.5) Положим трр. = 1п!1(х, у) и М;, = знр 7(х, у), !', 1= 1, 2, ..., /г, он он тогда х! рт (х) т. (х) (!х ~ )(х, у)т(у нк М)р ) е(х ) ()у = к( ! е! ! (х) хр ! т) ((х) к! =Ми ~ !(ур(х) — (у( )(х))йх=М(,гпезбр, (45.7) к! — ! 1!п)6 к =О, поэтому в с)о)у интегрируемости функции !(х, у) на 6 (см. и. 44.4) 1!гп з = 1нп 5 е со Е е со р Переходя теперь к пределу в неравенство (45.9) прн А — ко, получим формулу (45.1).
Теорема доказана, и аналогично, х р.(х) ((х )' 1(х, у) ((у)~ и((; гпез Сррр (45,8) к! — ! тр ((к) С помощью неравенств (45.7) и (45.8) для интеграла (45,5) получаем следующую оценку через нижние и нерхние суммы Ларрбу функции )(х, у): е А ф (х) з = ~~ у~ нт,, п)ез6! < ~(!х ) )(х, у)е(у ~ ! (р=! и Е (к) < ~, Х Мр,~Маре —— 5,*. (45.9) р'= ! )=.1 Для мелкости б * разбиения те области б имеем (почемуу) 4Д! Основная теорема оля ояуя(ерного случая Если теперь область 6 элементарна относительно оси Ох и ее граница состоит из графиков непрерывных функций а(у) и (1(у), а(у) ~(3(у),с~~у <е(, и, быть может, отрезков прямых у=с и у=((, а функция Г(х, у), как и раньше, непрерывна на замкнутой области 6, то справедлива формула з (я! 01(х,у)((х(1у=) ((у ) г'(х, у)((х.
о с (я! Если же область 6 элементарна как относительно оси Ох, так и отн(сительно оси Оу, то, приравнивая правые части (45.1) и (45.10), для непрерывной на 6 функции получим формулу Ь ([ы! а (т! ~((х ~ )(х, у)((у = ~((у ~ )(х, у)((х, (45.11) а % (ы! с с(у! выражающую собой правило перемены порядка интегрирования в повторных интегралах. рас.
И7 рнс. (за Пример. Вычислить интеграл от функции г=х'у по конечной области 6, ограниченной частью параболы у=ха и прямой у=1 (рис. 135). Решение. ! ! ! Д хяу е(хе(у= ~ хя((х ) у((у — — ~ 1, ~ хя((х= а — '1 к — 1 ! ! 4 2! 2 Если требуется вычислить кратный интеграз по области, не являющейся элементарной ни относительно оси Ох, ни относительно осн Оу, то, для того чтобы применить полученные формулы, надо 98 Э лб. Сведение кратного интеграла к повторному попытаться разбить данную область на части, каждая из которых уже будет элементарной хотя бы относительно одной из осей координат (рис, 137). Если это удается сделать, то в силу аддитивности интеграла по множеству (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
