kudryavtsev2 (947414), страница 19
Текст из файла (страница 19)
замечание к теореме 3 и. 20.2, а также п. 39.4). Наряду с отображением Р рассмотрим линейное отображение Р плоскости Е„'„иа плоскость Ех, задаваемое формулами х =х„+а„(и — ио)+а12(о — а,), у = ув+а22(и — ио)+ае1(п — и„). (46.9) ' — ~=( " ")-~~ь,'м. а21 а22 (46.10) В дальнейшем мы оцепим, насколько отличаегся площадь множества Е(5) от площади множества Р(5). Как известно из аналитической геометрии, для линейного отображения образом всякого параллелограл1ма„в частности квадрата 5, является параллелограмм, причем отношение площади последнего к площади исходного параллелограмма равно абсолютной величине определителя отображения. Таким образом, в рассматриваемом нами случае для отображения (46.9) имеем б 4б Замена пораненных в «ратнао интеграле 104 (см.
теорему 5 в и. 18.2). В дальнейшем будем предполагать, что (й)(=. В этом случае ч ' 1го нз того, что (и„о,) ~ Л следует, что 5~6. Оценим расстояние между образами одной и той же точки прн отображении Е н Е, Пусть М =(н,о) с 6,Г(М) =(х,у) и ~ (М) = (х, у), тогда р (Е(А4), Е(М» = Уг(х — х)г+ (у — у)' Из формул (46.8) и (46.9), применяя неравенство Коши — Шварца (см.
п. 18.1), получим неравенства (х — х)о = (а„Ли-1-аьтЛо)' ((а1 -1-а|о)(Лиг+Лев) = (паж+а|о)го (У вЂ” У) =(пм Ли+ оег Ло)о < (по, -~ ног) (Л не+ Лоо) = (по ~ + а во) гг. Подставим эти неравенства в (46.12); р(Е(М), Е(М)) < г )' и;, +ото+а~о, -(-а'о о о о о Полагая е, =)'ам+а~о+ад+нее, перепишем полученное неравенство в виде р (Е(М), Е (М)) ~ е, г, (46.18) где е, = ет(ио,о,Лн, Ло) равномерно стремится к нулю на множестве А при р-нО, ибо этим свойством обладактг ан(с,4=1,2), Замечая, что при М ~ Б справедливо неравенство р (~Ь) ут2, нз (46.!3) получим неравенство р(Г(М), Р(М) < е, Я)г2. Если положить ее (потов.lг) = )т 2зпре,(тго оо Ли, Ло), (46.14) лоез то р(Е(М),Е(М)) < еой, 8465 е(= еор р (Е(М), Е(М)) < е, ~й~, мез откуда (46.15) Множества Е„, ',6 и А не пересекаются и замкнуты, кроме того, А ограничено, поэтому Ч = р (Е„:~6, Л) ) 0 (46. 11) «бХ Геометрический снысл модуля якобиано в двумерном случае 10а где ва равномерно на Л стремится к нулю при й -+ О.
Построим «рамку» ширины с( (см. 46.16) около сторон параллелограмма 5 следующим образом. Проведем вне параллелограмма 5 четыре прямые, каждая из которых отстоит на расстояние с( от одной из сторон параллелограмма 5. Из построенного таким образом параллелограмма выбросим все точки, находящиеся на расстоянии, большем, чем г( от параллелограмма 5, — получим множество 5,', состоящее из параллелограмма 5, четырех параллелограммов 1)г, 1 = 1, 2, 3, 4, высоты с(, одна из сторон каждого из которых совпадает с одной из сторон параллелограмма 5, и четырех секторов ол 1 = 1, 2, 3, 4, ае 4 4 )с = () цч.л () о. л ()П( у 1 !=~ (46. 16) назовем «рамкой». Покажем, что площадь множества г(5) отличается от плогцади тараллелограмма г(5) не более чем на площадь рамки Я, Для этого трежде всего установим, что 5, СЕ(5) СБы (46.
1 У) Ю «м = начальная буква франиузского слова ех)бг(еиг (внесоний). *"1 «и = начальная буква фраииузского слова !и(ег!еиг (внутренний). радиуса с(, с вершинами в вершинах параллелограмма 5 и ограниченных радиусами, параллельными сторонам параллелограмма 5 (рис. 140). Теперь проведем четыре прямые, каждая из которых отстоит также на расстояние с( от одной из сторон параллелограмма 5 и пересекает его внутренность. Эти четыре прямые образуют параллелограмм 5; ', содержащийся в параллелограмме5 (в дальнейшем покажем, что при достаточно малых й множество 5; не пусто).
Часть параллелограмма 5, получагощаяся из него вычетом множества 5; т. е. множество Я'~5ь состоит из четырех параллелограммов П„, 1=1, 2, 3, 4, некоторые из которых частично перекрываются. Высоты этих параллелограммов равны с(, а одна из сторон каждого из них совпадает с одной из сторон параллелограмма 5. Множество !Оа В еа, Замена иеременнмх в кратном ангеераее Действительно, если М~5, то Е(М)~5 и, согласно (46Л), р(Р(М), Е(М)) < д.
Но по построению множество 5, содержит все точки плоскости, находящиеся от параллелограмма 5 на расстоянии, не превышающем числа д; поэтому Р(М) ~ 5,„и включение г(5) ~5, доказано. Второе включение в (46.17) доказывается сложнее. Предварительно сделаем некоторые оценки. Для них потребуются две постоянные с, и се. Определим их. По предположени|о отображение г" непрерывно дифференцируемо, а А — ограниченное замкнутое множество.
Поэтому существует такая постоянная с, „>О, что на ограниченном замкнутом множестве (см, п. 18.2) А„(М: р(М, А) ~ Я а (определение числа т) ем. в формуле (46.11)) выполняются неравенства — ~ ~< с„~ —" ) < с„~ — ~ < с,, ~ —" ~ < со (46.18) В дальнейшем будем предполагать, что ~Ь! ( — ' В этом 2 р'2 случае 5 ~А„при (и„ое) ~А.
2 Далее, по предположению якобнан У(и, о) отображения г, явльчоишйся непрерывной функцией, ве обращается в ноль на 6. Поэтому существует постоянная се) О, такая, что иа ограниченном замкнутом множестве А выполняется неравенство (почемус) 1.((и, о) ~)~с )О. (46.19) Пусгь длины сторон параллелограмма 5 суть а и Ь„а его высоты, опушенные на ипх, равны соответственно Н„и Н . Предположим, что сторона параллелограмма 5 длины а соединяет точки (х„у,) и (х, + амЬ, у, + ае1Ь).
Тогда из (46.9) и (46.18) следует, что а = У а1~1 Ье+ а',~ Ье = ~ Ь ! Р ам+ ае1 < с, у 2 ~ Ь(. (46.20) Аналогично Ь = Р а„йе+ аее Ь' .<с, у' 2 Я . (46.21) Замечая, что п1ез 5 = аН„= ЬН и что 5 = Ье, из неравенств (46.20) и (46.21) имеем 4бя. Геометрический смысл модуле екобиана в двулмрном случае 107 ст 2 ~ й ~ Н )~ пН, = ~./(и, ов) ~ ле.у- се!Р, сД/ 2 16 ~ Нд )~ ЬН» —.— 1,I (ив, оо ~ ли )~ се йе Отсюда получаем 1 Выберем теперь 6 >О так, чтобы при ~61'к,би(па, о,) ~ Авы- полнялось условие (46.23) (определенне е, см.
в формуле (46Л 4)). Это всегда возможно сделать в силу равномерного на А стремления е, к нулю при й -ь О, В даль- нейшем будем предполагать, что ~/г~ ( 6. Теперь докажем включение Ь',с Р(5). Прежде всего заметим, что Р(д5) с й, (46.24) Действительно, если М ~д5, то Е(М) ~д5 и, согласно (46.16), з((о(М), ЦМ)) < д. Но по пост роению рамка )т содержит все точки тлоскости, отстоящие от границы д5 параллелограмма 5 на расстоя- тие, не превышающем числа д, поэтому Р(М) ~ Я и включение (46.24) токазано.
Поскольку при сделанных предположениях граница дР(5) ~браза Р(5) квадрата 5 совпадает с образом Е(д5) границв| д5 квад- чата 5 (см. лемму 2 п. 46.1),, то включение (46.24) можно переписать 3 виде (46.22) дЩс Н. (46.26) )усть теперь М, †цен квадрата 5. Прн отображении Гон пе~еходит в центр Мв = Г(Ме) параллелограмма Ь'. Покажем, ~то аамкнутый свар Я радиуса а с центром в точке М, содержится в 5о Поскольку а' 1очка Л1, находится на рас- Х 1 1 стоянии — Н и —, Но от е — „- — --У а я о Лй» о лр е е - сторон параллелограмма 5, а стороны параллелограмма 5; отстоят от сторон параллелограмма 5 на расстояние д, то достаточно доказать пера Рис, И( вепства (см. рис.
141) ф 46. Замена нерелтенных н кратном интеерале !08 — 7(„н 2т(, — 77 ~~.2о. (46.26) Применяя последовательно неравенства (4ть15л, (46.23) н (46.22), получим 2д ~ 2 а, ~ Ь ~ к. = —" ! !! ~ < —, Н . Первое из неравенств (46.26) доказано, аналогично доказывается и второе. Итак, шар ()с: 5,', но если Ма =- г" (Ма), то, согласно (46.15), р(М„Ма) < т( и, следовательно, Ма ~Я, а потому и Ма ~5!. Таким образом, 5, содержит заведомо одну точку г (5), а именно образ Ма центра М, квадрата 5 при отображении Е.
Покажем теперь, что и все точки 5, принадлежат Г(5). Допустим противное: пусть существует такая точка М' ~ 5„что М' 5 г" (5) (см. рис. 141). Тогда согласно лемме 7 п. 18.2 параллелограмм 5„являющийся связным множеством, пересекался бы и с границей дг(5) множества г(5), что противоречит вклю. чению (46.25). Таким о5разом, не существует точки М' ~5, и одновременно М' ф г" (5), поэтому 5!~Е(5). Формула (46.17) доказана. Очевидно, что также 5!~5= Р(5) с:5,. Отсюда и нз (46.17) имеем и!ез5; < !нези(5) < тез5„ тез5! < тезЕ(5) ( шез5, и.
следовательно, ~п!езл (5) — гпез г (5) ~ ~(плез5,— глез 5, = вез)7. (46,2'7) Оценим площадь рамки й. Сумма площадей секторов и, 1= 1,2, 3,4, равна площади круга радиуса л(. Отсюда, испольл зуя оценку (46.!5), имеем (46.28) Х !пез от = и л(' ( пел йл. г л' 1 109 аб Л Геометрический самса модуля якобаака в двумерном слуяае Г!>гогггвдг, каждого из параллелограммов Пг и Пг,)= 1, 2, 3,4, равна либо аа, либо Ы, поэтому нз(46.20),(46.2!) и(46.!5) имеем п>сз Пг ~~ ) 2 сгГ гг 1 г1 <)Г 2 сг е. /ге, гпез Пг <)у~2 с>1>1 1 с( < $ ' 2 сг вя К 1'=1, 2, 3, 4. (46 29) Из определения рамки (46.16) и оценок (46.28) и (46.29) следу- ет, что глез 1г ~< пв 8'+ 8) Г2 с, е, 8'.= пе, + 8)~2 с,) е, 81'.
(46.30) Функция е„ограничена на А ч (эго следует нз ограниченности на А,, функций а„, 1, /г=!,2, что в свою очередь следует из их явного выра>кения через производные функций н и и (см. п. 20.2)), поэтому с, = зпр(пе„+ 8): 2 с,) ( со, А„ и, следовательно, из (46.30) получим гпезгг <све,ля. Таким образом (см. (46.27)), 1гпез Р(Я вЂ” п>ез Р (5) ( < с„ее Гга. Положим гоея Г (а) — гоея Г (а) (46.31) Ггя тогда ! в'1 < св1в ~ и потому е равномерно на А стремится к нулю при Ь- О.
Из (46.31) имеем гпез Р(З) = пгез Р(Я)+ айа. Вспомнная, что п>ез Р (Ь) = ~ .Г (и„оа) 1гпез Е и /гс = пгез 5, получим пгезЕ(5) = ~.Г(ио, о (гпезЕ+епгезЕ что, очевидно, равносильно равенству (46.6). Теорема доказана. 46.2. Замена переменных в двукратном интеграле Вначале сохраним обозначения и предполо>кения предыдупгего пункта, в частности, будем прсдполагать, что Г является взаимно однозначным непрерывно дифференцируемым отображением открытого мггожествабс:Е„, на открытое множество0"'с:Еа с яко- б(а й 46.
Звл(ека пеявмвииых в крагном интеграле бианом, не равным нулю на 6. Пусть Г н Гв — квадрируемые (и, следовательно, ограниченные) открытые множества, Гс:6, Г*с:6в, и пусть при отображении Р множество Г отображается на Г*. Тогда при этом отображении внутренние точки Г переходят во внутренние, а граница Г отображается иа границу Гв.
Теорема 2 (формула замены переменных в двунратном интеграле). Пйппь функция 1(х, у) определена и непрерывна на Г*. Тогда 1) )(»у)л*лу-11)(*(» ),у(» ))б((„'У)))/л л,. ((блб) т* г До к а з а тел ь ство. Заметим, что укззанные интегралы существуют, как интегралы от функций непрерывных на замыкании квадрируемых областей, Действительно, функция ((х, у) на Гв и якобиан — ' на Г непрерывны по условию, а функция г(х,у) д(и,в) )(х(и, о), у(а, о)) непрерывна наГ, как суперпозиция непрерывных функций. Возьмем разбиение ранга й плоскости г,',к на квадраты.
Ранг А выберем столь большим, чтобы всякий квадрат ранга, пересекающийся с Г, целиком содержался в 6 (почему такой ранг существуег?). Обозначим через Г„( = 1, 2, ..., (д, всевозможные непустые пересечения внутренностей (множества внутренних точек) квадратов ранга й с множеством Г. Множества Г, являются квадрируемыми открытыми множествами, ибо их границы имеют меру ноль, так как состоят, вообще говоря, из части границы соответствующего квадрата ранга й и части границы множества Г. Совокупность ( (( т„= (Гл)( ( образует разбиение множества Г, причем, очевидно, 1пп 6, () (46,63) х- бо Пусть, далее, Г( = Р(Г,); прн этом граница Г, отображается иа границу Г;, поэтому граница Г„вообще говоря, состоит нз части границымножества Г* (эта граница, в силу предположенной квадрируемосги множества 1', имеег меру ноль) н части кусочно-гладкой кривой, являющейся образом гранишл соответствующего квадрата и имеет поэчому также меру ноль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
