kudryavtsev2 (947414), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следует подчеркнуть, что расширение класса представлений кривой позволяет производить вычисление криволинейного интеграпа при более разнообразных представлениях кривой. Например, интеграл ~ Р(х, у)ду, где у — рассматриваемая выше дуга единичной окружности, а Р— непрерывная на у функция, можно вычислить, пользуясь обоими указанными представлениями: хля ~Р(х, у)ду — — ~Р(х, )' 1 — х) -)7~ ~ Р(х, у) ду = — ~ Р(сок|, з)пг) з|птей. В первом случае здесь может получиться несобственный интеграп. Вместе с тем прн доказательстве теорем можно выбирать «хорошне представления».
т. е. непрерывно дифференцируемые вплоть до попцов отрезка, так что проведенные выше рассмотрения оказываются справедливыми и для расширенного понятия кривой. У п р а ж н е н и е 1. Лоха»ать, что при новом определении непрерывно диффереицируемой кривой т без особых точек ее длина выразкается формулой ь ~ )/х"+у'лр я'»Лб где написанный интеграл, вообще говоря, несобственн~А. 47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым Определение д. Если кривая у кусочно-гладкая, т. е. предопавима как сумма конечного числа гладких кривых у,, у„..., у, а грункция Р(х, у, г) по-прежнему определена на точках кривой у, то по определению положим ) Г(х, у, г)дх = Х ~ Р(х, у, г)дх.
7 ! 47.5. Формула Грина 129 Если у — кусочно-гладкая кривая и х=х(1), у=у(г), х=гу), и <1< б,— ее кусочно-гладкое представление, то также будем п исать ') Р(х, у, х) йх = ) Р(х (С), у(1), е(1)) х'Я от а (здесь х'(Г) может быть не определена в конечном числе точек отрезка!а, о)), понимая интеграл, стоящий в правой насти равенства, вообще говоря, в несобственном смысле. Аналогичные определения имеют место и для интегралов вида (47.7). В дальнейшем придется иметь дело с суммами интегралов вида (47.6) и (47.7), т. е.
с интегралами вада (47.4), где Р, Я и Д— некоторые функции, определенные на точках кривой у. Согласно определениям (47.6) и (47.7), справедлива формула ~ Р йх+ Я ау+ Р йг = ~ (Р соз а+ кгсоз |5 + Рк соз у) Лз. к т 3 а м е ч а н и е 1. Если Г обозначает конечнуко совокупность кусочно-гладких ориентированных кривых уь 1 = 1, 2, ..., й, то по определению ) Е "з = Х ) Рйз, ) Рйх= Х ) Рйх и т.
д. 1 к=к п 1 ~=.! 3 а м е ч а н и е 2. Мы дали определение криволинейных внтегралов для кривых, лежащих в трехмерном пространстве Е". Совершенно аналогично они определяются и для кривых, лежащих в любом и-мерном пространствеЕ", и = 2, 3, 4, .... Криволинейные интегралы в и-мерном пространстве обладают евойствамн, аналогичными рассмотренным ныше в трехмерном случае, причем доказательства их также совершенно аналогичны приведенным выше. Поэтому мы не будем останавливаться нн на формулировках, ни на доказательствах соответствующих утверждений. 47.5. Формула Грина Определение б. Пусть простой мкнутый контур у является границей ограниченной плоской области 6. Если ориыипиция косипура выбрана таким образом, что при обходе контура у, соотваиствуви(ем возроапонию параметра, область 6 остается слева (тикай обход обычно называется обходом контура против часовой стрелки), то зта ориентация называется положительной, в противном же случае (т.
е. когда обход контура производится по чосоьой стрелке) — опкрицительной (рис. И8). 130 Э 47. Криволинейные интегралы Положительно ориентированный контур будем обозначать у", а отрицательно ориентированный — через у . Зти понятия определены не строго, не в точных математических терминах. Однако мы не будем давать здесь точных определений, с одной стороны, потому, что это нельзя коротко сделать, а с другой стороны, поскольку в дальнейшем во всяком отдельном случае рассматриваемая ориентация всегда будет конкретно указываться.
Тем самым наше вобшееэ определение положительной и отрицательной ориентации простого замкнутого контура послужит лишь для геометрической наглядности рассматринаемых ниже вопросов. Теорема 1(трормула Грина). Пусть 6 — плоская область и ее граница у является кусочнгьгладким контуром.
Пусть областпь 6 может быть разбита на конечное число элементарных относительно обеик координшпных осей (см. п. 45.1) областей 6,*', с кусочно- гладкими границами уо г = 1, 2, ..., й. Пусть, далее, в замкнупюй области 6 заданы функции Р(х, у) и ()(х, у), непрерывные дР д9«а> на 6 вместе со своими частнотми производными и оу дх Тогда справедлива формула д д ~дхйу = ~рйх+Цду. (47.12) О~- "~ стж~ д) т о т+ До к аз а тел ь ство. Пусть сначала область 6 сама элементарна относительно осей Ох и Оу, и, следовательно, ее границу можно представить как объединение графиков двух кусочно-непрерывно дифференцируемых функций ф(х) и ф(х), ф(к) < ф(х), а ч'.
х < Ь, и, быть может, отрезков прямых х = а их = Ь, а также как объединениее двух графиков кусочно непрерывно дифференцируемых функций а(у) и ))(у), п(у) < р(у), с< у <д, и, быть может, отрезков прямых к = с и к =. д (рис.
149). В этом случае, применяя правило сведения двойного интеграла к повторному, теорему Ньютона — Лейбница (и. 29.3) и формулу (47.9), имеем Фтм ))тт )~) тт «) Это о начнет, что (йт),' ~ явлнетсн разбиением области б (см. п. 44 3). ««! Непрерывность частных произволных на О понимается тан: эти произ. сеяные непрерывнЫ В б и непрерывно прояолжаемы на границу й (см. п. 30,3), 47.д Форияла Грина 1Э1 = ~ (Р[х, ф(х)] — Р[х, ~р(х))) с[х = ) Р[х, ф(х)[с[х— н И ь — ') Р [х, ф (х)[ с[х = ) Р(х, у) дх — ~ Р (х, у) дх = о вс лв — ') Р ( х, у) е[х — [ Р (х, у) ь[х. ьв лв Замечая, что для отрезков ВС и ОЛ (47.! 3) Р, П г — —— ФЖ1 Г[ 1П1 С Р® Э П $ РЩ $~ 3 я, П, 1 ! Ппппнояепьнпя пяценяацоя пироцаьпепьная ппоениацоя Рис.
ИВ Рис. 149 ~ Р (х, у) е[х = ~ Р (х, у) е[х = О (47.14) (это сразу следует, например, из формулы (47.3), ибо здесь х=сопз1 и потому ь[х= — О), и, складывая равенства (47.13) и (47.14), получим ~Д вЂ” е[х с[у = — ) Р е[х — ~ Р с[х — ~ Р е[х — ~ Р с[х — — ) Р е[х. 0 яв Вс св пя (47.15) При этом получилась ориентация граничного контура у, при которой следуют последовательно одна за другой точки А, В, С, В. Эеа ориентация называется положительной (см. определение б) и обозначается 7+.
Совершенно аналогично, исходя из того, что область 6 элементарна относительно оси Оу, выводится формула ~~ ",л.н,= [оп,. (47. 1б) 1~ Складывая (47.15) и (47.16), мы н получим формулу Грина (47.12) для рассматриваемого случая. елд Формула Грина 133 Если граница области 6 состоит из внешнего контура 1, и внутренних контуров ?1„?;,, ..., у, и если область 6 может быть разбита иа конечное число элементарных относительно обоих координатныхх осей областей с кусочно-гладкими границами, то справедлива формула ы ~~~„— — — )йхйу= ~ Рйх+6йу+ «„~ Рйх+11йу.
(47.19) о + 1 =! т, ту/ Рис. 151 Рис. 130 Функции Р и Я, как и выше, предполагаются непрерывными дР дО вместе со своими производными — и — в замкнутой области 6. ду дх Доказывается эта формула так же, как и формула (47.12), если только заметить, что в сумме, стоящей в правой части равенства (4?.1?), останутся криволинейные интегралы по положительно ориентированным частям внешнего контура и по отрицательно ориентированным частям внутренних контуров (рис. 151). Отметим еще, что в формуле (4?.19) все контуры (как внешние, так и внутренние) ориентированы таким образом, что при их обходе область интегрирования остается слева. Определение 7, Пусть граница д6 ограниченной плоской области 6 состоит из конечного числа простых кусочно-гладких конйуров. Совокупность этих контуров, ориентированных так, что при обходе по каждому из них область 6 остается слева (справа), называется положительной (отрицательной) ориенп1ацией границы 6 и обозначается также д6 (соответственно — д6).
Формулу Грина можно распространить и иа еще более широкий класс областей. Для этого заметим, что в силу доказанного формула Грина справедлива для треугольника, а значит, и для любого многоутольника. Поэтому предельным переходом, аппроксимируя границу конечнозвенными ломаными, можно получить формулу Грина для любой области (и даже просто открытого множества), граница ко- у е7. Криволинейные интегралы »ЗЛ Цф — $)й ду=~рд +аду, о уо гдг дб — полоохитгльно ориентированная граница области б.
47.й. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов Полагая в формуле Грина Я=х, Р=О, получим Дс(хйу =) хг(у и, следовательно, »пезб=~ хду. Лналогично, полагая Р= — у, 6=0, получим тпезб= — ) уйх. »' Складывая формулы (47.20) и (47.21), будем иметь 1 г шез6= — ) хйу — уйх. — З 3 (47.20) (47.21) (47,22) Найдем с помощью этой формулы в качестве примера площадь, ограниченную астроидой (см.
в т. 1 рис. 61) х=асозе», у==аз(пе1, 0 (1< 2п. Замечая, что здесь возрастание параметра 1 соотаетпвует положительной ориентации контура, имеем 2» — — ( (~~~~ 1 ой не 1 + з)пг 1 созе 1) д1— 2 »' Зие( . е За'( ы ы Зли' = — ( з)пе21»(Г= — ( (1 — соз41)дт= —. 8,1 !б~ а а торой состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Мы, однако, не будем останавливаться на доказательстве этого факта, а ограничимся лишь его формулировкой.
Г(ри этом, используя определение 7, мы запишем формулу (47.19) в более компактном виде. Теорема 1'. Пусть граница плоской ограниченной сбласл»и 6 состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Тогда, дР дЯ если функции Р, (,», — и — нгпрерывнь» на б, то 47.7. Геамесрическиа смысл знака якабссана 47.7. Геометрический смысл знака икобиаиа отображения плоских областей х=х(и, о), у=у(и, о), (47. 23) причем, если И =(и, о), И'=(х, у), то Ие=Р(И). Будем предполагать еше, что смешанные производные— де у дади н — непрерывны, а следовательно, и равны друг другу во дс 7 ди до всех точках 6. Пусть теперь 7 — простой замкнутый кусочно-гладкий контур, расположенный в области 6. Тогда (см. и.
46.2) уе = Цу) также яв- ляется простым замкнутым кусочно-гладким контуром. Пусть кон- тур у является границей ограниченной области Г~Ое, а контур у* — ограниченной области Ге . Ое. Пусть Г* = Е(Г) и области Г и Г* таковы, что к ним применима формула Грина, например, они удовлетворяют условиям, налагаемым ва область в теореме 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
