kudryavtsev2 (947414), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Криволинейные интегралы второго рода Ряд математических и прикладных задач приводит к криволинейным интегралам другого типа. Например, если г = г(1) является радиус-вектором движущейся материальной точки, а вектор Г= )о(1) выражает собой силу, действующую на данную ма- «З Таким образом предполагаетси, что ка кривой т вет особых точек. ЕуХ Крвполввесвме ввгегралм второго рода териальную точку, то естественно определить работу силы Р вдоль траектории у рассматриваемой точки, как интеграл ) Рс(г или, если Р = (Р,(), И), а дг = (ах, Иу,с(г), в координатной записи, как интеграл ~ Р г)х+ О г(у+ К г)г.
Вспоминая, что (см. п. 16.3) вх еу ог оз ' вв ' оз — = сова — = сов(3 (4?.4) (47.5) Ч> (г)+'Ф (~)+Х (~) ~О, а <( ( Ь. Пусть з= з(7) — переменная длина дуги, 0 <в~~В отсчитываемая от конца А или В, (сова, совр, сову) — единичный касательный вектор к кривой, а = а(з), р = р(з), у = у(з), 0 ~в~5, и пусть функция Р как и в предыдущем пункте, определена на множестве (г(~), а ~ 1 < Ь) точек кривой у.
Определение 2. Выражение ') Р(х, у, г) дх определяется по формуле ) Р(х, у, г)дх= ) Р(х, у, г)совадз, (47.6) лв йв Аналогична по определеншо полагается ~ Р(х, у, г)с(у= ) Р(х, у, г)сов()дз, Ав лв ~ Р(х, у, г) дг = ~ Р(х, у, г) сов у дз. лв лв (47.7) где г = (сова, совр, сову) — единичный касательный вектор, интеграл (47.4) формально можно переписать в виде ~ (Р сов а -)- Ц сов р + й сов у) с(з. Сформулируем теперь строгое определение интегралов вида(47.4), Пусть у = А — непрерывно диффереицируемая ориентированная кривая без особых точек.
Тогда существует такое ее непрерывно диффереицируемое представление гИ) =(<р((), ф((), Х(~); а~~(< Ь), А=г(а), В=г(Ь), что У 47. Криеолинеанае интегралы Онтпегралы вида (47.6) и (47.7) называтотся криволинейными интегралами второго рода от функции Р по кривой АВ. Естественность этих определений видна из формул (47.6).
Отметим некоторые свойства этих интегралов, ограничиваясь для краткости только случаем интеграла (47.6). 1. Если функция Г непрерывна на криеюйу, т. е. непрерывна т)гункция Р[т(т)1, а -: т . Ь, то итпеграл (47.6) суи[ествуепь Действительно, при сделанных У относительно кривой у пред- положениях функция 4 =- г(з), (~— н в параметр на кривой у, з — переменная длина дуги) непрерывно дифференцируема на отрезке [О, 51, Вл гц ы А поэтому функция соха= —.
— непре- ги ае рывна на этом отрезке и, следовательно, в силу свойства 2 криволинейных интегралов первого рода Рис. !47 (см. п. 47.1) интеграл (47.6) суще- ствует, В дальнейшем в этом пункте для простоты будем предполагать, что функция Е непрерывна на кривой у. 2. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой, т. е. 1 Е(х, у, г) йх = — ~ Р(х, у, г) йх. АВ ВА В самом деле, если а — угол, образованный положительным направлением касательной к кривой АВ с осью Ох, а а' — угол, образованный положительным направлением касательной к кривой ВА с осью Ох, то для соответствующих точек будем иметь а' = а + н (рис. 147) и, следовательно, соз а' = — соз а.
Используя теперь свонсгво независимости криволинейного интеграла первого рода от ориентации кривой (см. п. 47.1), получим ') г (х, у, г) йх = ) г'(х, у, г) сова'йз= — ) р(х, у, г) сов а йз = ВА ВА ВА — ~ Е(х, у, г)созайз= — ') г'(х, у, г)йх. А!3 АВ 3. Для интеграла (47.6) справедлива формула ь ) Р(х, у„г)йх= ~Р[тр(1), ту(г), 7.(г))тр'(г)с[4. (47.8) АВ а В7.3.
Краеолннейнтге интегралы еторого рова Действительно, согласно определению (47.6), ~ Р (х, у, г) дв = ~ Р [х (в), у(в), г(в)[сов а (в) дв. лв Делая в интеграле, стоящем в правов части этого равенства, за- мену переменного в = в(1) и замечая, что (см. 47.5) вк к, сова = — = —,, лк получим (47. [0) [ Р[х(в), у(в), г(в)[сова(в)дв= а к, = ) р [Ч ((), М(), 7,(1)[ —; вг дв = а = ~р[7у), ф(0. хая,'(г) и, а что и доказывает формулу (47.8).
Отметим, что мы доказали также, что интеграл, стоящий в правой части этой формулы, не зависит от выбора параметра на кривой. В частном случае, когда за параметр 1' мояено взять переменную х, т. е. когда кривая у имеет представление у = у (х), г = г (х), а ~ х ~( Ь, формула (47.8) принимает вид ь 1 г (х, у, г) е[х = ) г [х, у(х), г(х)[с[х. (47.9) 4. Интеграл ) Р(х, у, г)дх является пределом соответстлн вуюи(их интегральных сумм, описываемых в терминах, связан- ных с кривой у, тпочнее: пусть т = (гг).=о — разбиение отрезка [а, д[, Ьбр ь 6!, 1'=1. 2, ..., 10, и ы а, = Д Е[г(51)) Лхг„ '-1 где Лхг = х(11) — х(11,), пгогда !пп о, = ) Е(х, у, г) дх. ь, о лг Я 47. Кгхиеаеинейные интеграла В самом деле, по теоРеме о сРеднем Ьх = х'(41,)Жх, где х]х~[1х-х,1х[ хььХх =1,— 1, „х=[, 2, .
° ., хтн поэтому а, = 2 Р[г($х)]р'(т!х) х!1х Положим хе а,= Х Р[г($х)] р'6х) 61х. Сумма а, является интегральной суммой Римана для фуякпии ]е [г (1)[ хр'(1), поэтому ь Ип1 а, = ~г [г(1)]хр'(1)х[1. ь,-о (47. ! 1) С другой стороны, [а,— ат1 < Х [р[г(Вх)][ [ р'(Чх) — Ч'Вх) [Их < х 1 <в(6,; хр')(Ь вЂ” а) зпр [1а[г(1)][, и<хне где в (6; хр') — модуль иепрерывиости функции хр'. Так как из непрерывности функции г'[т(1)] иа отрезке [а, Ь[ следует, чхо зпр [г[г(1)][(ао, а иэ непрерывности функции ср' иа том же и<хне отрезке следует, что !пп в(6,; хр') = О, то 1хпх [а,— а,) = О.
ь,-ь ь,-ь Поэтому в силу (47.!1) получим ь !йп а, = ~ г [г (1)] гр'(1) х[1. ь, а Отсхода, согласно свойству 3, и следует формула (47.10). Мы остановились только иа тех свойствах криволинейных иитегралов, которые связаны со спецификой их определения, с кривой, по которой производится интегрирование. Естественно, что, поскольку рассматриваемые интегралы сводятся к обычным иитегралам по отрезку, иа иих перевосятся и различные их свойства (ляиейиость отиосительио иитегрируемых функций, иитегральиая тео.
рема о среднем и, т, п.). В7З. Растииреиие класса дппистиимк вреааравпваиий параиетрп криппа Еат 47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой Непрерывно диффереицируемая ориентированная кривая без особых точек определялась нами (см.
п. 16.1 и 16.2) как кривая, нметощая непрерывно дифференцируемые представления г(1), и(1 < Ь, такие, что г'(1)+ О на отрезке (а, Ы. В качестве допустимых преобразований параметра при этом рассматривались такие функции 1 = Е(т), а ( т < 6, Е(ц) = а, 1(р) = Ь, которыебыли непрерывнодифференцируемы и имели положительнукт производную на отрезке (а, Ы. Зто требование, однако, часто оказы- вается слишком обременительным. Например, для дуги у единичной окружности с центром в начале координат представления у=)гт~ — х', О(х<1, у=э(пЕ, О;~1< ~, х = соз1, оказываются неэквивалентными вэтом смысле. Да н само представление у =)/ 1 — х', О < х < 1, не определяет в нашем смысле непрерывно дифференцируемую кривую, поскольку при х = 1 производная не существует.
Поэтому естественно расширить класс допустимых преобразований параметров и допустимых представлений непрерывно дифференцируемых кривых. Зто можно сделать следующим образом. Рассмотрим совокупность представлений г = г(1), а < Е < Ь, непрерывных на отрезке !а, Ы н непрерывно дифференцируемых на интервале (а, Ь). Попс,стимым преобразованием паралтетра будем называть всякую функцию 1 = 1(т), а < т ( р, 1(а) = а, 1(р) = Ь, ненрерынную иа отрезке !а, й), непрерывно дифференцируемую и имеющую положительную производную на интервале (и, р). Как всегда, два представления называются эквиваленпосыми, если можно перейти от одного к другому с помощью допусеимого преобразования параметра.
Определение 3. Класс эквивалентных предсепавлений указанного типа эадаегп непрерывно дифференцируемую кривую, если и мпом классе сусцествует по крайней мере одно представление г = г(Е), а ( ( ( Ь, непрерывно дифференцируемое на всем отреже (а, Ь). Определение 4. Непрерывно дифференцируемая кривая называстися кривой без особых точек, если при некотором ее представлении В 47.
Криволинейные интегралы гйв г(~), а к, '1 < Ь (а значит, и при всех представлениях) выпол- НявтСЯ УСЛОВиЕ 7" (г) + О, а «7 ( О. В смысле этого определения два вышеуказанные представления дуги окружности оказываются эквивалентны и задают не. прерывно дифференцируемую кривую. Останпся в силе и все данные выше определения криволинейных интегралов и их свойства, естественно, при учете того, что при некоторых представлениях кривых мы можем получить несобственный интеграл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
