kudryavtsev2 (947414), страница 18
Текст из файла (страница 18)
п. 44.5) вычисление данного интеграла сведется к вычислению интегралов по указанным частям, а последние с помощью формул (45.1) и (45. 10) могут быть сведены к однократным. 45,2. Обобщения иа и-мерный случай Пусть теперь Е" — и-мерное пространство, Ел ' — гиперплоскость х„=О. Пусть 6 — область в Е" н 6 — се проекция на гиперплоскость Е" 6, =((Х„..., Хл 1,):СУЩЕСтВУЕттаКОЕХтл Чта(Х„..., Хл 1, Х )~6). Определение 2. Область 6 называется элементарной относительно оси хл, если ее проекция 6е является кубируемой л облас тью, а граница состпоит из графинов двух непрерывных на 6, фуннций д(х„,, хл 1) и ф(х„..., хл 1), тр(х„..., хл 1)(т)>(хм ..., хл,), (х„..., хл 1) ~ 6,, и, быть моисетп, части цилиндра, основанием которого явлтмтся граница д6, области 6, .
л л Поскольку в случае и = 1 всякая область является интервалом (почему?), то для плоских областей данное в этом пункте определение области, элементарной относительно некоторой оси, совпадает с соответствующим определением предыдущего пункта. Если область 6 элементарна относительно оси Охл, то она нубируема. Действительно, ее проекция О,л, являясь нубирусмой областью, ограничена, поэтому граница области 6, состоящая из графиков непрерывных на ограниченном замкнутом множестве 6,л фуннций и, быть может, части цилиндра с основанием меры ноль (птез д6 „= О в силу кубирусмости 6„л), также имеет меру ноль.
Пусть 6 — элементарная относительно оси хл область с границей, состоящей нз графиков непрерывных на 6, функций: тг(Х1, ..., Хл — 1) И ф(ХМ ...> Хл — 1)> 1Е(хт»,-Хл — !) (ф(Х1> ° ° >Кл 1)> (Х„..., Хл 1)~6 И, бЬПЬ МОжЕт, ЧаСтИ цИЛИНдра С ОСНОВаНИЕМ д6„, и пусть функция 1 определена и непрерывна на 6, тогда аналогично формуле (45.1) доказывается формула л алл Д )' )(хт, ..., Хл> йхт ... йхл = уб2. Обобщения на и иеунмб еяучоб Ф (х, ....
хя !) = О ...~ (х!...с(х. ! ~ ~(х,,...,х„)(х„, хя р(х, ...,х„!) которая сводит интегрирование функции от и переменных к последовательному интегрированию функции одного переменного и функции (и — 1)-го переменного. Если в рассматриваемом случае область 6, в свою очередь является злементарной относительно некоторой координаты, то получившийся (п — 1)- кратный интеграл можно свести к однократп! му и (и — 2)-кратному интегралу. Продолжая зтот процесс„если, конечно, зто возможно дальше, придем к формуле вида )! . )бВ я рхз Д ~'1(х„..., х„) бх„..., (х„= О я — ! (х!) !Ч (х, "я- !) = ~ !(х ~ е(хя ... ~ ~(хг, . „х„) е(х„. (45.12) я р <х,! р, (х, ря !) х ху Щ хуе гя дх е(у е(г = ) хе(х ) уе е(у ) ге !(г = и о о о ! х Таким образом„в рассматриваемом случае интегрирование функции от а переменных сводится к последовательному интегрированию и раз функций одного переменного.
П р и м е р. Вычислить интеграл от функции )(х, у, а) = хурме по конечной области О, ограниченной поверхностями г = ху, у х, х = 1 и г = О (рис. 138). Решение. Применяя формулу (45.12), получим 4 ее. Замена аеременних а кратном интеграле к 4б. 3АменА пеРеменных в кРАтнОм интеГРАле 46.!. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае Пусть 6 — откры гое мнонеест во на плоскости Еа „6 — от- 2 крьпое множество на плоскости Е„,„Р— отображение 6 на 6*и Л(=(и, о) ~ 6, Л4*=(х, у) (-6*, Р(Л4)=Л(е. Отображение Р задается парой функций х=х(и, о), (46.1) у =у(и, о).
Будем предполагать, что отображение Р удовлетворяет следующим условиям: 1) отображение с взанмно однозначно отображает 6 на 6*; 2) отображение Р непрерывно дифференцнруемо на 6; 3) якобиан 1(и, о) = †' не обращается в ноль на 6. д(к,у) д(а,о) Заметим, что отображение Р ~, обратпоеотображению Р, также является непрерывно диффсренцируемым взаимно однозначным отображением с якобианом, не равным нулю на 6е (см. п. 41.4). Лелглга 1. Если у — кусочно-гладкая кривая, лезсаи(ая в 6, то ее образ Т* = с(у) при отображении с" пшкзхе будет кусочно-гладкой кривой.
Действительно„если и=и(1), о=о((), а <( <Ь, — кусочно-непрерывно дифференцируемое представление кривой у, то представлением кривой уа будет пара функций х=х(и((), о(()), у.=у(и((), о(()), а <( < Ь, др(Г) =Р(бГ). (46.2) которые в силу свойств суперпозиций непрерывно дифференцируемых функций (см. п.
19.3 и п.20.3) также будут кусочно-непрерывно дифференцируемымн. 3 а м е ч а н н е. Если у — простой замкнутый контур, лежащий в 6, то в силу взаимной однозначности отображения Е его образ Те = р(у) также является простым замкнутым контуром. Лелелга 2. Пусть à — открьапое ограниченное лнохсество и Г~6. Tогба Г* = Р(Г) — такзхе ограниченное опжрьтюе лгналсество и Еб К Геометрический смысл модуля вкабиака в двумеркам случае Л о к а з а т е л ь с т в о. При отображении г внутренние точки переходят во внутренние (см.
п. 41.6), поэтому из открытости множества Г вытекает и открытость множества Р(Г). Далее, поскольку à — ограниченное множество, то замкну>ое множество Г также ограничено. Согласно лемме 3 п. 41.4, множество Е(Г) также ограничено и замкнуто. Из ограниченности Р(Г) вытекает и ограниченность множества Р(Г), ибо Р(Г)~Р(Г). Локажсм теперь равенство (46.2). Имеем Г = Г~лдГ (см.
п. 18.2), поэтому Е(Г) = г(Г)чар(дГ). Множество г(Г) открыто и потому не содержит граничных точек множества Р(Г). Следовательно. Рис. 1уу дР(Г) с: Р(дГ). (46ь3) С другой стороны, если какая-либо окрестность О некоторой гочки множества 6, Ос:6, содержит точки как принадлежащие Г, гак и не принадлежащие Г, то в силу взаимнооднозначносги отображения г образ этой окрестности будет также содержать точки, как принадлежащие Р(Г), так и не принадлежащие г(Г). Поэтому гра. вичные точки Г перейдут в граничные точки Р(Г), т.
е. г" (д 1') ~др(Г). (46.4) Из условий (46.3) и (46.4) и следует равенство (46.2). Лемма доказана. С л е д с т в и е. Если е предполосхениях леммы 2 граница Г со. .шоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, то открытые мноусесп>ва Г и Р(Г) квадрируемы. До к а з а т ел ь с т во. В силу леммы 1 и равенства (46.2) гранина Р(Г) также состоит из конечного числа кусочно-гладких Э 4б. Замена переменных в кратном интеграле >Он кривых, Кусочно-гладкие кривые спрямляемы, а спрямляемая кривая имеет меру ноль (см. п. 44.1).
Таким образом, шез дГ = = щез дР(Г) = О, и, следовательно, Г и Р(Г) квадрируемы. Следствие доказано. Пусть, теперь (ие,ое) ~6 и пусть Ь вЂ” некоторое число. Рассмотрим замкнутый квадрат Я (рис. 139) с вершинами в точках (и, ов), (ие+ 7>, ое), (и, + й, си+ й), (и„ое+ й). (46.5) п>ее Р ($) = ) l (и„, ое) ! + е (и „о, 7>), (46.6) где функция е(и„, о, 7>) сл>ремится к нулю при 7> — н О равномерно относительно (и„о,) на любом замкнутом ограниченном множестве Л с=6. Следатвие. Ип> „, „=-!,) (и„оа)! п>ее Р (3) (46.7) для любой то»еи (ив> ое) 66.
Действительно, (46.7), очевидно, является частным случаем (46.6), например, когда множество Л состоит из одной точки (ир, о„). До к аз а тел ь ст во те о р е мы. В силу дифференцируемости отображение Р в окрестности каждой точки отличается от некоторого линейного отображения Р (см. ниже формулы (46.9)) на бесконечно малые более высокого порядка, чем приращения аргументов. Для линейного же отображения площадь образа квадрата равна произведению плошади этого квадрата на абсолютную величлну его определителя, который для линейного отображения Р совпадает с якобианом г'=У(ие, ое) отображения Р. Покажем, что плошадь образа квадрата Б прп отображении Р отличается от площади образа этого квадрата при отображении Р на бесконечно малук> более высокого порядка, чем площадь квадрата Пусть о <:6 (при достаточно малом й это вкл>очение всегда выполняется, почему?). Граница дЯ квадрата Ь', состоящая из четырех его сторон, очевидно, является простым замкнутым кусочно-гладким контуром.
В силу следствия леммы 2 множество Зе = Р(5) (см. рис. 139) представляет собой замкнутую квадрируемую область (то, что 5м — область, следует из принципа аохранения области, см. п. 41.5). Теорема Х. Пусть огнображение Р открытого множества 6сЕ~, на открьоное множеспио 6е~Е„е взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо на 6 и пусть его якобиан У(и, о) не обраи(ае>лся в ноль на 6. Тогда, если 3 — квадрат с вершинами (46.5), то 4Б.Д Геол~етричесхид смысл модуля яходиино в двумерном случие 103 5, и что ига оценка равномерна на любом ограниченном замкнутом множестве Л~О, т. е., что шез Е (5) = спев Е (5) + з тез 5, где е равномерно на Л стремится к нулю, когда сторона квадрата 5 стремится к нулю.
Поскольку Р(5) = Я 1пез 5, то отсюда и будет следовать формула (46.7). Введем обозначенига х ис ос) = хо у (ио~ оо) = уо дх (и„, оо) дх (и„, ич) =а„„"' '=ахи ду(ие, ом ду ~не с„) а 21 ась и — и,=би, о — оо — йо, Г =Мбй+До Зафиксируем некоторое ограниченное замкнутое множество Лс:сА Пусть (ио, ои)~Л. В силу днфферепцируемости функций (46.1) имеем формулы х х(и, о) = хи+ ам(и — ио)+ а12(п — Оо)+а„(и — и,)+ а„(о — оо), у = у (и, о) = (46.8) =у„+а„(и — и,)+а„(о — вв)+ам(и — ис)+а (о — ов), где функции адн(ис ос, Ли, Ло) равномерно стремятся к нулю на множестве Л при р -и 0 (сы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
