kudryavtsev2 (947414), страница 15
Текст из файла (страница 15)
и ьГгг 1Г(ножество 5» распадается на конечное число «столбиков» 5» 44 Е Понятие объема в и<вернои пространстве т)н ( м — +— Рис. ИО п)ез5а=~тез 5а()=~к'„,й'нитезДп) < откуда <[ [~" )4- 4, [д о'~ц<[ [ т"т)4- —,) ч,.ь)44.4) В силу равномерной непрерывности функции 1 на множестве А и ~~" 0 и поскольку 2 1пп — = О, а со 1ОН то из (44.6) имеем 1(п)5е=О, Е со а зто и означает, что шез Е = О. Теорема доказана.
Представляет интерес обобщить эту теорему на случай парамегри- ческц заданных множеств, в частности, иа случай параметрических кривых. Оказывается, что даже в атом последнем случае одной лишь непрерывности рассматриваемых кривых недостаточно для того, *) Если Е ~ Е"+', то проекцией лноясесяиа Е в пространство Е„'' нааыааетси множество всех таких точек х= (хы ..., х„) Р Е", длв которых существует точка (к), ..., хтн у) Е Е. **) Определение диаметра й(Е) множества Е см.
в и. 19.5. каждый из которых состоит из указанных кубов ранга й, имеющих одну и ту же проекцию (4)' в пространство Е" (рис. 130). Обозначим через о)(б) модуль непрерывности функции Г. Замечая, что диаметр (диагональ) *а) и-мерного куба с 1 ребром длины — равна 1ОФ вЂ” для высоты Ьн каж(/и (Е) !О" дого столбика 5а(т) имеем (см.
рис. 130) следующую оценку: В 44. Кровные интеграла тв чтобы можно было гарантировать, что они имеют меру ноль. Су!цествуют, например, кривые хз=хс(1), а <! <Ь, !'=1,2, ., и, г=-г(з)= — [ ), О <зм'„В, ( = х(')) ' 1у= ())' (44.7) — ее представление, где г(з) — непрерывная функция, в — переменная длина дуги, 5 — длина кривой у. Разобьем отрезок [О, Я на т равных частей точками з,=О, зх, ..., з !, зш= 5(т =1, 2, 3, .„). Обозначим через у, кривую, задаваемую вектор-функцией (44.7), рассматриваемой только на отрезке [з! !, зз1(! = 1, 2, ..., т).
5 Длина каждой такой дуги у, равна —, и так как ее началом является точка г(з! !), то вся она лежит н замкнутом круге 3 К, (почему?) с центром в точке г(з! !) и радиуса —, поэтому лс у~[)К ° г=! Следовательно, в силу леммы 3 и!езу < ~ тезК!. г=! — г я !за! Но и!езКз=п!езКг=я~ — ~, поэтому пз (48.8) *! Действительно, если К вЂ” некоторый круг, то ог (К)'з,Яа (К) состоит из точ к тех и только тех кввдрзтов рвпгв А, которые пересекаются с окружностью С, ограничивающей круг К, т. е. 5~ (К]~лз (К) = Яг (С).
Поскольку охружность С можно предстввить квк объединение двух графиков непрерывных функций, то, соглвспо теореме 1, пзез С = О. Следовательно, !йп и!ее 8~(С) = О, откуда 1йп шея Я~(К) = — Цш !и з Ял (К), т. е. шез К = г са Ф са г аа = спев К. ( хг(() — непрерывные функции) называемые кривыми г7еано, которые проходят через каждую точку некоторого п-мерного'куба и, следовательно, не имеют меры ноль.
Ззхвчв 2!. Построить пример кривой Пеево. Теорелеа 2. Всякая спрямляеная кривая на плоскости илгеет лгерг) ноль. До к а з а тел ь с т в о. Пусть задана спрязгляемая кривая у 44 Г. Понятлле объема в и-л~ернолл пространстве пол гневу <— ы Левая часть неравенства ие зависит от т, а правая — стремится к нулю, когда т-ь оо, поэтому глез у = О. Теорема доказана. У п р а ж н е н и е 4. Докааать, что всякая спрямляемая кривая в трехмерном пространстве имеет меру ноль. 'а л„ ! йп ~, гпез Ял = ! пп гпез 1) ф, = гпез Е= О. "" со Ф сс Замечая, что ь Г 2 гпез Бег < !16+ — 1 п|езЯл, ,о~,' получим = '~'„гпез Лег < ~А+ — 1 ~" тезки * га е гнева,=гнев 1) 5и откуда ! пп птез Яе = О.
А со Теорема доказана. Определение 4. Пусгиь Е ~Е"„гг задано число Ь)0. Рассмотрим !и+!)-мерное пространство Е'„'+' точек !х„..., х„„у). Множество Е„= !!х„..„х„, у): (х„..., х„) Е Е, 0 < у ( Ь) называется гггллиндром с основаниелг Е и высотой равной й. Теорема 3. Если гпезЕ=О в Е, то гпез Ел=О в Е„"+', т. е. мера ггилгигдра с основаниелг меры ноль равна нулю. Лак а за тельство.ПустьгпезЕ=О ипустьЯн=Ее(Еа) — множество точек всех !гг+1)-мерных кубов ранга й, пересекающихся с цилиндром Е„. Множество Ял.
распадается на конечное число «столбиковв Яы, г'=1, 2, ..., г„, состоящих из указанных кубов, имеющих одну и ту же проекцию Цл в пространство Е„". Эта проекция 9л является, очевидно, и-мерным кубом ранга й в пространстве Е'„', пересекающимся с Е. Обратно, всякий и-мерный куб ранга й в пространстве Е"„, пересекающийся с множеством Е, является проекцией некоторого столбика Ееб поэтому из условия гпезЕ=О имеем ф с4, Кратные интеграла 44.2. Квалрируеь»ые и кубируемые множества »пея 5„~ шея 5»„ откуда в пределе получим гнея 6 < шея 6.
Определение д. Ограг»»»»енное открьнпое множес»пво 6~ Е" называется нубир»7елиел» (квадрируемым в случае п 2), если его мера совпадает с верхней л»врой 6, т. е. »пея 6 шея б. (44.9) Для упрощения терминоло- Р»»с. 18» гии мы в дальнейшем будем опускать замечание о том, что при и = 2 рассматриваемые множества называ»отся не кубнруемыми, а квадрируемыми.
Теорема чт. Ограниченное откры»пое мнов»тес»ти»о кубируемо тогда и только тогда, когда его граница имеет меру ноль. Д ок аз а тел ьст во. Обозначим через яд множество точек кубов ранга7», каждый из которых содержится в5», но несодержится в множестве 5ы Так как дб = 6 6, то я„состоит из точек тех и только тех кубов, которые пересекаются с грапипей множества 6 (см. лемму 7 в п. 18.2), поэтому 1пп яе — п~ев дб. г са Очевидно, в силу определения (44.2) шея яь — — п»ея 5» — »пея 5,. Отсюда следует, что если условие (44.9) выполнено, т. е. Игл» пез 5„= 11п» п»ея5»ь е со * со (44. 1О) (44.11) (44.12) 1»гп»пея ял = О, е сс н Пусть теперь 6 — ограниченное открьпое множество в Е ° 6 — его замыкание.
Обозначим через 5г=5е(6) множество ~очек кубов ранга»г, пересекакщихся с 6, а через 5ь —— 5„(6) — множество точек кубов, содержащихся в 6, й= О, 1, .... Очевидно, что 5„с:5г для каждого /г (рис. 131), поэтоя»у 44лй Определение кратного интеграла 81 т.е. гпезд6=0. Обратно, если выполняется условие птезд6 = О, т.е условие (44,12), то из (44.10) в силу существования пределог: (пп 1пезЗз и 1!п1 гпезЗз получаем (44.11) и, следовательно, (44.9). ь со а со Теорема доказана. Упражнепня.
4. Доказать, что 1) сумма конечного числа открытых кубнруемых множеств также является открытым кубнруемым множеством; 2) пересечение конечного числа открытых кубнруемых множеств также является открытым кубнруемым множеством. У к а з а н н е. Показать предварительно, что для любых двух множеств А н В пространства Вп д(А ~ В)сдА дВ, д (А г~ В) с дА с т дВ. 5. Доказать, что если О н à — открытые кубнруемые множества Гсб ь О = О'ьГ, то О также открытое кубнруемое множество н глез О =- глез Π— гпез Г. Заметим, что в силу результатов п. 44.1 всякое открытое ограниченное множество, границу которого люжно разбить на конечное число частей, каждая из которых является графиком некоторой непрерывной на ограниченном замкнутом множестве функции или цилиндром с основанием лгеры ноль, является кубируемым ыноже. ство м.
Определение б. Замыкание 6 открытого кубируемого множества 6 также называется кубируемым множеством, и по определению считается, что щез 6 = гпез 6. (44.13) Естественность этого определения следует из теоремы 4. У и р а ж н е н н е б. Доказать, что множество, состоягнее нз конечного числа кубов данного ранга, кубнруемо н его мера в смысле обоих определений (44,2) н (44.13) одна н та же. Задача 22. Построить пример неквадрнруемой области. 44.3.
Определение кратного интеграла Определение 7. Пусть 6 — кьбируемое открытое мяожество в Е". Систпема т =- (6,)',." ,кубируемых отпкрьипых множеств 6, называется разбиениелт множества 6, если 1) 6г с: 6, ( = 1, 2, ..., 1„; 2) 6,— попарно не пересекаются; ы 3) () 6;=6. г=! ЧС1СЛО б, = гпа х д (6,.), Ф 44. Кратные интеграла! (44.14) гпев6= ч". гпевбп г=! Локан ательство.
Пусть Яь и Б„! — совокупности точек кубов ранга /г, целиком лежащих в 6, соответственно в 6г, а оь — совокупность точек кубов ранга гг, пересекающихся с какой- либо из границ д6г, !=1, 2, ..., гсс Тогда ! ! () Ел!~Вас=о, -~ () Е,и г=! ! ! откуда в силу определения (44.2) гг гг гнев () Ва! < гнев Яь < гнев о„+ пзев () 5 !.
(44.15) ! ~=! Множества 6„!=1, 2, ..., ги, а значиг, и Яа! (гг фиксированно) не пересекаются, понтону гт гг гнев () Ел!=~ гпевБ»п г-! г=! и, следовательно, га гс Ип!гнев () Ее!= л~и ИгптевЯ„;= ~ тев6е (44.18) и сс ! — ! ! ! г сс г=! Всех множеств 6, конечное число, позтому из кубпруемости каждого из них следует (см. теорему 4), что (44.1?) Ипггпево =О. ь са Наконец, Игп гнев Яа= тев6. и сс Переходя к пределу при я -и оо в неравенстве (44.18) и используя (44.16), (44.17) и (44.18), получаем равенство (44.14). Лемма доказана.
Определение 8. Пусть т =-(6!) и т' = (6;)໠— разбиения (44. 18) ь! Дни простоты обозначений иногда будем вместо(й!)г='„' писать просто (й!). еде д(6!)-диаметр множества 6р называется мелкостью разбиения т. Лемма 4. Если т=(6!),' !' является разбиением 6, то Ве.з. Определение кратного интеграла аз открытого кубируемого множесгпва 6. Разбиение т' называегпся разбиением, вписанным в разбиение т, если для каждого элемента 6~ ~ т' существует элемента 6,(-т, такой, что 6~с: 6с В этом случае пишут т') т, илн т(т'.
Свойства разбиений. 1. Если т л т' и т' (т", то т ' т". 2. Для любых двух разбиений т' =-(6;) и т"=(6г) кубируемого открытого множества 6 существует его разбиение т, такое, что т ) т' и т ) т". Свойство 1 очевидно. В качестве указанного в свойстве 2 разбиения т можно взять множество всевозможных непустых пересечений 6г - 6ь Примером разбиения кубируемого открытого множества 6 является, например, совокупность всевозможных непустых пересечений данного открытого множества 6 с открытыми кубами некоторого фиксированного ранга й. Отсюда видно, что для всякого кубируемого открытого множества 6 существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, Определение У. Пусть на мыкании 6 опжрьипого «убируемого множества 6 с: Е" задана функция у = )(х) = 1(хм ..., х„) и т = (6Д'; 1ч — некогпорое разбиение мнозкегтпва 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
