kudryavtsev2 (947414), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Насв будет удобно интерпретировать функцию Р(ср) как функцию точки окружности С с центром в точке (х„у,) и радиуса равного 1 (такой радиус выбирается для простоты, чтобы длины дуг еовпадалп о угламн ср). Пусть е)О. Обозначим через (/с . (/с(е) открытый угол, определяемый неравенством Чсс — е к" ср (ср, + е, т. е. (/ =((» ср):ср — е(ср<срс+е) еоотвеготвенно положим (/,=((», ср):ср,— ек" ср(сря+е); при этом выберем е ) О столь малым, чтобы (/с и (/я не пересекались и не содержали в себе полуоси ординат, а значит, и вообще вертикальных полупрямых (последнее всегда можно выполнить вследствие условий (41 49)). Пусть 1/с и (/е углы, центральна симметричные с (/с и (/з относительно тачки (х, у,): 1./ с =- ((», ср): ср, + я — е <..
ср ( ср, + и + е), (/:=И, р):ч,+и — е«р«р.+ +'). В силу выбора числа е множества 1/„1/е, (/1 и (/с попарно не пересекаются (рис. 126). Рассмотрим теперь функцию Р(ср) как функшсю тачки вышеуказанной окружности С. Точку окружности С, которой соответствует полярный угол ср, будем для простоты также обозначать через ср. 4дб Уравнение, е котором нарушаются условия единственности Удалим из указанной окружности интервалы с центрами в точках суы ср„тр, + тс и ср, + и длины 2нр~; в силу выбора е) 0 эти интервалы не пересека~отся. Оставшееся мнсокество, которое обо- Рис. /уб значим В, является ограниченным замкнутым множеством.
На В функция Р(ру) непрерывна и не обращается в нуль, понтону (п(~ Р(су) ~ =1с) О. (41.51) тел Обозначим через Кр замкнутый круг с центром в точке (х„уа) и радиуса р: Кр — — ((г, ру): 0 ~(г < и), а через /.р обозначим множество, которое получается вычитанием (в теоретикомножественном смысле, см. п. 1.3) множеств (/ы (/„ и (/а из круга К . Очевидно, что в силу (41.51) (п( ~Р(ср)~=р)0. ы.
е>еде «) Интервалоы длины та на окружности с центром в точке, полярный угол тоторой равен ~рр, называется множество ее точек, полярные углы рг которых /довлетворяют йеравенству рр — е С ~р < юр+ е. а 4л неявные 4анкчри Теперь, замечая, что нз (41.46) следует Р(х, у)= — (Р(4)+с (г, Ч)], (41.52) где 1пп а(г, ~р) = О, выберем р р О так, чтобы при г < р выполняг О лось неравенство 1а(г, <р)1(1ь (41.53) Тогда из (41.52) следует, что для всех точек (г,гр) ~ Ер выражение, стоящее в правой части формулы (41.52), имеет знак Р(гр).
Множество Ьр состоит из четырех замкнутых секторов (см. рнс. 125), па каждом из которых за вычетом их центра функция Р (~) и, значит, в силу выбора р и функция Р(х, у) принимают значения одного и того же анака, а на соседних секторах — разных. Рассмотрим теперь угол Уд = У,(е). Пусть для определенности О «р,(-. Пересечение замыкания Т/я угла О, с вертикальной 2' прямой х = хр, х„( х* < х, + р соз (<р, + е), представляет собой отрезок, на верхнем и нижнем концах которого функция Р(хе, у) принимает значения разного знака. Функция Р(х*, у), рассматриваемая как функция одного переменного у прн фиксированном хя, будучи непрерывной па указанном отрезке обращается в некоторой его точке у* в нуль, т.
е, для каждого х", где х,( х* < х, + рсоа (срг + е), существует по крайней мере одна точка у*, такая, что Г(хР, уя) =О, (х", уя)~Юг (е)г Кр. Определим функцию у = 1,(х) как функцию, ставящую в соответствие числу хр число ур: ~,(х*)=у', х (х* <хр+рсоз(ср,+е).
Покажем, что при достаточно малых е и р функция (, определена однозначно, т. е. существуют такие е > О и р О, что при заданном х* условия (41.54) однозначно определяют у'". Допустим противное. Возьмем последовательности ея-э О и р„-~ О при л — ар. Тогда существуют две последовательности точек с одинаковыми абсциссами х„и разными ординатамиу„и у„, такие, что (х„, у ) ~0,(е„)г К,, Г(х„, у„) =О, (~п уя) ~~~> (ер)' 'Кр Р(хур уя) =О. 4кб 'стровнение, в которан нарнсвонттсв условие единственности зе Тогда в силу теоремы Ролля на отрезке 1у„у„1 прямой х=х„найдется точка у„такая, что Г(х„, у„) О, (41.55) при атом, очевидно, (хв ув)6(~ (а„) 'Ке„; по условию (см.
41.39) мы имели еще е у (х уо) = О. (41.56) По формуле конечных приращений, примененной к функции Г(х, у), Уу(хев Ув) Уу (хоэ ) о) =Уук(5вэ Чи)(хв — хо)+ руу(5а, Чю)(ув — Уо) ° (5 т) ) б бс (е ) П Кв., откуда в силу (41.55) и (41.56) г„у(~„, и„)+У„(5в, пв)'","' =О. Пусть (хтв у„)=(ттв фн). Очевидно, И.— ч !<а;, (41.57) поэтому из условия е„-нО следует, что ф„-н<рт при л- со, и так как 1п ф =~ с' Уо, то й ун уо (41.58) кн ко Переходя к пределу в равенстве (41.57) при а — у ао, в силу (41.58) имеем о о Г +Г й=о, т. е.
й т ро уу подставляя зто значение корня в уравнение (41А4), получим о о оо е скаут е'ну=О» что противоречит условию (41.42). Итак, функция у = цх) действительно однозначно определяется при достаточно малых е и р. В дальнейшем будем предполагать, что а и р выбраны именно таким образом. 52 З 4Ь Ненвнме Функции .Г(аанрЕЛЕЛИМ фуНКцнЮ гд В ТОЧКЕ Хдн ПОЛОЖИВ у, = бд(ХО). ОЧЕ- видна, на самом0 опРеделению фУнкции )д(х! имеем Г (х, 1,(х)) =О, х, < х < хО+рсоз(фд+е). Покажем, что у функции 1д(х) существует в точке х, производная справь и что она равна лд.
Пусть произвольно фиксировано е ) О. 14з данной выше конструкции видно, что существует р = р(е) ) 0 такое, что соответствУющан часть гРафика фУнкциигд(х) целиком лежит в (.дд(е) Ки: (Х, Гд(Х))~Од(е) К„хи <Х <Х,+рсоа(фд+е). (41.69) Возьмем Ь=рсоз(фд+е) н пусть х таково, что 0(х — х, (Ь, у=)(х) и (х, у) =(г, ф). В силу (41.59) имеем (ф — др, ((е. Это означает, что !!гп ф =ф, и потому Ипд 1пф=1пфд. Поскольх «,+О к к,+О ку 1иф= ', то из доказанного следует Игп — = )пп 7 — Уо !д (к) — !д («0! =(уф,, х к+Ох «0 к х+О к — «0 т.
е, у функции )д(х) сушествует производная справа в точке х„рав- ная 1Я фд = Ад. Подобным же обрааом из рассмотрения поведения функции Р(х, у) в угле 0, доказывается, чта при некотором Ь' ) 0 на отрезке !х, — Ь', х0! сушествует функция )д(х), такая, что Е(Х, Гд(Х)) =О, ДОΠ— Ь' <Х < Хдн (х, г, ( )) ~ и*., х.— Ь < „ )д(хО) = йд (пад производной, естественна, в данном случае понимается производная слева). Если число р взять столь малым, чтобы в окрестности точки (х„, у ) радиуса р не содержалось других особых точек уравнения (41.3д), кроме точки (х„, уО), то функция !д(х) будет дифференцируемай н во всех точках х Ф хО.
Это сразу следует из доказанной выше теоремы а неявных функциях (см. теорему 1 в и. 41.1). В результате мы и получили функцию 1(х), определенную в некоторой окрестности точки хО и обладающую всеми требуемыми свойствами. й.б. Урпвнение, в катарин норусиоются условия единственности Лналогично доказывается существование функции /т(х), также являющейся решентсем уравнения (41.37) и удовлетворяющей ус- ловиям теоремы, график которой проходит в углах (7в н (/т. о а Если Г = О, а Р„„ф О, то все рассмотрения проводятся ана- логичным образом; следует только поменять местами роль осей Ох н Оу, так что в результате получим решение уравнения (41.37) в виде функций от переменной у: 7т(у) и Яу). Если, наконец, г",, =)ота =О и, значит с~в+О, то проще все- го сделать замену переменных: х=$+т), у=й — т) т.
Х повернуть оси координат на угол — '~, тогда как в этом легко убедиться непосредственным дифференцированием: ~4= — Е,'з=2Е„',+О, Г,'о=О, т. е. в новой координатной системе получим уже изученный случай. В частности, уравнение (41.44) для угловых коэффициентов каса- тельных в особой точке в координатной системе $, т) имеет вид /Р— 1 =О, и, значит, йце — — ~1.
Иначе говоря, биссектрисы координатных углов, являющиеся координатными осями в старой системе коорди- нат х, у, суть касательные к графикам двух функций, которые определяются уравнением (4!.37) в некоторой окрестности рассмат- риваемой особой точки. Теорема 5 доказана. Если уравнение Е(х, у) = О является неявным представлением какай-либо кривой, то в особой точке(х„ у,) этого уравнения кривая может (хотя и не обязана) иметь какие-либо особенности, т. е. в окрестности особой точки этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции. Следует напомнить также, что геометрическое место точек, коор- динаты которых удовлетворяют уравнению (41.37), вообще говоря, не являются всегда кривой в смысле данного ранее определения кривой (см.
п. 17.1)„задаваемой параметрически. Рассмотрим п р и м е р ы. 1. Пусть дано уравнение уе(хт + ув + 1) = О. Здесь г(х, у) = у'(хе + у'+ 1), поэтому Г„= 2ху', Р = 2хау + 4у' + 2у. Условия особой точки (41.38) и (41.39) дают в этом случае ха=О~ уа=О, Таким образом, особой точкой является точка (О, О), однако в этой точке кривая, определяемая уравнением, не имеет особенно- а дб Иеявнме функции сти, так как данное уравнение (множитель х'+ у'+ 1 нигде не обращается в ноль) равносильно уравнению у = 0 и рассматриваемая кривая является графиком явной функции 7(х) = О. Отметим, что, как легко убедиться, в этом случае в точке (О, О) (41.60) 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
