kudryavtsev2 (947414), страница 7
Текст из файла (страница 7)
дур Отсюда в силу теоремы 1< п. 41.1 следует, что уравнение Р,(х, у)=0 может быть разрешено относительно переменной у в некоторой окрестности точки (х<и у„). Сформулируем это более точно. Обозначим через О окрестность точки (х<о>, унч), в которой функции г„<=1, 2, ..., р, непрерывно дифференцируемы. Тогда найдутся прямоугольная окрестность Оа+е < точки (х>, ...,хе, у<,,, у, <) н окрестность О точки у„такие, что е <о <о> <о> <о> < , «о> Оа+' < х О ~ О, н существует определенная и непрерывно дифференцируемая на Ра~ < функция Ур=<Р(х>е -ы хо Ум -' Уа-<)э удовлетворяющая следующим условиям: если (х1 у)=(хм -" х„.
у' "ы уя-<) б О ° то <р (х, у) = <р(х„ ..., х , у„ ..., у > ) ~ О', (41,1О) Ра(хм ..., хе, Уо „„Ур «, Р(х, У))=0, (41.11) <р(х >, у )=у,„, (41.12) где Подставим в первые р — 1 уравнения системы (41.8) выражение (41.9), тогда, вводя обозначение Ф<(хт ° х ум у -< )= =Е<(х„..., х„ум ..., у, «, р(х„..., х„у„..., у,)), < = 1, 2, ..., р = 1, (41.14) получим следующую систему р — 1 уравнений с р+(> — 1 неизвестными: Ф,(х„..., х, у, ..., у, >)=О (41.15) Ф <(х„..„х, у» ..., Уя <) О. д о!. Нервные Функции (41.18) ду! дР, д>р ду! дЕ! д>р ду! ду, ду ду! '" дур , дур дур , ду ддр дрр дв ду ду ду р+ дд, дур ду , ду ( <о> <о>) ду ! ду дФ, дФ! дР'! д>, "' дур ! д) ду (х<о> у<о>) д(Ф, ..., Фр !)1 ду д(ух ".
у~ )~ — дФр †! ду, ду ! ду ~ О ... О ( <о> <о>) Покажем„что эта система удовлетворяет условиям, которым удовлетворяет система (41.8), если только заменить р 'на р — 1. Действительно, функции Ф>р й = 1, 2, ..., р — 1, непрерывно диф- ференцируемы в окрестности Ор+о-! как суперпозиция непрерывно днфференцируемых функций. Из условия Е<(х<о>, у<о>) = О, ! = =1, 2, ..., р, и условий (14.11) и(14.12) сл>дует, что Фо (х<о>, у<и)= =О,/г=1,2, ..., р — 1. Докажем, что в точке (х'", у' ') [см. (41.13)) д (Ф,, ..., Ф ,) д(У! " Ур !) Для этого предварительно заметим, что из (41.9) н (41.14) следует, что — = — -1- — —, <, я=1,2, ..., р — 1, дФ, И., др< др дуо дур д) р дур а нз (41.11), что — — ~ = О, Й = 1, 2, ..., р — 1.
(41.17) ду, ду, д(р>, ... Л) ! ! ол~* ''-" ' ! ~~ ву р! д(У! ", Ур) последний столбец, умноженный на ~, Й = 1, ..., р — 1, отчего, как известно, величина определители йе изменяется. Поэтому, ис- пользуя (41.16) и (41.17) и раскладывая получившийся определитель по последней строчке, получим д(Р>, ..., Рр) д(у,...,, у ) („<о> <о>) 4ЛЗ. Ненвнне фкнняаи, определенно<в еиеуее ой рровнений и так как левая часть равенства отлична от нуля, то отлична от нуля и правая, откуда д(»..... » <)~( <о> -<о>) В силу выполнения для функций Ф<, >=1, 2, ..., р — 1, ус- ловий, аналогичных условиям для функций Ро > = 1, 2, ...„р, и согласно предположению индукции система уравнений (41.15) однозначно разрешима относительно переменных у„..., ур > в некоторой окрестности точки (х<о', у'о>).
Точнее, пусть Он+о прямоугольная окрестность точки (х< ', у' '), полученная при <о> -<о> разрешении уравнения Ер —— 0 относительно переменной у . Раз- ложим ее в произведение прямоугольных окрестностей О, и 0- у точек х =(х'> ', ..., хо ) и у =(у> ', ..., у,' '<) соответственно в пространствах Е„и Е- (здесь у=(у„..., у,)):О = О, м О-. Тогда существуют окрестность О„~ О„' точки х'о' ° -<о> окрестность 0- ~ 0- точки у и система функций у у=1 ()=1( *-,)* (41.18) ур > = >„> (х) = > > (х,, х ), определенных и непрерывно дифференцируемых на множестве 0„ и удовлетворяющих следующим условиям: если х ~ О, то (1>(х), ...,1 > (х)) ~ О-, (41.19) и на О„функции (41.18) удовлетворяют системе уравнений (41.15) Ф>(хм ..., х, >,(х), ..., > > (х)) = О, (41.20) >=1,2, ..., р — 1. Подставляя выражения (41.18) в (41.9), получим функцию от х, опРеделеннУю на 0„4 обозначим ее >р: ур — — <р(хм ..., х, >>(х), ..., )р >(х))=>' (хо ..., х )=>" (х).
(41.21) Покажем, что система функций уо —— ~о(хм ..., х„), й= 1, 2, ..., р, (41.22) (см. (41.18) и (41.21)) и является искомой системой функций, удов- летворяющей требованиям, сформулированным в теореме. В самом деле, пусть 0 = 0- х 0', тогда, если х ~ Ов„то в силу (41.19) и (41.10) ~(х) = (1>(х), ..., /р(х))~0 . Из (41.14), (41.20), зв 6 4!. Нененме функции (41.24) и так как уравнение Рр (х )т ур) 0 имеет единственное решение для каждой фиксированной точки (х: ум "., ур,) ~ Ок х 0-, то из (41.23) и (41.24) получаем ч'(х; !'*,(х), ..., ~~, (х)) = !'(х), х~О„. (41.25) Далее из (41,14) и (4!.25) имеем «р; (х; )~ (х) -.
Р* 1(х)) = = г",.(х", 1;(х), ...,1* , !х), ее (х; 1*, (х), ..., 1* ,х)) = = !', (х; Р*, (х), ..., ~„'(х)) = О, х = (х,.) ~ 0„, т. е. функции 7*,, ..., ~~, являются решением системы (41.15) на 0„; но мы Уже имели на О„Решение втой системы 1м ..., 1 По предположению индукции решение системы (41.15) единственно, поэтому 1;(х)=1,. (х), ' = 1, 2, ..., Р— 1, х 6 0„. Отсюда в силу (41.25) и (41.2!) ~* (х) = ср(х; ),(х), ..., 1 ,(х)) = ~,(х), х ~ О„.
Единственность решения системы (41.6) доказана. (41.21) и (41.1! ) следует, что г;(х, 7(х)) = О, 1 = 1, 2, ..., р, для всех х(- а„. Наконец, в силу теоремы о производной сложной функции все функции !ь 1 = 1, 2, ..., р, непрерывно дифференцируемы на 0. Остается доказать единственность указанной системы. Пусть функции )и ..., )„также образуют решение системы (41.8), опре- делены на окрестное~и О„и отображают ее в окрестность О„. Покажем, что тогда (,.
= )~, ! = — 1, 2, ..., р, на Оке Перепишем равенство (41.11) в виде Гр (х; у„..., ур — „<р(х; у„..., ур ~)) = О, (х; ум ..., ур ~) ~ О,. х Ор, в частности, считая у; = ~; (х), х~О„, 1= 1, 2, ...„р — 1, получим пр (х; ~~ (х), ..., ~ з (х), <р(х; )ь (х), ..., )~" ~ (х))) = О, х ~ О„. (41.23) На О„выполняется также равенство г",(х, Д (х), ..., ~р(х)) = О, х ~ 0„, 4!Х Отобран<анан. Санбат»а»»об»анан »тавр»же»на 41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений Пусть задана система функций уг =1>(х„..., х„), г = 1, 2, ..., пг, (41.26) определенных на множестве Ес:Е„". Такая система функш>й, очевидно, определяет новую функцию„ставящую в соответствие точке х = (х„...,х„) ~Еточку у = (у„...,у,„) <-Е .Зтафункция, которую мы обозначим у = /(х), обычно называется опгображением ъщожесгва Ес:Е„" в пространство Е..
Напомним (см. п. 4.1), что множество 1(Е)=(у: у =1(х), х ~ Е) называется образом множеппва Е при отображении 7(х). Если Ос:)(Е), то множество '(О)=(х:1(х) ~ О, х С Е) называется прообразом множества О. Если 1(Е)~О, то мы будем говорить, что отображение 1 отображает множество Е в множество О. Если же 1(Е) = О, то— на лгножество О.
Определение 9. Оп>ображение (41.26) назь<вается непрерывным (соответственно дифференцируемым, непрерывно дифферени ируемым и т. и.) в точке х<а> ~ Е, если каждая из функций (41.26), задающих зто отображение, нетгрерв<вна (ссапгвепгспгвенно дифференцируема, непрерывно дифференцируема и т. и.) в точке х<м. Не прибегая к понятию непрерывности функций, задающих отображение, условие непрерывности отображения в точке х<а> можно перефразировать, например, следующим образом. Определение 9'.
Отображение у=1(х) множества Ес: Е„" в пространство Е'" называе>пся непрерьгвным в точке х<а> С Е, У , 3» если для любой окрестности О с:.Е точки у<а>=)(х<а>) существует окрестность О„~ Е» точки х<а> такая, апо ~(О т ~Е) т Оу (41,27) Действительно, пусть отображение1(х) = (7>(х), >=1, 2, ..., т) непрерывно в точке х<а> в смысле определения 9, пусть уг <о> = 7> (х<а>), г = 1, 2, ..., т, и пусть задана кубическая окрестность О =Р(у<а>; е) точки у<а> в Е . В силу непрерывности кагкдой у из функций 1и г = 1, 2, ..., т, в точке х<м существует такое 6= = 6(е)) О, что если О„= О(х<">; 6) — 6-окрестность точки х<а> в то ~),(х) у,<а>1(е, г'= 1, 2, ..., т, для всех х ~ О„гЕ. Зто означает, что )(х) =()>(х), ..., 1 (х)) ~ О и так как х — произвольная точка множества О„т- Е, то 1(О„лЕ) с О„ 98 у 4д Неявные функции Пусть теперь отображение ?(х) непрерывно в смысле определения 9'.
Для удобства снова будем брать в качестве окрестности О кубическую окрестность О = Р(уш>; в). По условию (41.2?) для любой окрестности О„существует такая окрестность О = О(х!ь1; 6), что если х ( О„- Е, то 1(х) = =((1 (х), ..., ?„, (х)) ( О, т. е. 1?, (х) — у)~'( к. в, 1 = 1, 2, ..., т, а это и означает непрерывность каждой функции ~п 1= 1, 2, ..., т, в точке лкв>. Лемма 1. Отображение ? множества Е ~ Е," в Е'" непрерывно в точке х ( Е тогда и только тогда, когда для любой гходяи4ейся последовательности точек хов ( Е, у=1, 2, ..., такой, что Ишх4л) = х(Е, выполняется условие 1!ш ?(х'л>) = 1(х).
(41. 28) Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие (41.28) равносильно условию )нп~,(хин) = ~,(х), ю'=1, 2„..., А (см. теорему 1 п. 18.1), которое означает непрерывность функпий (, (см. и. 19.2) в точке х„а следовательно, и отображения ?. Отображение ? множества Ег Е, в Е, называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества Е. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах легко обобщается и на случай непрерывных отображений. Лемма 2. ??усть Š— ограниченное зомкнупюе л~ножество Ег:Е"„', а ? — непрерывное отображение Е в Е, Тогда ?(Е) также ограниченное зочкнутое л~ножество.
До к аз а тел ь ст во. Если отображение ?(х) непрерывно, то, согласно определению 9, задающие его функпии (41.26) также непрерывны, итак как Š— ограниченное замкнутое множество, то они ограничены на нем (см. теорему в п. 19.4), т. е. существует такая постоянная М ) О, что для всех х(Е выполняется неравенство ~~;(х)( < М, 1= 1, 2, ..., т. Следовательно, множество КЕ) ограничено. Покажем теперь, что ?(Е) замкнуто. Пусть у ( ~(Е), тогда существует такая последовательность точек у<л> (?(Е), Й = 1, 2, ..., что 1пп упп = у. Выберем по точкех~м из прообразов точек у<М при отображении ?: к'л> (Г"(уао), й = 1, 2, .... В силу ограниченности множества Е по теореме Больцано — Вейерштрасса (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
