kudryavtsev2 (947414), страница 4
Текст из файла (страница 4)
н ~Лх,.' (6'. ! ! Если при этом кратный ряд а 1(а) (( (о!) ! н г=! будет сходиться к Лу=)(х) — 1(х!о!) (см. и. 38.2), то получится формула Лу =1(х) — )'(х!о!) = " —,1 — Лх,+ ... + —. Лх„~ 1(хго!) ° ~(а) И гзх1 ох„ а -! где х=(х,) и х! — х( ! = Лх!, г=1, 2, ..., п. Отс!ода, перенося 1(лно!) в правую часть, получим разложение функ- ции в кратный степенной ряд, называемый рядом Тейлора функции 1: ~ е) У(х) = ~ — ~(хз — х! ) д— + .*. +(хн — хн') д — 1(х" ), ~1 е=о илп, что то же, '~~~~ 1 о(а)( <о!) а=о У п ражие и ие 7. Разложить е ряд Тейлора функцию 1(х. у) = е'+'.
3 49. НКСТРВМУМЫ ФРНКЦИН МНОГИХ НВРИМВННЫХ 40.1. Необходимые условия экстремума Изучаемые в настоящем и некоторых следующих параграфах вопросы носят аналитический характер, и их доказательства по существу не усложняютси при увеличении числа переменных, поэтому мы для некоторого разнообразия проведем'их рассмотрение сразу в об!цем и-мерном случае, указывая в случае необходимосы их специфические особенности для случая л = 2 и п = 3. Ид Необходимые условия эяпрелгума Определение 1. Пусгпь функция 1(х) определена на множесгпве Ес:.Е".
Точка хго> >- Е наыхвоется точкой строгого максимума, соответственно точкой строгого минимума, если суи(ествует токая окрестносгпь 0(х>о') точки хго>, чпо выполняется неравенство г (х) ( ) (х>о') (соответственно 1(х) ) ) (х>о>) для всех точек х>;О(х'о>)гЕ х~х>о> (рис.
118). Таким образом, точка строгого максимума(соответствепно строгого минимума) характеризуется тем, что глг = 1(х) — 1(хго>) ( О (соответственно гу)) О) при всех х~О(хго>)гЕ, х-и- х«». Рис. 1И Если же для >почки хго> сугцествует такая окресп>ность 0 (хго>), что для всех точек к~О(хго>У Е выполняется условие 1(х) < 1(х>г») (соответственно 1(х) > Г(х>о>)), то точка хго> называется просто точкой максимума (ах>п>ветственно минимулга).
Определение2. Точки (строгого) максилгума и минимума функции наэываготся точками (строгого) экстрел ума. Теорема 1. Пусть функция Дх), х = (х;), ю' = 1, 2, ..., и, определена в некоторой окрестноапи точки х<о>; если эта >почка являегпся точкой экстремулга функции 1(х) и если в эп>ой точке суи1естеуспг д( производная — (г — 1, 1, ..., и), то она равна нуля>. г д( („<о>) — = О. дх. С л е д с т в и е. Если функция )(х) дифференцируелга в точке эсстремума хго>, то ее дифференциал равен нулго в гогой точи: йг( ~о>) О д 40. Эксеремух<ы 4ункииа многих неременнык Доказательство.
Пусть для определенности 1=1. Если точка х<'> = (х>", ..., х„"') является точкой экстремума для функции > (х) =1(х„..., х„), то точка х> ' является точкой экстремума <о> У для функции 1(хм х<о<'>, ..., х'„') одной переменной хе (рис. 119), поэп>му, если в этой точке 01 существует производная —, дх> ' м> то по теореме Ферма (см. п. >и х* 11.1) она равна нулю, т. е. — — — — — г"'=(хн> гсн) д1 (х<">) хг Рис. 119 4 (хм х<о>, ..., х<о>) ( с>х> ~к, к> <о> =О.
Аналогично обстоит дело в случае л>обой другой переменной х1(1 = 2, ..., я). Если функция >'(х) дифференцируема в точке экстремума х<о>, то в этой точке существуют все производные — (1 = 1, 2, ..., и) и, д1 согласно доказанному, все они равны нулю, йозтому и с(Р(х<о>) = ~~ <(х< = О. д( (х<о>) <=! Теорема и следствие доказаны. Рас.
1х0 Рис. 1г1 Рассмотрим п р и м е р ы. 1. Найдем точки экстремума функции г = хе + у'. Точки экстремума в силу доказанного находятся среди точек, для которых <(г = О. Так как с(г = 2х<(х + 2ус(у, то условие <(г = О выполняется в единственной точке (О, О). В этой точке г = О, во го.д достаточные условия строгого гкстремуаа всех же других точках г =- х' + у' ) О. Поэтому точка (О, 0) является точкой строгого минимума для функции г = х'+ у' (рис. 120). 2.
Исследуем точки экстремума функции г = х' — у'. Поступая аналогично предыдущему случаю, находим, что условие йг = 0 снова выполняется в точке (О, 0) и в этой точке г = О. Однако здесь при у = 0 и любых х+ 0 имеем г > О, а при х = 0 и л1обом у + 0 имеем г с" О. Поэтому точка (О, О) не является точкой экстремума, и, значит, функция г = хе — у' вообще не имеет экстремальных точек (рис. !21).
40.2. Достаточные условия строгого экстремума Напомним несколько определений из курса алгебры. Определение 8. Квадратичная форма А(х) = А(х,, ...,х„) = аьухгхр ау= ад, 1,/= 1, 2, ..., п, называетсЯ положис г 1 тельно (соответственно отрицательно) определенной, если А(х)) 0 (соотпветпственно А(х)(0) для любой точка х ~ Е", х+ О. Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрица- тельно определенной, наяяваетпся просто определенной квадратичной формой. Определение 4. Квадртпичная форма, принимшищая как по- ложительные, тик и отрицательные значения, назьвается неопре- деленной.
Лемма г. Пусть Б — единичная сфера в Е": 5 = !х: х1+ ... + х„= 1), и пусть А(х) — определенная квадратичная форма, тогда !п1! А(х) ! = р) О. сез Д о к аз а тел ь с т в о. Функция А(х) является многочленом второй степени по переменным х„..., х„, поэтому А(х), а значит, и ~ А(х) ~ непрерывны на всем пространстве Е". Отсюда следует, что функция !А(х)! непрерывна на ограниченном замкяутом множестве Ю. Согласно теореме Вейерштрасса, функция ~ А(х) ~ достигает на 5 своей нижней грани, т.
е. существует такая точка х<о> ~ 5, что р = ! п1 ! А (х) ! = ! А (х<о~) (. сев По определению определенной квадратичной формы ~А(х) ! + 0 для всех точек хс 3, значит, в частности, р = ! А(х'") ~ + О. Лемма доказана. 4 40. Экстремумы функций многих переменных Определение Б. Пусть 4ункиия г дифференцируема в точке х>в> г Е". Если а>(х>в>) = О, то тоета х!"> называ>ппся стационарной точкой функции ). О >евидно, что, точка х>в>, в которой функция Г дифференцируема, является сгационарной в том и только в том случае, если д( (х(0>) — =О, !'=1,2, ..., п. дх! (40. 1) н 4(дхг, ..., йх„) = „— ) — с(х, йхр (40.2) де((х>ь>) / ! т. е.
второй ди44еренциал функции 1 в гпочке х>в>, является положительно определенной (отрицагпельно определенной) квадрап>инной формой, то точка х! "> является точкой строгого минимума (соответственно точкой стрнеогп максимул>а); если же квадратичная 4орма (40.2) является неопр евниной, пю в точке х>гч нет экстремума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0 (х>ь', дь) — окрестность стационарной для функции ( точки х!", в которой функция 1 имеет непрерывные вторые производные. Пусть точка х>в>+дх = (х! >+йхо ..., х>„>лпдх„) принадлежит этой окрестности. По формуле Тейлора (см.
39.23), учитывая условия стационарности (40.1), получим Л) .= 1(х>ь>+ Их) — 1(х!">) = — . с(х! дх + в(йх) рх, ! ~~ д>е>(х>ь>) ! !.> ! где йх= (дх„..., ах„), г'= дх, + ., +г)х„, и 1ппв(с(х) = О, (40.3) Согласно следствию теоремы 1, точка экстремума, в которой функция 1 дифференцируема, является стационарной; обратное, конечно, вооб>це ~оворя, неверно: пе всякая стационарная точка, в которг>й функция дифференцируема, является точкой экстремума (см, пример 2 в конце п. 40.1). Теорема 2 !достаточные условия строгого акстрелеума).
Пусть функция,! определена и имеет непрерывные проивводные второго порядка в некоторой окрестности тонки хи Ц Пусть х>в> является сяшционарной точкой функции г, тогда„если квадратичная фор.ча 4 40 Экгтуену»м 4ункчнг> ннненк нерененнмк (40.7) Иначе говоря. какую бы точку х= (х>»>+41х>) на полупрямой (40.5) ни взягь (рис. 122), точка (»к, г>кн ) (40.6) лежа>цая, очевидно, на единичной сфере 5, будет одна и та же, т.
е. она не зависит от расстояния р точки х от точки х>н>. Поэтому и значение квадратичной формы (40.2) в точке (40.6), т. е. А~ ', ..., — "), не зависит отр. Отс>ода для любой точки(40.6) >, г имеем Пусть А>1 — ', ..., — ') =р')О. Выберем ре)0 так, чтобы при 1г>к, »хк т '-' 2! г к. г, имело место 2 >е(г(х)~ с р', что возможно в силу (40.3). Тогда для любой точки (х>р>+ г(х>), лежащей на полупрямой (40.5) н и такой, что г= ~/ ~~", г(х, (р„в формуле (40.4) выражение >= > в квадратных скобках будет иметь х/ знак первого члена, и потому Л1 > О.
Значит, в любой окрестности Аналогично, исходя из отрицаГ х >Гхе точки хю> ииеЮтся точки, Для которых Ь|)0. тельного значения квадратичной формы (40.2) в точке (г(х>), показывается, что в любой окрестности точки Рис, 122 х'н> существуют точки, для которых Л1( О. А это и означает, что в рассматриваемом случае точка х>н> не является точкой экстремума. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
