kudryavtsev2 (947414), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При практическом применении этой теоремы возникает вопрос: а как же установить, будет ли квадратичная форма (40.2) положительно или отрицательно определенной? Для этой цели может слу>кить, например, так называемый к р и т е р и й С и л ь в е с т р а положительной определенности квадратичной формы„доказываемый в курсах алгебры. Он состоит в следующем. Для того чтобы «вадрао>ичнал 47>орлга А(х)=А(х,, ..., хн)=- 2', амх,хл > 1 > О Л 402 Достаточные условия строгого экстре>>уио у которой во=а и >; / — 1, 2, ..., п, была полоз/>//пелена апре деленной, необходимо и доыяаточно, чтобы а„а„... а„ ам аы а,з "тм агз озз а„а,.„ а„аез аз> '>зз -.
азп оы О, ..пО, ..., ) О. ага а„з... а аз> азз а>и а„ад, а>з аа азз азз ~0, аз, а„ а>э ч'О, <,.О, ..., а„а„а„ ат> а„... а>п а„а,з а,п ( — 1)п ) О. ап> апз '- апп Сформулируем теперь теорему 2 для случая двух переменных, выразив условия„ накладываемые на квадратичную форму (40.2), в явное> виде через вторые частные производные. Теорема 3. Пусть 4(>ункция )(х, у) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестноыпи точки (х, уе); пусть (х„у,) является стационарной точкой, т.
е. в ней /„=/,=о. (40.8) Тогда, если в втой точке (..),,— ). >О (40.9) /по она является точкой вкстремума, а именно максимума, если в ней )„„<о*>, и минимума, если )„~~0. и> Очевидно, из условия (40,9) езедуст, >те / „к + О в точке (кз Уз). Замечая, что квадратичная форма А(х) отрипательио определена п тогда и только тогда, когда квадратичная форма — А(х) =Х( — аы)х,х/ >,/ > положительно определена, получаем, пользуясь известными свойствами определителя, следующий критерий отрипательиой определенности. Для того чтобы квадратичная >рорма (40.7) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ав Э йв. Экстремума фуннуна многих переменных (40. 1 2) Если же в точке (х„уь) /„,/„„— /„'э <О, (40. 10) то экстремума в точке (х„у ) нет.
//аконец, когда (40. 11) в точке (хь, у,), то может случшпься, что экстремум в этой точке есть, и может случиться, что экстремума нет. Действительно, если / + 0 в точке (хь, у,), то квадратичную форму (40.2) в нашем случае можно записать в виде Л (дх, ду) = /н„дх'+ 2/„„дхс(у+/ дуь =- =- — Ы..дх+/.,.ду)+ (/,/„— !'.) ду 1. /лн Все частные производные здесь и ниже взяты в точке (х„, у,). Мы видим, что при выполнении условия (40.9) выражение в квадратных скобках в формуле (40.12) положительно при дхь + дуя ) О, т. е. Л(дх, ду) является определенной квадратичной формой, а именно положительно определенной при /„„) 0 и отрицательно определенной при / „( О. Это, конечно, следует и из вышеприведенаого критерг/я Сильвестра. В первом случае, согласно теореме 2, точка (х„у„) является точкой строгого минимума, а во втором — точкой строгого максимума.
Если же выполнено условие (40.10), то при ду = 0 из (40.12) имеем з(йп Л(дх, 0) = щп /ннн а при дх = /„гн ду = — / . получим з(цп А(/„, — /и„) = — з|дп /, откуда. следует, что квадратичная форма А(с(х, ду) при выполнении условия (40.10) является неопределенноя. Случай /.. = О, / + 0 разбирается аналогично. Если же / = / „= О, но /„+ О, т. е.
если А(дх, г/у) = 2/,нь/хду, то автоматически выполняется условие (40.10), и сразу видно, что квадратичная форма А(дх, с(у) в этом случае является неопределенной, ибо з(яп А(дх, ду) = — з|дп Л(г/х, — ду). Поэтому достаточно взять сначала дх и ду одного знака, а затем разных, чтобы получить значения квадратичной формы разных знаков. По теореме 2 точка (х„у„) не является в этом случае точкой экстремума.
Наконеи если /,„= / „= /„„= О, то, очевидно, выполняется условие (40.11). Для завершенйя доказательства теоремы нам достаточно показать на примерах, что, когда имеет место (40.11), экстремум может быть, а может и не быль. У фупьпии г = х'+ 2ху+ у' точка (0„0) является стапионарной, и в ней г = е, = г„э = 2, и, значит, выполняется условие (40.11). Замечая, что г = (х + у)'„видим, что всюду г > 0; причем г = 0 на прямой х + у = О, поэтому точка (О, 0) является точкой экстремума, правда, не строгого.
О> ! Некяние функции, оидеоеляемне одним у>>овнением Для функции г = ху" точка (О, 0) также является стационарной, и в ней г = г = г„„= О, поэтому условие (40.1!) также выполняется. Однако в силу того, что в формулу, задающую эту функцию, переменные х и у входят в нечетных степенях, функция меняет знак в любой окрестности нуля, значит, в этом случае точка (О, 0) не является точкой экстремума. 40.3.
Замечания об экстремумах на множествах Пусть функция ! дифференцируема на открытом ограниченном множестве 6 и непрерывна на его замыкании 6. Пусть'требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции / на множестве 6 (они существуют по теореме 3 п. 19.4). Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции ! в 6„вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно, это возможно (а возможно это, например, заведомо в случае, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. Г!осле этого следует сравнить эти значения со значениями, которые принимает функция на границе открытого множества 6, например, найдя, если это удастся сделать, наиболыпее и наименьшее значения функции ) на границе6.
Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках множества 6 с наибольшим и наименьшим значениями на границе6, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и ьпшнмум !' на 6. В случае, когда 6 — плоская об>гость и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением х = х(!), у = у(!), а < ! ~~ р, вопрос о нахождении экстремальных значений функции Г(х, у) на границе 6 сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного )(х(!), у(!)), что делается уже известными нам методами. ч 41. НВЯВНЫВ ФУНКЦИИ 41.1.
Неявные функции, определяемые одним уравнением Выясним условия, при которых одно уравнение с несколькими переменными определяет однозначную функцию, т. е. определяет одну из этих переменных как функцию остальных. Начнем наше рассмотрение с изучения уравнения, содержашего два неизвестных: (41. 1) Е(х, у)=0. и 41 Неявные >/>уякчин зв Лостаточные условна однозначной разрешимости уравнения (41.!) в некоторой окрестности заданной точки хо, для которой сушествует уо такое, что Е(хо, уо) = О, даются следукицей теоремой. Теорема 1. Пусть функция Е(х, у) непрерывна в некатпорой окРестности улочки (хо, Уо) и имеет в этой окуестностпи частнУю производную с (х, у), которая непрерывна в точке (хо, уо). Тогда, если Е (хо> уо) =О> гу (хо> уо) + ()> то найдутся такие окрестности Оо и О соотвегпственно точек хо и уо, что для каждого х ~ О„суи1ествуегп, и притол! единственное, 1 ! ! 'Г ! 1 / 1 1~ 1 Рис.
123 реитение у ~ Ов уравнения с(х, у) = Оо1, копюрое обозначим у = 1(х), и это решение у = 1(х) непрерывно на О„, Если дополнительно предположитьч что функция Е имев>п непрерывную в точке (х, уо) производную Ек(х, у), то функция 1(х) также имеет в точке хо производную и Р>- (хо уо) Ру(хо.
Уо) Заметим, что поскольку для каждого х !.- О„сушествует единственное решение у = 1(х)(- О уравнения Г(х, у) = О и поскольку Р(хо, уо) = О, хо ~ О„, уо ~ О, то уо = 1(хо). Функция у = 1(х) называется неявной функцией, определяемо) уравнением Е(х, у) = О в окрестности точки (х, уо). '! В атом случае говорят также, что уравнение Р(х, у)=0 олнозначн> раареыимо в некоторой окрестности точки (хо, уо). 4/ л Неявные функции, анредеяяеллые одним уравнением Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности Р„(ха, уи) ) О. Выберем прямоугольную окрестность 0' = ((х, у): ~х — хи/(б„~у — ув /< и) таким образом, чтобы функция Р(х, у) была непрерывна на замыкании 0 окрестности 0 и чтобы для всех точек (х, у) ~ 0 выполнялось условие г (х, у))О; последнее возможно сделать в силу непрерывности частнои производной г в точке (х„, уи) (см.
и. 19,2), В силу условия Р > О функция лр(у) = Г(хв, у) одного переменного у строго монотонно возрастает на отрезке (ув — ть уи+ п) (рис. 123), и так как р (у,) = Е(х„уи) = О, то г(х„уи — и1) = <р(уи — и) ( О, а ~(~ ° у + ч) = р(у + и) >О. В силу непрерывности функции Е(х, у) в точках (хи, уи — Ч) и (хв, Ув+ и) фУнкции Р(х, ӄ— и) и гл(х, Уа + 11), как фУнкции переменного х, также непрерывны в точке х„, и потому существует 6-окрестность 0„= 0(х, 6) = (х — 6, х, + 6) точки х, такая, что Р(х, у„— и) к, О и г"(х, уи + 11) ) О для всех х ~ 0„. При этом выберем 6 < би (это, очевидно, возможно).
Пусть теперь 0 = 0(у, Ч) = (у — 11, уи+ и). Зафиксируем х~ 0„ и рассмотрим функцию г(х, у) как функцию одного переменного у на отрезке (у, — ть у„+ п1. На этом отрезке существует производная Е„(х, у) ) О, поэтому функция г(х, у) как функция у непрерывна и строго монотонно возрастает на отрезке (у, — ть уа+ ч) ' причем Р(х, уи — и) ( О и г(х, ув + и) ) О. Следовательно, согласно теореме о промежуточных значениях непрерывной функции, для каждого фиксированного х ~ О„существует точка у'С(у,— гь у, + Ч) = О,, такая, что Е(х, у*) = О.
В силу строгой монотонности фуйкции Р(х, у) на отрезке (уи — ть уи + т11 указанное уи единственно. Мы получили, таким образом, некоторое однозначное соответствие (однозначную функцию): у* = Р(х), х ~ 0„, такую, что уи ~ 0„и Е(х, уи) = О, при этом мы одновременно получили единственность такой функции. Докажем теперь непрерывность функции г на интервале 0„. Покажем сначала, что функция у = Г(х) непрерывна в точке х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
