kudryavtsev2 (947414), страница 8
Текст из файла (страница 8)
п. 18.1) из последовательности (хнп) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х'""). Пусть 1ппх('л) = х 4лг. Отоброженав. Свойства ккобаанов отображений 39 Из замкнутости множества Е следует, что х >- Е. В силу же непрерыв- ности отображения /, согласно лемме 1, имеем !ппу! >=!пп/(х! !)=/(х). Но !пп уп ' = у, поэтому у = /(х), т.
е. у Е/(Е). Поскольку у яв- лялась произвольной точкой прикосновения множества /(Е), то это и означает, что /(Е) — замкнутое множество. Обобщается на случай отображений и понятие равномерной не- прерывности. Определение 10. Отображение / множеаива Ес:.Е, 'в простран- ство Ет назьмается равномерно непрерывнылт, если для любого е > 0 суи>еспа>уетп такое 6 = 6(е) > О, что для любых пшчгк х' С- Е и х" Е Е, удовлетворяющих условию р(х', х") к.. 6, выполняется нера- венство р(/(х'), /(х"» ( е. Для отображений имеет место и утверждение, аналогичное теоре- ме Кантора (см. и. 19.5) для непрерывных функций. Лемма 3. Нет>рерывное опшбражение ограниченного замкнутого мноахеспиа Ес:Е", в пространство Е,, являеп>ся равнол>ерно непре- рывным.
Доказательство. Если /(х) =(/;(х),/=1,2, ..., т), является непрерывным отображением ограниченного замкнутого множества Е ~ Е„"в пространство Е„, то каждая функция /и = 1, 2, ...,т, будучи непрерывной на Е, является и равномерно не- прерывной на этом множестве. Поэтому для любого е > О сун>еству- ет такое 6 = 6(е) > О, что если х' ~ Е, х "~ Е и р(х', х")а"6, то !/>(х') — /г(х")! ( ==, / = 1, 2, ..., т; откуда следует, что / юн р(/( ').
/('»= ~/ !/>(х') — />(х)! С, а это и означает равномерную непрерывность отображения /. Пусть теперь Е с:. Е„", О с: Ь„, у = у (х) — отображение множе- ства Е в Е'"„причем у(Е) ~ О и г = г (у) — отображениеО в Еа. В этом случае имеет смысл суперпозиция г = г(у(х», отобра- жакхцая множество Ес Е, "з р-мерное пространство Еа Отметим, что если отображение у(х) множества Е непрерывно в точке х<о> ~ Е, а отображение г(у) определено в некогорой ок- рестности точки усб> = у(х>о>), то существует такая окрестность О„точки х<о>, что на множестве Ее~О„имеет смысл суперпози- ция г(у(х)). 4 4Ь Неявные функции д(г> ." гх) д(У! " Ух) д(уг,, у„) д(х>, ..., х„) д(г„..., г„) д(хг, ...,х ) Действительяо, непрерывная дифференцируемость отображения г(у(х)) следует из теоремы о частных производных для сложной функции (и.
20.3) и теоремы о непрерывности суперпозиция непрерывных функций (п. 19.3). Докажем формулу (41.29). к дг! ~~ дг! дуя Замечая, что — = у — — и применяя известную из дх ~ дуь дх> А=! алгебры теорему о том, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, т. е. х деЩ!ага( ° (Ь„>1) = де(~ У, а>ь Ь„= деЦагь(де((Ьял$, Ф ! Действительно, пусть Π— окрестность точки у<ы, на которой определено отображение г(у), согласно (41.27), для нее существует такая окрестность О„, что у(О„с Е),-.
О . Очевидно, что для всех точек х( О„г Е и имеет смысл суперпозйция г(у(х)). Напомним е>це, что согласно введенной для функции терминологии (см. и. 4.1), отображение у(х) множества Ес Е„'в пространство Е называется взаимна однозначным, если разным точкам множества Е при этом отображении соответству>от разные точки. В этом случае говорят также, что множество Е взаимно однозначно отображается посредством этого отображения иа множество у(Е). При выполнении этого условия на множестве у(Е) существует однозначное обратное отображение (обратная функция) х(у) = х, где х таково, что у(х) = у.
Поэтому х(у(х)) = х, т. е. это тождественное отображение (п>аждеспгвенным отображением множества Е называется отображение, которое каждой точке х( Е ставит в соответствие эту же точку). Если все функции уг(х), !' = 1, 2, ..., т, задающие отображение у(х), определены и непрерывно дифференцируемы на некотором открытом множестве О, то отображение (41.26) называется непрерывна дифференцируемым отображением множества О. Рассмотрим теперь даа свойства якобианов отображений.
Лемма 4. 77усп>ь у = у(х) =(у, =у;(х,, ..., х„), ! = 1, 2, ..., и) являепгся непрерывна диффереицируемым отображением открыпюго множества О с: Е," ь некоторое открытое множество Ос:Е" и пусп>ь г = г(у) = (г! = г;(у„..., у„), ! = 1, 2, ..., п) — непрерывно дифференцируелюе отображение множества О в Е",, тогда суперпозиция впгих отабраекений г(х) = г(у(х)), х = (х!) (6 является непрерывна дифференцируемым отображением 6 в Е" ,и 41Х Отображения. Свойства яхобиинов отобрпженне 41 получим ( 1~~ д~~ ~(д 1 ~~ дул~ д(т» ..., хл) (д(У» "., Ул) ) дул 1( )! д«1)( О(у» ..., Ул) д(х» ..., х„) Формула (41.29) доказана.
При п = 1 ока превращается в хорошо известиую формулу о производиой сложиой функции: а«а«ау (41.29') ах ау ах "1 (х! " хл) а(у» ..., У„) Эту формулу можно пергписшпь в виде а(У» ". Ул) 1 (41.30) а(х»...,х) а(, ..., «) ' д(у» ..., Ул) т, е. якобиан опюбражения, обратного к заданному отображению, равен обратной величине якобиана данного отображения. Из леммы, в частности следует, что при сделанных предположеииях оба рассматриваемых якобиаиа ие обращаются в нуль.
До к аз а тел ьство. В самом деле, отображение х(у(х)) является тождествеяиым отображением, в коордииатиом виде оио записывается условием равенства координат образа и прообраза: х«хг 1=1 2 „и' отсюда следует, что Таким образом, для фуикций многих перемеииых формула(41.29') допускает двоякое обобщение: формулу (20.26) для частиой производной суперпозиции фуикций и формулу (41.29) для якобиаиа суперпозиции отображений. Лел(ма 5. Пусть у = у(х) = (у, = у (х» ...,хл), 1= 1, 2, ..., и) является взимно однозначным непрерывно дифферен даруемым отображением оп1крытого множества 6~Е," на откры«иое множеопво 0 с: Е" и пусть обратное отображение х = х(у) = =(х,=х,(у» ..„ул), 1=1,2,..., и), которое, очевидно, является однозначным„также непрерывно дифферен«(ируемо на своей области определения О.
Тогда д(у, ..., Ул) д(«« ° «1 З 4д Неяень>е >)>Ее«чин 100...0 0 10...0 001...0 д(хо ..., х„) (41.31) д(хь -" «л) 00 0...1 С другой стороны, по свойству якобиана суперпозиции отображений (см. 41.29) для отображения х(у(х)) имеем д(хь ° хл) д(>'1 " хя) д(у« .- Уя) д(хо ..., хя) д(уь - уя) д(хп - ° хя) Сравнивая (41.31) и (41.32), мы и получим (41.30). Формула (41.30) является, очевидно, обобщением формулы для производной обратной функпии еу ! Их Дх' еу 41.5. Отображения с не равным нулю якобианом Принцип сохранения области у«=)д(х„..., х„), у=)()= у„=)„(хм ..., х„) (41.33) — непрерывно ди41>ференцируемое отображение 0 в Е". Пусть, далее, х(м = (х>ю') ~б и якобиан отображения (41.33) не обращается ь нуль в елочке х>0>: 1 "' +О с(х,, ..., х„) )Иь> Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании отображения, обратного к данному.
Как мы знаем, в случае и = 1 для непрерывно дифференцируемой на некотором отрезке функции условие необращения в нуль ее производной (которое влечет ее строгую монотонность) является достаточным уп>овием существования у нее обратной однозначной непрерывно дифференцируемой функции. В случае же произвольного и дело существенно осложняется: соответствующие точечные условия на дифференциальные свойства отображении позволяют лишь утверждать локально, т. е. в окрестности точки, существование обратного отображения.
Более точно имеет место следующая теорема. Теорема 8. Пусть 6 — открытое множество в Е" и иуаиь 4! .бОтобраасения с не ровным нулт якобиачон. Прхнцип сохранения области 43 Тогда суп(ествуеп< окрес<пносп<ь Ох <почки у'"> = 1(лло>), на которой определено, и притом единственны, однозначное непрерывно дифференцируемое обратное отображение х = ) — '(у), такое, что ) <(у<о>) =. = х<о>. 1<ри етом у обрап<ного о<пображения его якобиан на О не равен нулю. До к аз а тел ьст во. Рассмотрим функции Р<(х, у)=у,— ~<(хм ..., хя), 1=1, 2,..., и. (41.34) Эти функции определены для всех у = (у,) ~ Е" и всех к=(х<) ~ О.
С помощью них система равенств (41.33), задающих отображение й перепишется в виде Г,(х, у) = О, 1= 1, 2, ..., и. (41.35) При этом функции Г<(х, у) определены и непрерывно дифферепцпруемы в некоторой окрестности точки (х~о), у<о>) (за такую окрестность можно взять, например, ОхЕ'„), р (х<о> у<о<) б(Р1 "° * Ря) ~ ( 1)яб(Х< "° <я)~ а (х„..., х ) /(„<о<< х<о>) б (х,, ..., х„) („<м таким образом, выполнены все условия теоремы 2 настоящего параграфа.
В силу этой теоремы уравнения (41,35), нли, что то же, систему (41.33), можно разрешить, и притом единственным образом, относительно переменных х„..., х„в некоторой окрестности точки у<оь, иначе говоря, существует окрестность О„точки у<о) и единственная система непрерывно дифференцируемых функций хх= х,(ууа ..., у„), ... х„=х„(у„..., у„), определенных на 0 и удовлетворяющих уравнениям (41.35), или, что то же, уравнениям (41.33): )<(х(у)) = у'. Это и означает, что х(у) является отображением, обратным данному отображению 1, т.
е. х(у) =- Г'(у). В силу формулы (41.30) из условия необращения в нуль в точке х<о> якобиана отображения ) сразу следует необращение в нуль в точке у<м якобиана обратного отсбраження ) ', а так как оно не- прерывно дифференцнруемо, то якобиан не обращается в нуль и в не- которой окрестности точки у<ю. Без ограничения общности можно считать, что этой окрестност<.ю является 0„(в случае необходимости ранее указанную окрестность О„надо уменьшить и снова обозначить через Ох). р Сд Неявные функини Теорема доказана. С л е д с т в и е 1. При непрерывно дифу>еренцируемом отображении открьшюга мноясеспма 6 в Е" образ точки, в ко>порой якобиан о>пображения не обращается в нуль, является внутренней точкой образа множества 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
