kudryavtsev2 (947414), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть задано е > О. В данной выше конструкции подчиним выбор и1 ) О дополнительному условию Ч < е, тогда, по уже доказанному будем иметь; если х ~ 0„, т. е. если ! х — хи ~ <' 6, то У = йх) С 0„= (Ув — т1, Ув + Ч) с: (Уи — е Ув+ е), и потомУ )У вЂ” Ув( <' <. е, что и означает непРеРывность фУнкции Г' в точке хв. Для доказательства непрерывности функции у = /(х) в произвольной точке х ~ О„заметим, что, согласно доказанному выше, выполняются следующие условия: 1) г(х, /(х)) = О и (х, Г(х)) С 0 для всех х(0„; 2) Ри(х, у) > О для всех (х, у) е О.
Иэ приведенных выше рассуждений видно, что эти два свойства 8 ОЛ )Гонение фуннини тз где 1пп ео = 1! гп е„=-О, Р = )г Лхо -1- ЛУо. р-о роо Возьмем в формуле (41.2) х + Лх 6 О, Лу=г'(хо+ Лх) — )'(х ), тогда в силу условия Р(х, Г(х))=0 получим Е (хо+ Лх, уо+ Лу) = Е (хо+ Лх, ((хо+ Лх)) = О, и так как г" (хо, уо)=0, то из (41.2) имеем ~о(хо уо) Лх+Ру(хо уо) Лу+е,Лх+е,Лу=О. Отсюда ЛУ У (Я., Уо)+ о а» еу(уа Уо)+оо (41.3) Пусть теперь Лх — «О, тогда в силу непрерывности функции 1 и Лу — ~0, а значит, р=)' Лх'+Лу' — ~О при Лх — э-О, откуда следует, что в формуле (41.3) 1пп е,= 1нп е =О.
Ья о а» о Поэтому при Лх-оО предел правой части равенства (41.3) существует и равен — ' " ) (напомним, что гу(х„уо)+0), ног» (хо Уо) г» (Яо Уа) этому при Лх — «О существует и предел леворй части, т. е. существуег производная р („) "я(хо Уо) ~у (Яо Уа) (41.4) Теорема доказана. 3 ам е ч а н и е. Если функции Ро н Ро непрерывны на окрестности О точки (хо, и,), то производная 1' непрерывна на интервале О .. Действительно, применяя формулу (41.4) к произвольной точке х ~О„, получим и позволили осуществить всрп изложенную конструкцию; поэтому она полностью может быль проведена и для точки (х, )(х)), откуда и следует непрерывность функции г" в любой точке х ~ О .
Докажем теперь последнее утверждение теоремы. Пусть в окрестности О существуют непрерывные в точке (хо, у,) частные производные Р„и Ео, тогда в точке (хо, у,) функция Р(х, у) днфференпируема, т. е. ~(х,+Лх, Уо+Л)') — Р(х. Уо)= =Е (хо Уо)Лх+г>(хо )о)ЛУ+згЛх+еоЛУ, (412) 4< < Неявные функции, определяемые одним уравнением (<) Р«(» г (х)) Р,(х, 1(»)) откуда по теореме о суперпозиции непрерывных функций' мы и получаем непрерывность функции Р(х) на О . Аналогичным образом формулируется и доказывается теорема для неявной функции, определяемой уравнением (41.5) р(х„..., х„, у)=-0. Чтобы получить соответствуюгцую теорему для этого уравнения, надо в формулировке теоремы 1 под х понимать точку, Уе п-мерного пространства х =(х„..., х„) <- Е".
Теорема Г. Пусть функ<<ил Г(х, у)— = с (хг„..., х„, у) непрерывна в неко<порой окреспгности птчки (х<о', у'о') и и ет в втой окрестности часгпную производную се, непрерывную в точке (х<ю„у<"). Если Р (х<ог у<о>), () а Е,(х<ог )лог) =ь (), то наид т,я Рас. гу4 пшкие окрестности О„и О, соапгвепгсгггвенно точек х<о> и у<о", чпго для каждого »~ О„<уществуепг, и притом единственное, решение у гс О„уравнения р(х, у) == О*г (зто решение обознаггим через у = ((х) = ((х,, ..., хн)). Если, кролге пюго, суи<ествуют все частные произяюные Е„, «г непрерывные в точке (х<"г, у<о"), то существуют и частные производные )„Р г=-1, 2, ..., п, приче.и если частные произвооные Р„, г=-1, 2, ..., и, и Р непрерывны в окреспгно<ти п.о ки (х<ог, у<о<), пго частные производные ~„.
неггрерывны в неко<горой окрестноспги точки х<ог. При этом формулы для частных производных неянной функции, определяемой уравнением (41.5), имеют вид др — = — — ', <=1,2,...,п. дхг др ду "> г<а рис. 124 изображен случай, когда и= 2 и окрестность О, прямоугольная. 30 ф 4> Неявные 4>вякчнн 4!. 2. Произведения множеств Прежде чем рассмотреть вопрос о разрешимости систем уравнений, введем некоторые новые понятия. Пусть Е, "— р-мерное евклидова пространство, точки которого будем обозначать х = (х„..., хр), Е,", — д-мерное евклидова пространство, точки которого будем обозначать у = (у„..., уч), а Е~~ч— — (р + д)-мерное евклидова пространство точек (х, у) = (х„..., хр, у„..., у ), Определение 1.
1> усть АсЕР и ВсЕуч. Множество точек ('х, у) пространства Е"+', глаких, чта х~А и у~В, называетсл произведением множеств А и В и обозначается А Х В. Таким образол<, А хВ=((х, у):х~А, у ~В). 7 П р и м е р ы. 1. Если А = ЕР, В=Е', то Р><с. 125 А х В =- Ер х Е' = Е'+". 2. Пусть р=2 и А — круг; 4=1 и  — отрезок. Тогда АхВ— прямой круговой цилиндр (рис. 125).
3. ПУсть х<о> = (х)~~) ~ ЕР и А = Р(хсй Ь„..., б„) = =((х) >(х,— х< >~ <6,; <'=1, 2,;... р) — прямоугольная окрестность точки х<м; пусть у<о> =(у<у>) ~Е' и В =Р(у„; Чы ..., >1 )= = 1(у.): ~у — у<о>~<т>л /= 1, 2, ..., 4) — прямоугольная окрестность точки у<о>. Тогда АхВ= =-((х, у):!х — <">!<бп(=1,2, ....р!Уг — у>"(< н)=1.2,.-,4)= =Р((х<о>,<о>). б б Ч .-, т> ) (41.6) является прямоугольной окрестностью точки (х<с>, у<о>).
Очевидно н обратно: поскольку всякая прямоугольная окреп>- ность точки (х„уо) записывается формулой, стоящей в середине равенства (41.6), то она всегда может быть представлена как произведение прямоугольных окрестностей точек х<о> и у<о>. Упражнение >. Доказать, что если множества АсЕр и ВсЕ" к у являются открытыми множествами соответственно в пространствах Ер и Ее, л то АХВ есть открытое множество в пространстве ЕР+е.
ку ЕЛЗ, Неявные функции, определяемые си»генов уравнений 41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений Рассмотрим условия, при которых система уравнений Е<(х, у)=0, 1=1, 2, ..., р, х~Е», у~Е", (41.7) нли, подробнее, с<(хы ..., х, ум ..., у )=О, Ее(хм ..., х, уы ..., у,)=0, ди, д<„ ди, д<н ди, ди, д<, д<, ди, ди, д<< д<, диы ди„диы д<д д<а д<н или, короче, Н, 1=1,2,...,т, )=1,2, .„и, называется лштрицей Якоби'"> данной системы функций. Если т = п, то определитель матрицы Якоби называется определшпелем Якоби, или якобианом, системы функций и„..., ии по переменным 1» ..., <„и обозначается д(и<, ..., и„) д(им ° ° Гв) * Мы увидим в дальнейшем, что якобиан системы функций естест.
венным образом возникает в различных вопросах теории функций многих переменных. Сформулируем теперь основную теорему этого пункта. в) К, Якоби (1604 — <851) немецкий математик, (41.8) Рр (х< хд Уа Ур) 0 однозначно разрешима относительно у„..., ур в некоторой окрестности точки (х<о>, у<о>), в которой Р,.(х<о<, у<о>)=О, <=1,2, ..., р.
Определение 2. 1) усть задана сис пелш функций и< = и,(Гм ..., 8н), 1= 1, 2, ..., т, имеющих в некоторой тике г<о> все чгс~пнь<е производные первого порядка; тогда магприца, составленная из значений частных «роизводных втих функций в точке(<м; В 4Е Неявные Фгзгхггыы 32 у =- ) (х) = (у» — — ~а (х„..., х ), А = 1, 2, ..., р),*> причем функции >'а(х), А = 1, 2, ..., р, образ)>югцие впю реисение, непрерывно дифференг(ирремы на О„, Отметим, что поскольку для каждого х~О„су>цествует сдинсгвенное решение у=)(х) ~О„системы уравнений (41.7) и поскольку Рг(х(о>, уго>)=0, г'=1„2, ..., р, хгт ~ О„, уго> ~ О, то уго> ) (хго>) До к а з а т е л ь от в о.
Применим метод индукции. Для случая одного уравнения, т. е. когда р = 1, теорема была нами получена в п. 4!.1. Пусть теперь теорема 2 верна для р — 1 уравнений (р ) 1). Докажем ее для р уравнений. Покажем сначала, что каждое из уравнений (41.8) например последнее Рр (хз хч ) г ) р) 0 можно разрешить в окрестности точки (хго>, уго>) по крайней мере относительно одного переменного.
Действительно, по условию тео- ремы в точке (хго> у'о') дрг дуг дуг дур д(рг„..., Рр) д(уь ." Ур) +о, дРр дур д), д>р *> Система функции )а(хг, ..., хч), а = >, 2, ..., р, обозначена одним функциональным символом 1(х), так как зта система задаст определенное соответствие> точкам некоторого множества пространства Еч они ставят в соответствие определенные точки пространства ЕР, нли, как говорят, отображает указанное У' множество пространства Ез в пространство ЕР. Теорема 2. Пусть функции Ег(х, у) = Е,.
(х„..., х, у,, ..., у ), > = 1, 2, ..., р, непрерывно дгйрференцггруергы в некотории" окресгпноста точки (хго' Уго>) где х<о> (хго> х(о>) уго> (уго> уго>) Тогда, если Гг(х(о>, уго')=О, 1 = 1, 2, ..., р, — '''" Р +О д(Е,, ...,Е> д (Уг ° ° Ур) в точке (хго>, уго'), то найдутся такие окрестности О„и О точек хго> и у(с> соответспгвенно в пространспгвах Е", и Ел„чпго для каждого х~О„сци(есгпвует единспюенное решение у ~ О сис>немы уравнений (41.7), которое обозначим 41.а. Неявные функции, определяемые системой уравнений поэтому в этой точке хотя бы один элемент последней стро <ни определителя Якоби отлвчсн от нуля; пусть зто будет для определенности последний элемент: дд (я<О> <О>) — + О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
