kudryavtsev2 (947414), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Замечая теперь, что (срав. п. 39.1) л — лг 2 аы с(х„с(х! = ео, я. с=-! т и — гл где 1!и!а=О и, как и выше р=1тт ~ с(х~!. Из(4324) и (43.18) р о Т с! получаем окончательно л Ь| = Кх) — 1 (х!'! ) =- — Ъ вЂ” с(х! с(х~+ о (р ), (43.25) г,т ! где дифференциалы с(хт, !' = 1, 2, ...,а, связаны соотношением (43. 3). Если из этих соотношений выразить дифференциалы зависимых переменных с(хть ! = п — т + 1, ..., и, через дифференциалы неза- висимых переменных с(х, А = 1, 2, ..., а — та (см, 43.22), то полу- чим выражение вида л — лг Л(= ",Я~ Ь! с(ха,+о(р'), р-».0.
(43.26) с, !=! Отсюда (совершенно аналогично случаю обычного экстремума, см. и. 40.2) следует, что если квадратичная форя!а В(с(хт, ..., с(хл лг) = ~~ Б!. с1х, с(х~ (43.27) с, у=! Э 48. Условный экстремум определенная. то в точке хгш будет строгий условный экстремум, а и,кенни ппрогий условный максимум, если квадратичная форлит (43.27) огприиательно определенная, и строгги1 условный минимум, если квадрапитчная грорма (43.27) положительно определенная. Если же квадратичная грорма (43.27) неопределенная, то точка хгот не является точкой условного экстремума. Резюмируем кратко все сказанное в этом пункте.
Для того чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (43. 10), на условный экстремум надо исследовать на определенность квад- ратичную форму (43.27), т. е. второй дифференциал функции Лаг- ранжа в этой точке при вьшолиении условий связи (433) (когда днф. ференцналы йхь 1 = 1, 2, ..., и, связаны соотношениями (43.13)). Пусть, например, требуется найти точки экстремума функции 1(х, у) =ху, когда точка (х, у) лежит на прямой х — у=О. Функцией Лагранжа в данном случае является функция вида дст дв Ф(х, у)=ху--т;(х — у), и так как — =у — )., — =х+Х, то для ду определения стационарных точек функции Ф (х, у), удовлетво- ряющих условиям связи, имеем следующие уравнения: х — у=0, у — ),=О, х+Х=О, из которых следует х = у = ) = О. Исследуем в точке (О, 0) второй дифференциал функции Ф(х, у) при выполнении условий связи, т.
е. когда йх — йу = О. Имеем йэФ=2йх йу, (43.28) и, значит, прн выполнении условий связи йвФ=йхе>0, (43.29) т. е. второй дифференциал (43.28), являясь неопределенной квадра- тичной формой, при выполнении условий связи превращается в по- ложительно определенную квадратичную форму (43.29). Поэтому точка (О, 0) является точкой строгого условного минимума для рас- смотренной задачи. Впрочем в данном случае это легко усмотреть н сразу: вдоль прямой х — у = 0 функция 1(х, у) = ху имеет вид 1(х, х) = х', которая, очевидно, имеет в точке х= О строгий минимум. Упражнение Л.
Найти точки условного экстремума функций при укаэанных услоникх. т 1. г .= — + У, х' + уе = 1. а Ь 2, г=х +уэ, — + — =1. а Ь о, и = хуг, х" +у" + г' =1, к+у+э =О, ГЛАВА ШЕСТАЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ~ 44„КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 44.1. Понятие объема в и.-мерном пространстве. Множества л1еры нуль Напомним кратко основные определения, связанные е понятием и-мсрного объема (площади„в случае и = 2) множеств в и-мерном пространстве, дополнив их некоторыми сведениями, необходимыми для построения теории кратных интегралов.
Пусть Е" — и-мерное евклидово пространство (и = 1, 2, ...). Его точки, как обычно, будем обозначать х = (х„..., х„), где х1, 1= 1, 2, ..., и, — координаты точки х в некоторой раз и навсегда фиксированной системе коорлинат. Обозначим через Тл, й = О, 1, ..., совокупность всех замкнутых кубов вида Яе=~х: — '<х,<. ', 1=1, 2, ..., и~, (44.1) 1Ол 10~ где гп, — пелые числа. Тл называется разбиением ранга й пространства Е". КУбы ()", пРииздлежащиа~ Разбиеии1о Тл, называютса крбами ранга й (в случае и=1 О" является, очевидно, отрезком, а в случае и = 2 — квадратом). В дальнейшем одномерный случай нас не будет интересовать, поэтому (чтобы не усложнять терминологию) будем предполагать, что и ~~ 2, хотя все сказанное ниже является справедливыл1 и для и = 1.
Назовем число — и-мерным объемом куба (44.1) и обозна- 1 1оге чим его шез11" шезО = —: е 1 1ол" и-мерный объем п1ез Е множества Е, представляющего собой объединение конечного, пли счетного, числа различных кубов ф данного ранга й(1' = 1, 2, ...), определим равенством 74 Е 44.
Кратные интегралы тев Е = Х п1ез бы (44.2) Пусть 6 — открытое множество в Е". Обозначим через 5»=5» (6), й=О, 1, ..., множество точек всех п-мерных кубов ранга lг, целиком лежащих в 6. Тогда ~0 ~ ~т с с- ~» ~ $с+! ~ н следовательно, тевЯа<птевЯт « ... тези»<тев5»+1 < ..., поэтому существует конечный или бесконечный предел !пп п1ев Я » ео (сравн. о п. 31.1).
Определение 1. Конечный или бесконечный предел 1пп гнев 3»(6) называется и-мерной мерой, или и-мерным объемом, множества 6 и обозначается тев б, т. е. тев 6 = 1(т п1ев Я». (44.3) В силу этого определения тев 6 ~ О для любого открытого множества 6~Е", а если, кроме того, б ограничено, то гнев 6(+со. Задача !9. Доказать, что мера открытого множества не зависит от выбора системы иоордннат.
Лемма 1. Если открыааие мнажестиеа 6' и б' не илмюгп оби(ик точек, пго тев(б'.~6") =тев б'+ п1ев 6". (44.4) Доказательство. Пусть 6=6'с~б" и пусть 5»=3»(6), 5» = 8» (б') и 8» = Я» (6 ). Из того, что множества 6' и б не пересекаются, следует, что и множества Я» и 8» не пересекаются. Очевидно, Я» — — Я» 5„, поэтому согласно определению (44.2) тев 8» = п|ев (8» 8») = гпев Я»+ шев 8». Переходя к пределу в этом равенстве, при й — ь +со, мы и получим (44.4). Свойство меры, выражаегное формулой (44.4), называется аддитиеностыо мерьи Для построения теории кратных интегралов оказывается весьма целесообразным введение понятия верхней меры множества. Пусть ЕсЕ".
Обозначим через 5;, =- 3»(Е), й = О, 1, 2, множество точек всех и-мерных кубов ранга и, каждый нз которых 444. Понятие объема е и-мерном пространстве ЧБ пересекается с Е. Тогда Во э В~ ~ ..о:Э ое.:э Бе+1 э ..., откуда Э Э везло «шез8~ «» ... »гпезЗе «гпесВе+~ >" Если множество Е ограничено, то 0 < глез Ве ( + оо, й = — О, 1, 2, ..., а если Е неограничено, то шез Ве = +со, й = 0„1, 2, ... (ибо в этом случае существует бесконечно много кубов любого фиксированного ранга, пересекающихся с множеством Е). В обоих случаяхсушестнует!пп гпез Вя(Е), причем в первом случае конеч- ный, во втором — бесконечный. Определение 2. Предел 1!т шез Яь(Е) называется верхней п-л~ера сс ной мерой леножестлва Е (точнее, верхней и-мерной мерой Жердина) и обозначается спев Е.
Таким образов, глез Е =!нп п1ез Я". а-к (44.5) Лемма 2 (монотонность верхней мервф Если Ос:.Е, то шез О < п1ез Е. Доказательство. Если О~Е, то при любом й=0,1,2„, справедливо включение Яе(О)ь Ве(Е) и, следовательно (см. (44.2)), тпез Я» (ь') ~( гпез ое (Е). Переходя здесь к пределу при й — ь оо, получаем утверждение леммы. Лемма 3. Верхняя мера сумма конечноео числа множесепа не превосходит суммы их верхних мер. Доказательство.
Пусть Е, с:Е", 1=1,2, ..., пп и Е= () Ен 1=! Задача 20. Доказать, что верхняя мера ие зависит от выбора системы координат, тв Э Ж Кратные инте»раям тогда 5„(Е) = () 5»(Ег), й=О, 1, 2, ..., Следовательно, согласно формуле (44.2), будем иметь птез5»(Е) < Хгпез5'(Е,). г-1 Переходя здесь к пределу прн асс, получим н! гпезЕ < ~ гпезЕ,. г.=! Лемма 3 доказана.
Определение 3. Если гпез Е = О, то множество Е называется множеспмолг леры ноль (точнее, жордановой меры ноль). Для простоты в этом случае пишется просто шезЕ =О. Расшифровывая понятие предела (44.5) можно сказать, что множество Е имеет меру ноль в том и только том случае, если для любого е '> О существует такой номер !г„что шез 5»,(е, Очевидно, что в этом случае гпез5»(е н для всех я >й,.
Пустое множество по определению считается множеством меры ноль. л У и р а ж н е н и я. Г. Доказать, что если Е~О~Е и таз 0 = О. то гнсз Е =- О. 2. доказать, что сумма конечного числа множеств жордановой меры ноль ил!ест меру воль„ 3. Показать, что сумма счетного множества множеств жордановоя меры ноль на обязательно имеет меру ноль. Теорема г". График всякой непрерывной функции, определенной на огранггченнолг замкнутом множестве, имеет меру ноль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция у = )(х) = !(х„„., х ) определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Ас:Е,". Тогда существует такое натуральное т, что и-мерный куб =(х: — т <'х,.
<т, » =1, 2, ..., п) содержит множество А. Тогда тем более Ю„+~ = (л: — т — 1 <х <гп+1) с: А. Пусть Š— график функции Г, т. е. множество точек (х„..., хсл г (х„...„х„)), (х„..., х„) ~ А (и+1)-мерного пространства Е"к" точек (х„..., х„, у). Как и выше, обозначим через 5» = — 5»(Е) множество точек всех кубов ранга й пространства Е'„'+', пересекающихся с Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
