kudryavtsev2 (947414), страница 21
Текст из файла (страница 21)
лб.л Криволинейные кпйадинагы ыу х = х(ии, о), у = у(и, о), соответственно в виде х = х (и, о,), у = у (и, о,). (46.50) В случае декартовых координат координатные линии суть прямые, в общем же случае — некоторые кривые, задаваемые представлениями (46.49) и (46.50). Этим и объясняется название «криволиней- у иые координаты» (рис. 144). Будем предполагать, что функции (46.47) удовлетворяют на б всем и= и условиям, при которых была выведена формула (46.32) замены перемен- и=йеегн ного в интеграле, в частности, что они непрерывно дифферепцируемы, и что и=, якобиан — ' не равен нулю на б.
б й(х,у) д(й,и) К В силу этого ксюрдинатные линии в окрестности каждой точки из б явлвотся непрерывно дифференцируемыми кривыми. Посмотрим, какой смысл будет иметь в этом случае модуль я кобиана. Зафиксируем какие-либо значения и„, Ли, ои, Ло. Пусть М, = = (ии, о„), à — множество всех точек, координаты и, о которых удовлетворяют неравенствам и к.ик., и«+ Ли,о, 'о(о«+ Ло, и пусть ГСб. Множество Г называется координатным (криаолинейньин) параллелограммом. Множество Г открыло (почему?) и его граница представляет собой кусочно-гладкий контур (он сосгоит нз кривых вида х = х(и„о), у = у(и„о), где ои ( о ( и» + Ло и т.
и.), поэтому à — квадрируемая область. Вычислим ее площадь (см. рис. !44). Применяя формулу замены переменного в интеграле и интегральную теорему о среднем (см. п. 44.5), получим Г Ц,(х«(у Ц ~ л( 'и) ~«(ой х йи к й к ни+ай и»си<и,+Ли ни+ай и»+«и =~,'('") ~ ~ д ~ й =~,"'1 ~ Л Л, Л4~Г. и, ии В силу непрерывной дифференцируемосги функций (46.4?) !'~::"~!.=-1:~ ~1м,"' где 1нп а=0. Таким образом, ай*+Ли*-о 116 б 4б, Замена кеременных в кратном интеграле шез Г = ~ — 'Р) ~ Ьи Ьо+ е Ьи Ьо. (46.51) Формула (46.51) показывает, что модуль якобиана в точке (и, о,) представляет собой коэффициент у главной части площади координатного параллелограмма с вершиной в точке (иа, о,) относительно произведения Ьи Лопрн Ьи*+ йр -~- О.
Это замечание часто используется на практике при вычислении якобиана преобразования криволинейных координат в декартовы. Покажем это на примере полярных координат т, <р. Зафиксируем г какие-либо значения т, т + й, ч н тв(е ~р+ йр и рассмотрим координат- ный параллелограмм Г (рис. 145), т образованный координатными ли- ниями г, т + Ьт, <р и ~р + йр. Ллив ны двух его сторон равны соответ- бт и тйр.
В щадь этого параллелограмма так, как если бы он был обыкновенным прямоугольником, получим гпезГ жтбтйр. Таким образом, коэффициент у произведения Лгйр оказался равным т, откуда естественно ожидать, что — ' = г. В действид(х,у) В(и,о) тельности (см. пример в п. 46.2) так и есть.
Это произошло потому, что при наших неточных вычислениях площади Г допущена ошибка более высокого порядка малости, чем произведение Ьгйр пря Ьта + йр' — О. Действительно, вычисляя гпезГ как разность площадей двух секторов, получим тпезГ = — п(т+ Ьт)' — ~*= тййр+ — Ьт'Ьр. гьи Ьт 1 2а 2а 46.4. Замена переменных в и-кратном интеграле Все сказанное в предыдущих пунктах этого параграфа вместе с доказательством переносится и на п-мерный случай, поэтому мы ограничимся лишь формулировкой соответствующих теорем. Теорема 8. Пусть 6„~ Е," и 6,с: Е",— открытые множества, х = Р (О = (х; =х,. (1„..., г„), 1 =- 1, 2, ..., и) — взаимно однозначное непрерывно дифференг(ируемое отобраесение 6, на 6„, 119 4? Е Криволинейные интягиилы первого роди якобиан .I(() =, ' '"' *'1 которого не равен нулю на 6п Пусть далее Б — и-мерный куб: 8 = (((<): г< 1 < (< < <( 1+ А, < = 1, 2, ..., п) с" 6, (<~1 = ((<<~~).
Тогда !пп ( ) = !.((<<о<) ~; «„„пез ь г<ри етом, если <пез г (5) ! (((<о>) ! ! е((<о< )с) то для любого ограниченного замкнутого множества А, (<о<~А~6п функция в((<о<, Л) равномерно стремится к нулю на А при << - О Теорема 4. Пусть 6„и 6, — кубируемые открытые множества, 6 <= Е;, 6, с: Е<. Пусть х = г(() =- =(х, = х,. (<„., <„), ( = 1, 2, ..., и) — непрерывное отображение 6, на 6„взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо оп<ображанлцее 6, на 6„, и пусть якобиан ((() = гогого отображения не обраи<ается в ноль на 6, и непрерывно продолжаем на 6р Тогда если Функция ?(х) непрерывна на множестве 6„, то Уп раж пение 1.
Написать формулы замены переменных в тройных <нтегралах для преобразований координат: 1) х=гсозфсозт, у=созфыпд, г=гз1пф, 0<г<, 0<Ч<<2к, — 2 <ф< 2 (сферические координаты); 2! х=гсозв<, у=гмпр, г=г, 0-.. г +«и, 0<<р<2и, — ио<г<+си (цилиндркческие координаты). 5 4?.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 47.1. Криволинейные интегралы первого рода Пусть в трехмерном пространстве Ез задана спрямляемая ориентированная кривая Т, пусть г(з) = (х(з), у(з), г(з); О < з < Я вЂ” ее представление, где за параметр взята переменная длииадуги з, г20 я 42 Криеолинедние им«егоолы пусгь А = «(О) и В = «(5) — начальная и конечная точки этой кривой. В этом случае будем писать у = АВ. Противоположно ориентированную кривую обозначим ВА. Пусть, далее, на точках «(в) кривой у задана некоторая функция, которую обозначим Г(«(в)) = г(х(в), у(в), г(з)), чисто условно будет обозначать ее также символом: Р(х, у, г), хотя она, вообще говоря, и не является однозначной функцией точки (х, у, г). Это означает, что если некоторая точка М пространства Е' является точкой самопересечения кривой, т.
е. существуют по крайней мере два значения параметра в, и в„ такие, что «(в,) = «(в2) = М, то значения функции г" в точках «(з,) и «(з,) кривой у, вообще говоря, различны. Иначе говоря, функцию Р нельзя рассматривать просто как однозначную функцию, определенную на некотором множестве трехмерного пространства. Такая тачка зрения ссютветствует физической интерпретации кривой у, например, как траектории движения материальной точки, а функции Г как некоторой силы, воздействующей на нее, которая зависит не только от положения точки в пространстве, но и от момента, в котором она находится в данном месте. Оггределение 1. Значение выраагения ) Г(х, у, г)йа, определяемое по формуле ло ~ Г(х, у, г) йв = ) г (х(в), у(в), г(з)) йв, (47.1) Ав называется криволинейным интегралом первого рода от функции Р по кривой АВ.
Этот интеграл обозначается также символами 1 Р[«(в))йв и ) Г[«(в))йв, или, короче, ) Рйв. ла « Таким образом, хотя определение криволинейного интеграла первого рода и связано с определенными геометрическими образами, оно сводится к обычному интегралу по отрезку, и поэтому на криволинейный интеграл переносятся все свойства обычного интеграла. Отметим некоторые специфические свойства интеграла (47.1). 1. ) йв=З. Это очевидно. 2. Если функция р непрерывна в точках кривой у, как функция параметра в, т. е. если не«1рерывна функция Г1«(в)1, О < в ( 3, то интеграл ~ Ыз суи(ествует. гк1 Криволинейные интегралы первого рода ) Р(х, у, г) йз = ) Р(х, у, г)йз. лв нл Дейсгвительно, пусть М = г(з)— точка кривой и з = дл.
АМ. Если о =3 — з, то о =дл. ВМ (рпс. 146). Функция г = г(5 — о), О<о<5, является представлением кривой ВА, поэтому, делая в интеграле (47.1) замену переменного з = Я вЂ” о, получим Рис. И6 ) Р(х,у, г)йв=6) Р[х(з), у(з), г(в)[йз=— лв в е9) — Р[х(Я вЂ” о), у(Я вЂ” о), г( — о)[йо = ~ Р(х, у, г)йа. вл Прежде чем перейти к следующему свойству, заметим, что интеграл ~ Рйв, как и всякий интеграл, является пределом соответству- У ющих интегральных сумм; специфика этого случая состоит лишь в том, что эти суммы можно описать в геометрических терминах, связанных с кривой у, по которой ведется интегрирование.
Сформулируем это более точно. 4. Пусть т = (в,)',— = 'о' — разбиение отрезка [О, 31, Ц ~[зг г, ве[, 1= 1, 2, ..., 1, Ьз,- — длина части кривой у от точки г(зг 1) до точки г(в,) и о, = ~Р[с(5г)[ Ьзо Тогда, если функция Р [г(в)~ г ! интегрируема по Риману на отрезке [О, 8[, то Иш о, = ) Рйз. (47.2) г,-о Действительно, о, очевидно, является интегральной суммой Римана интеграла ~ Р[г(з))йз, и потому формула (47.2) непосредственно и следует иэ формулы (47Л). В самом деле, согласно определению(47.1), интеграл ) Рйз сводит- 3 т ся к интегралу ) Р[х(з), у(з), г(з)1йз от непрерывной функции по отреза ку, который, как известно, существует.
3. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой э ЕХ Криаолииесные интвтвлм Формула (47.1) очень удобна для изучения свойств интеграла гав, однако она далеко не всегда удобна для его вычисления, так как нередко бывает очень сложно или даже практически невозможно найти представление данной кривой, где за параметр взята пере- менная длина дуги. Укажем поэтому формулу для интеграла ) Гда при любом параметрическом представлении кривой у. 5. Пусть у †непрерыв дифференцируемая кривая, гЯ=(ф(1), зр(1), т(1); а<1< Ц вЂ” ее непрерывно дифференцируемое представление, <р' (Е)+зр' (Е)+Х' (1)~0, а ~С~(б*~ и пустпь функция р непрерывна на кривой у (в том смысле, что функция г (т(1)1 непрерывна на отрезке (а, Ь)), тогда ) г(х, у, з)с(в =)г(зр (1),ф(1), Х(1))увр' (т)+зр' (г)+т'(1)су.
(47 3) В самом деле, при сделанных предположениях кривая Т спрямляема и переменную длину дуги в = в(1) можно принять за параметр, и потому интеграл ~ рс(в имеет смысл. Лелая замену переменного в = з(1) в правой части равенства (47.1) и вспоминая, что (см. п. 16.3) Ва т/ т .л .т — х', +у,' +е, получим формулу (47.3). Из формулы (47.3) следует, что для данной кривой значение интеграла, стоящего в правой части равенства (47.3), не зависит от выбора параметра на кривой, ибо при любом выборе параметра этот интеграл равен интегралу, стоящему в левой части этого равенства. 47.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
