kudryavtsev2 (947414), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(На самом деле, как это уже отмечалось, при сделанных предположе- ниях зто всегда имеет место, однако зто не было доказано.) Пусть, наконец, и =- и ((), о= о(1), а <1 <Ь, — представление контура у", и„следонательно, х= х(и(г), о(Е)1, у =- у! и (О, о (1)1, а<1<6, (47.24) — некоторое представление конгура у*.
Г!усть )а — взаимно однозначное непрерывно днфференцируемое отображение плоской области Ос:Е~е в плоскость Е~„ с якобианом, всюду в О не равным нулю. Тогда в силу принципа сохранения области множество Ое = ЦО) также является областью (см. и. 41.5), а якобиан в силу его непрерывности сохраняет знак нз О (см. теорему 4 в и. 19.4), т. е. либо всюду на 6 положителен, либо всюду отрицателен.
В координатной записи отображение Е задается формулами 4 47. Криволинейнме интегралм 1зз Согласно формуле (47.20), гпез Ге = з ~ хе(у, 1Ф (47.25) п1езГ* =в ) хУгШ =з) к~ — — + — — )е(1= Г 7ду ди ду до) = 3 ~г)и и до и! = е ) х —.е(и+х —. еЬ. Г ду ду ди до 1 К получившемуся иатегралу применим формулу Грина (47.12) (здесь нами и используется потребованная вьппе непрерывность вторых производных — и — ~ . Полагая Р = х — н Д = х— дг у де У1 ду ду диде дода/ ' ди до и замечая, что в этом случае дт) др дх ду дх ду д(х, у) ди до ди до до ди д(и, о) получим п)ез Г* = ь ) Рг(и + Яе(о = з ц ~ — — — ~ г)и г(о = ГГ гдч) др) ,)1,)1 )хди до г) "+ 1' =а Ц 'У г)ий~.
1. Левая часть получившегося равенства больше нуля, значит, правая часть также положительна, и так как якобиан отображения (47.22) не меняет знака, то это возможно лишь в том случае, когда д(х, у) чисг1о з имеет тот же знак, что и якобиан ' У, а в этом случае д(и, о) ' е —,' = ~ — '- ~. Тем самым знак з не зависит от выбора контура у, д(х, у) ! д(х, у) 1 о(и, о) ~ д(и, о) !' а определяется знаком якобиан, который один и тот же во всех точках области 6. 1аким образом, доказана следующая теорема. где з = +1, если ориентация контура 7* положительна, и з = — ! в противоположном случае. Иначе говоря, з = +! (соответственно з = — 1), если положительному обходу данного контура у соответствует при отображении (47.23) положительный же (соответственно отрицательный) обход контура уе = Р(у).
Вычисляя интеграл (47.25) по формуле (47.8), используя представление (47.24) контура у*, получим е Ь 477 репке< рический синел зчпкп ккпбипкп Теорелгл 2. Если ььшолнены сделанные вылив предположения, то справедлива <)гормула Г = ٠— ( — ') ~ йи д . г (47.26) <пезГ"=Ц! 'У ~<(и<(о =~ ('У ~ гпезГ, й4сГ, !' поэтому Г* )д(х у) ) ! '~" '~ !.' В силу непрерывности якобиана Иш д(х, у) / ! д(х, у) 4<гг-о! д(и ") (л< ~ д(и ") )м, поэтому п<ек Г* (д(х, у) ( (47.27) е <г> о огек Г ~ д (и, и) <м ' т.
е. мы доказали формулу (46.6) и в некотором смысле даже в более збщем виде; так, здесь à — не обязательно квадрат (правда, на Кроме того, если якобиан —.-' — ) О на Г, пю е =- -(-1, иначе говоря, д(х, у) д(и, и) если якобиан отображения Р положителен, пго положипгельному обходу всякого контура 7~6, явлгоои(егося границей ограниченной области Г~<л, при отображении г соопгьегпаппует положительный сбход контура у* = Р(у), яллг<гощегося границей ограниченной обласгпи Г* = г(Г). Если же якобиан — ' У к" О на Г, то е =- — 1, д(х, у) д(, ) т.
е. положительному обходу всякого контура у, указаннсгго <пипа, ахггпвегпсп<вует при отображении Е отрш(апгельный обход конг<гура 7* = Е(у). Таким образом, геомепгрический сл<ысл знака якобиана огспюипг в том, что при положительнол< якобиане ориентация конгпуров сохраняепгсн, а при отрицапгельном — меняется. С помощью формулы (47.19) формула (47.26) легко обобщается па случай, когда гранина области Г состоит из конечного числа кусочно-гладкнх замкнутых контуров. Отмет«м еще, что с пол<ощью формулы (47.26) можно без труда получить более простое доказательство теоремы 1 из п.
46.1 о геометрическом смысле модуля якобиана. Действительно, пусть Мо ~ Г, й (Г) — диаметр области Г, и область Г каким-либо образом стягивается к точке Л(о и, следовательно, <((Г) -и О. По теореме о среднем (см. п. 44.5) шв З 47. Крииилинеаные интегралы отображение Р мы наложили несколько более сильные условия, д'у д'у потребовав непрерывности смешанных производных — и — и ди до до ди возможности применения формулы Грина для области Г и). Нетрудно убедиться и в том, что стремление и пределу в формуле (47.27) происходит равномерно в смысле, указанном в теореме 1 п. 46Л. Несмотря на простоту вывода формулы (47.27), следует отметить, что доказательство теоремы 1, приведенное в и.
46.1, идейно прел- почтительнее, так иан оно лучше раскрывает сущность вопроса, связанную с тем, что дифференпируемое отображение з малом достаточно хорошо аппроксимируется линейным отображением. 47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрированна (47.28) (47.29) Все кривые (контуры), рассматриваемые в атом пункте, будут всегда предполагаться кусочно-гладкими; для краткости зто не будет каждый раз спепиально оговариваться. Рассмотрим вопрос о том, когда криволинейный интеграл ') Рах+ бйу зависит только от точек А н В и не зависит от выбора лв кривой АВ, их соединяющей.
Теорема 3. Луста функции Р(х, у) и 1г(х, у) непрерывны н плоской области 6, тогда зкв лентны следующие три условия. 1. Для любого замкнутого контура у, лежащего в С, ') Р е(х+ 6 й у = О. 2. Для любых двух точек А ~ б и В ~ 6 значение интеграла 1 Рйх+бйу лв не зависит от кривой АВс:.С, соединяющей точки А и В. 3.
Выражение Рйх + бйу явлттся в б полным дифференциалом, т. е. существует функция и(М) = и(х, у), М = (х, у), определенная в б и такая, что с(и=Рйх+айу. В етом случае если А~С и В(б, то ~ Рйх+Ггйу= и(В) — и(А) лв для любой кривой АВ, соединяю'цей в 6 зпш точки. 478. Интегралы, не епвиеяи<ие от пути интегрирования /" ) Этим будет, очевидно, доказано, что из любого условия 1, 2 и 3 следу'- ет любое другое из них. Первый шаг; 1- 2. Пусть А~б, В~б и даны две кривые (АВ), и (АВ)е, сов единяющие в 6 точки А и В (рис. !52).
Сумма (АВ)«(ВА), кривых (АВ), н (ВА), образует замкнутый контур, и потому в <ле>« силу выполнения свойства 1 Р дх+ <;> ду = О. (47.30) л <лв>, <вл>, Рис. !52 Но Рс(х+<г<(у= ) Р<(х+« (у+ ) Рдх+()ду= <лв>, <во>, <лв>, <туя >, Р дх+<г <(у — ) Р г(х+ (;> <(у. <лв>, <лв>, Из (47.30) н (47.31) следует, что Р <(х+<г <(у = ) Р <(х+ б ду, (47.31) <лв>, <лв>, т. е.
свойство 2 выполняется. Второй шаг: 2 — «-3. Пусть Ме~б, М =(х, у) ~6 и М,М— некоторая кривая, соединякхцая в б точки М, и М. Положим и(М)= ~ Рг(х+<',>ду. м«м В силу условия 2 при фиксированной точке М, функция и(х, у) является однозначнойфункцней, так как значение и(М) = и(х, у) не Таким образом, аьиюлнение каждого из условий 7, 2 и 3 необходимо и досп>ап>очно для выполнения каждого из двух оса<альных. До к аз а тел ь от в о. Покажем, что из первого условия следует второе, из второго — третье, а из третьего — первое, т. е.
проведем доказательство по схеме 4 47. Кггвво.гинейнлге интегггпллг ив гависит от выбора кривой, соединяющей в 6 точки М„и М. Покажем, гто ди (х, у) ди (х, у) — = Р(х, у) и — ' = 6(х, у). дх ду Рис )да и(х+Ь, у) — и(х, у)= Рг(х+()г(у — ) Рг(х+ Я г(у= ) Рдх+6г(у, лг, мл м„л ""л Вдоль отрезка Л4Мл коордггната у постоянна, поэтому ()г(у = 0 и, следовательно, и (х -)- Ь, у) — и (х, у) = ~ Р г( ~ Р ((, у)г(Ь х Применяя теорему о среднем, получим и (х+ Ь, у) — и (х, у) = Р(х+ ОЬ, у) lг, О < '0 ( 1, эткуда "(+"'„'-и("У) =Р(х+ОЬ,у), О~ОС1. (47.32) Правая часть этого равенства в силу непрерывнссти функции Р(х, у) при Ь вЂ” 0 стремится к пределу, следовательно, и левая часть кмеет предел при Ь вЂ” О. Переходя к пределу в (47.32), мы и получим дх ')) = Р(х, у). дто, очевидно, равносильно равенству (47.23).
Зафиксируем точку М = (х, у). 1' Выберем точку Мл = (х+ Ь. у) ~6 Ь + О„так, чтобы отрезок ММ», д лг л~л соединяющий точки М и М„ (который, очевидно, параллелен осн Ох и имеет длину (Ь(), солй держался в 6 (рис. 153). Для всех достаточно малых чисел Ь такой ~ ЬР ' д (~% д( х му?). Тогда имеем В7.В. Интеграла, не на«и«итие ае пути ин«егрираеания Совершенно аналогично доказывается и равенство ди(х, у) — ф — =Ю(х, у) Итак, существование функции и(х у), для которой имеет место (47 28), доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
