kudryavtsev2 (947414), страница 28
Текст из файла (страница 28)
п. 32.6). Наконец, величины б 50. Элементы геории поверхностей )62 ей т! = — ~т), р(а„т)!) шея б„ г ! $гт, = У, $,-р($и !),) шеьб, (49.3) г=! назовем приближенными т-мол!ситами фигуры 3 относительно осей Ох в Оу, а их пределы при б,-» 0 )пп Я (т) = — 5„, !пп Я„(т) = 5 л,-о ь -о — моменпгами фигуры 5 относительно осей Ох и Оу.
Эти пределы при сделанных предположениях существу!от. Действительно, из ггормул (49 3) видно, что 5„(т) н 3 (т) являются интегральными сулияалги римана для функпнй ур(х, у) и хр(х, у), поэтому 5„= ) ) ур(х, у)йхй)г, 5 =Дхр(х, у)йхйу. (49.4) о о Определение 1. Точка (хо, уо) напивается центром тяжести фигуры 5, если моменпгы опгносительно координатных осей материальной тачки гггассьг М, равной лгасте всей фигуры Я, находяи)ейся в точке (х„, у„), равны сооплзепгсгпвугогцим моментам фигуры Б, т.
е. ее!и г'!4 хо = 'ьм й)угг = 'Цх Из формул (49.2) н (49.4) получаем Цхр(х, у)г)хг)у Цур(х, у)г)хг)у 6 ! Цр(х, у)г)хг)у Цр(х, у)г)хг)у о о ф 50. ВЛЕМ!.НТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 50.1. Общие поннтин Определение 1. Множеспгво 5 пючек трехмерного пространства, за!)аннов как образ виллхнушой плоской обласпт 1)х! при неко!порол! непрерывном огпобраэлсг нии г(и, сг), называется пара- ") Здесь и и дальисйисм ь атом параграфе !срез!) обозиаоается плоская область. У и р а ж в е и и е 2. Доказать, ото иеитр тяжести фигуры ие зависит от выбора системы коордииат. бО.С, Общие понятия .непсрически заданной ссоверхносссгью, а отображение «(и, о) — ее предо«навлекаем.
При этОм пишетсн 2 ==',«(и, о); (и, о) ( О). (50.1) Пусть теперь в рассматриваемом трехмерном пространстве чафиксировапа прямоугольная система координат. Если с(и, о), (и, о) !-О, является вектор-функшгев, соответствующей отображению «(и, о)ег, являющемуся представлением поверхности 5, то она называется векторным представлением данной поверхности и пишется Е =-- («(сс, с!); (и, о) ~ 0). (50.2) Если «(и, о) = (х(и, о), у(и, о)„г(и, о)), то совокупность трех функпнй х(и, о), у(и, о), г(и, о), (и, о) ( О, называется координатным представлением данной поверхности и ппснется в виде 5=(х(и, о), у(и, о), г(и, о); (и, о)~0с~, (50.3) Переменные и в о называются параметрами, или коордипатамн, поверхности. Определение 2.
Орос~пране«сгвенная точка М = «(и о), (и, о) ~ О, плюс своп!ветс«ссвуюи(ие значения параметров и, о называются точкой данкой параметрически заданной поверхности. Зспа точка обозначиется «(и, о). Сала же !грос«яра«и!«пвенная точка М называеспся носителем этой точки поверхности. Определение 3. Совокупно«ось скгх косителей тачек папамепграчески заданной повсрхноспш называется носителем этой иоверхносспи. Пример. Носителем поверхности х =- «соз ф сов ср, у=«ыпй! в!пер, г =- с' $! и "', 0 «р (2, — -'- < ф < —, является сфера с центром в начале координат н радиуса «. Определение 4. Если сусдесввусоаг две различные точки (и„о,) р О и (и„оа) ~с О, такие, что «(и„о,) =- «(иа, ог), то темка М = «(и,, о,) = «(и„ог) каэасваепсся кратной !почкой нссипселя пара- *! Нанося!асс, что ато значит, по точна «(и, ог:ьялатся нонцон радиусвеагора «(сс. о).
р Зо. Элементы теории поверхностел (50.5) метрически заданной поверкности (или кратной точкой паралгет- рически заданной»говерхности). Паршиепгрически заданная поверх- ность, имеющая кратные точки, называется поверхностью с салю- »гересеченггями. Как и в случае кривой, для данной поверхности будем допу- скать различные представления.
Определение б. Оепрерь«зное опшбр жение г=т(и, о) зал«кнутой плоской области 0 в Е' и непрерывное отображение р = р(и„пг) зал»кнутой плоской облас»пи 0( в Е" называюпгся эквивалентными, или представлениями одной и агой же параметрически заданной поверкноспги, если суи(ествует взаил(но однозначное и взаимно непрерывное'") отображение и,==(р(и, о), о, =-ф(и, о), (50.4) замкну»пой области 0 на О,, такое, что ».(и, о)= р[(р(и, о), (р(и, о)). для всех (и, о)с~0. Определенйе 6. Если функции (50.3), или вектор-функция (50,2), задающие поверхность, непрерывно дифференг(ируел(ыво), пю парометрически заданная поверхность 5 называется непрерывно дифференцируемой. В этом случае условие эквивалентности двух представлений поверхности определяется более жестко: от отображения (50.4), осущеспгвляющего переход о»п одних параметров к другим, дополни- тпельно требуется непрерывная дифференцируел(ость как его самого, так и обратного к нему отображения (соответственно на 0 и )Хг).
Здесь, как и везде, под непрерывной дифференцируемостью в замкнутой области 0 понимается непрерывность частных произ- водных в открытой области 0 и непрерывная их продолжаемость на границу этой области (см. п 39.3). При этом продолженная функция обозначается тем же символом, что и исходная продол- жаемая функция. ") Непрерывно как прямое, тан и обратное отобрагкснис. *о) Такие понятия, как, например, нспрерывностгь диффереппируеыость естественным образом переносятся н на вектор-функции нескольких пере- л«сивых. Так, функция г:=-г(и, с), определеннав на области 6, называет- св непрерывной в точке !««о, оо) ~ О, сслп !пп г(и, о) =-»'(по «о) ! Ро (и, т) (о, «,) дг(но, со) взводная — — определяется равенством д«« дг(но, "««) «!» (н ° «'о) ! — — — — нт.д «)и «!«« Вггй Общие яояятия сбз Подай>ным образом можно определить и другие классы параметричсски заданных поверююстей, например, деалсды непрерывно дифференцируемые или вообще п раз непрерывно дифференцируемые параметрически заданные поверхности.
Резюмируя, окончательно можно сказать, что параметричгски заданной повгрхностыв какого-то класса являепгся некоторая соьокупность эквивалентных между собой првдппавлвний указанного вьсисг вида. Понятие эквивалентности определяется в зависимости от выбора класса. Определение 7. Преобразования парами>пров, осуи(гствляющив переход от одного представления ссовврхносх>си к другому, ему эссвиваленпгнолсу, наэываюпгся досгустилсыми. Определение 8. Если эи парол>шары и одном иэ представлений поагрхностсс можно взя>пь какив-лссбо двв координаты (например, если сущвспгвует замкнупшя обласспь 0 на плоскости ху и с)>ункцсся г = 1(х, у), (х, у) ~0, чвляющался представлением поверхности), то такое предсншвлгниг назьсвагпсся нвным. Очевидно, что если поверхность допускает явсюе представление, то она не имеет кратных точек.
Для простоты часто будем называть параметрически заданной поверхностью просто некоторое ее представление г = г(и, о). Данное выше определение параметрически заданной непрерывной поверхности не охватынает все то, что интуитивно входит в зто понятие. Так, можно показать, по поверхность шара не является носителем какой-либо непрерывной параметрически заданной поверхности без кратных точек. Считать же, что поверхность шара имеет кратные точки, представляется неоправданным усложнением. Сформулируем общее определение поверхсгпсти. Определение с). Связное (см.
о>гредвление 24 в п. 18.2) сераничгннов замкнутое мнажгспсво 5 игрек.черного пространсспва называепкя поверхностью, (или подробнее, поверхностью бвэ края), если длн любой тсгчки И ~~ 5 найдется замкнутый шар Я с центром в эпюй а>очке, для которого сущвствуепс взаилсно однозначное и непрерывное отображение с(и, о) некоторого замкнутого круга Кс:.ЕЯ на 5>~Г), причем если (и„, он) центр круга К, то М = е(и„оа)*>. Пара чисел (и, и) называгтсл мес>иными координатами точки х(и, о) ~5 на поверхности 5.
Лелсма 1. Каждая поверхность являвтсл объвдсснгнием конечного числа носителей парамвтричсски заданных повгрхноспгей. До к а з атил ь с т в ш Пусть 5 — поверхность. Для каждой точки М (-5 зафиксируем какой-либо из указанных в опреде*> Понеркность н сссиелс итого определения иааинашеи также днумерсгин сшогообрааиеи. р БО. Элементы теория яоверхяос«ей ленни 9 замкнутых шаров с центром в этой точке и обозначим его через 1;!х!. Пус!ь «и — его радиус и пусть ! >«! — открытый шар того же радиуса «.и с центром в точке М. Имеем 5 ~ () ~а>, мвв т. е. система и!аров (ЯЦ, М 1- 5„образует открытое покрытие ограниченного замкнутого множестьа 5. По лемме Бореля (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
