kudryavtsev2 (947414), страница 29
Текст из файла (страница 29)
лемму ! в п. 3.3) из этого покрытия можно выделить некоторое конечное покрытие: (ямо 9а>ы ..., явь! ). Очевидно, что система соответству!ощих замкнутых шаров [()ы,. Рх«„,., Яыа~ также образует покрытие поверхности 5, т. е. 5 с- "() (>х«г >=-! Пусть К,— круг с центром в точке (ии и,) ~ Е.,„., К,с: Е„„, непрерывно и взаимно однозначно отобража>ошейся отображением «,-(и, о), (и„о)~Ки ца множество 5г~1~х>, так, что «>(ии о,) =М>, а= >, 2, ..., й.
Тогда множество 5«~!',.>х«, является носителем параметрическн за- данной непрерывной поверхности («>(и, о), (,и, о) ~К!), «= (, 2, ..., А, 5= () 5«з>еми ! ! Лемма доказана. У и р а >к я е я я е 1. Доказать, что поверхность шара является иоиерхяостью оеа кра!. Дадим теперь определение поверхности с краем. Определение л0. дуста 5 — ограниченное связное замкнутое лии>жеспьто трехмерного просп>ранстви. Пуси!ь длн л>сбой точки М (- 5 суи1ествует замкнутый и«ур (С' с центром в втой точке и суп(ес«пвуе««! непрерывное взаимно однозначное о««к>бразкение «(и,о) некоторого замкнутого круга или полукруга К на мнюз«сеслио 5«Я, причем, если (иа, га) центр круга или полукруга К, пго «(ие, ое)= М. 50.! Отчие лпяяггт Если г(в! — полукруг и (иа, о,) — ега центр, пю точка г(иа, в„) =— =М ( Я нгспявается краевой пгачкай лгнажесгпва 5.
Савокцпнаеть всех краевых точек множества Ь' назыааегпся его краем и обазначатпеч дЯ. Множество 3» удоелетгаряюи1ее указанным выиге уелозиялг и такое, чта ега край дЯ не пуст, назылаепюд поверхностью с краем'"*'. Всякая точка поверхности с краем, неприиадлежащая ее краю, называется внцтренней точкой поверхности. Примером поверхности с краем являются боковая поверхность круглого цилиндра и боковая поверхность кругового конуса, имеющих конечные высоты. Совершенно аналогично лемме 1 можно показать, что каждая поверхность с краем является объединением конечного числа носителей параметрически заданных поверхностей без кратных точек. В дальнейшем будут изучаться в основном лишь непрерывные поверхности, заданные параметрически, но, вообще говоря, с кратнымв точками.
Там, где это ие сможет привести к недоразумениям мы вместо хпараметрически заданная поверхностна будем употреблять просто термин ггповерхностьв. Наконец, отметим несколько другой подход к понятию поверхности. 1 ели Г(х, у, г) — непрерывная в некоторой трехмерной области функция, то совокупность точек (х, у, г), таких, что Е(х, у, г)=-0, (50.5) называется поверхностью, заданной недана. Не останавливаясь подробно па анализе такого подхода к понятию поверхности, отметим лишь, что в случае, если функция Е удовлетворяет в некоторой точке (х„, тм г,) условиям теоремы о неявных функциях (см. п.
ч!.1), то часть поверхности (50.5) в некоторой окрестности указанной точки (т. е. пересечение этой окрестности с данной поверхггостьк») допускает явное представление, и можно сказать, что в этой ситуации поверхность, заданная неявно, локально сводится к поверхности, заданной параметрически. Только такой случай поверхностей, заданных неявно, встретится в дальнейшем, поэтому ие будем специально останавливаться на разъяснении тех или иных понятий для поверхностей, заданных неявно. ' Г Под замкнутым полукругом мы здесь поннмаем пересечение замкнутого круга с замкнутой полуплоскостью, лелгащей в плоскости круга, граница которой содервгнт центр круго.
*»Г Если край д8 пуст, то»тожество о является, очевндно, поверхностью без края, Иногда вместо термена «поверхность без края> употребляется терман »замкнутая поверхность» Здесь замкнутост. понимается пе в смысле замкнут«сев множества, а пненно в смысле отсутстввя края В ВО. Элементы теории поверхностев 50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть г=г(и, о), (и, о)~О (50,7) — непрерывно дифференцнруемое представление некоторой параметрическн задаваемой поверхности.
Будем для простоты считать, что пересечение каждой прямой вида и = и, или о = оа с замкнутой областью О пусто, или состоит из одного отрезка (быть может, вырождаюцгегося в точку). Пусть, например, пересечение Р с прямой о = оо не пусто, тогда г=-г(и, о,)„(и, о,)~0 (о,— фиксировано) является представлением некоторой непрерывно дифференцируемой кривой, которая называется координатной линией (и-л нией). Вектор дг гн = Вн = (х уи ея) является ее касательным вектором.
Аналогично определяются координатные линии (о-линии) г = г(и„о) (и,, о)~0 (ие — Фиксировано). и касательные к иим векторы ог г, =,—, = (к„у„ав). Определение 11. Точка параиетрически заданной поверхно. сти, для которой векторы та и г, не коллинеарны (т. е.
линейно независилвя), называется неособой, в противнол~ слуыае — особой. Если точка поверхности неособая, то в ней, в частности, г„+О, ге+О. Очевидно, что точка параметрически заданной поверхности является неособой в том и только в том случае, когда в этой точке г„х т, + О. Упражнение 2. Доказать, что в окрестности каждой неособой точ. ки поверхность допускает явное представление относительно одной иа осей координат. Рассмотрим кривую на параметрически заданной поверхности (50.7), заданную непрерывно дифференцируемыми функциями и=-и(т), о=о(1), а <Г<Ь, т. е. представлением т = г(и(1), о(1)), а<1 < Ь. (50.8) юй.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 169 Дифс)еренцируя это равенство, получим с(г = г„с(а+ г, сЬ, (50.9) здесь с(а = и'(0с((, сн = о'(0с(К Вектор дг является касательным к кривой (50.8).
Равенство (50.9) показывает„что в данной точке г(аю, о,) поверхности (50.7) касательная к любой кривой (50.8) на этой поверхности, проходящей через точку г(ию, ою), лежит в плоскости векторов г„(и„, о„) и то(ию, о,). Определение 12, Плоскость, проходящая через точку г(а„, ою) параметрическа заданной поверхности (50.7), в котороа лезхатп и:е касательные к кривым (50.8), проходящим через эту точку, называется касапгельной. плоскостт~ью к поверхности в донной точке (назынаелсой точкой касания).
Если данная точка поверхности (50.7) неособая, то в ней всегда существует и притом единственная касательная плоскость: именно в силу (50.9) такой плоскостью является плоскость, проходящая через точку г(а„, вю) параллельно векторам г, (а„о„) и г;„(и,, о,). Отсюда легко написать ее уранение в векторном виде. Обозначая через г, радиус-вектор точки касания, а через г — текущий радиус- вектор точек на касательной плоскости, получим (рис. 159) (г — г,) г„т, = О. (50.
10) Рис. 'с59 Если г = (х, у, г), т.ю =- (х»* ую, г„), ги = (хв, уя, ги), г; = (хьл у„г,), то уравнение (50.10) в координатном виде перепйшется следующим образом: х — хю у — ую е — гю )ь еи 1' ее Хь гто 4 ВВ. Элел<енты теории поеерхностев В случае явного задания поверхности а =1(х, у), (х, у)~б, в виде (50. 11) х — х„у — уо е — ео 1 0 ~„ — О, 0 1 (50 12) (50.(д) )х = 1т'= Определение 14. Всякий ненуле<юй ьекгтгор, параллельный нвр.кальнвй прямой, проходящей через данную точку поверхности, называепгсг< нора<илью к параметрически заданнви' поверхности в указанной точке.
Примером нормали в неособой точке поверхности является векторное произведение п =- г„хгы вычисленное в рассматриваемой точке. По определению в каждой неособой точке данной поверхности существует и притом единственная нормальная прямая. В точках же носителя поверхности может оказаться, что это и не так: если некоторая точка пространства является носителем двух или более точек данной поверхности, то может случиться, что в точке носителя имеется несколько различных нормальных прямых*>.
*> Нормаль (аормальная прямая), а некоторой точке поасрхиости называется так<не нормалью (нормальной прямой) и носителе этой точки. откуда (х — х<)1„+(у — уо)1 — (е — х,) =О, гд- через )„и )"т для коаткости обозначены частные производные 1„(х, у) и ),(х, у) в точке (ха, уо). Из этои формулы следут, что два определения касательной плоскости длн понерхности с явным представлением (50.11), данные в пасто<идем пункте и ранее в пункте 20.5 эквивалентны. В самом деле, оба определения приводят к одному и тому же уравнение (50. 12). Определение 18.
Прямая, проходя<цап через пючку касания поверхности с касательной плсскаспгью и перггенднкулярная этой плоскости, нгслгг<кгется нврмальнпй прямой к ггарал<епгрически заданной псверхноапи. Ее уравнение в общем случае имеет вид х--то у — уо а — ав !х уи «! )т«х«( (хи у«) У« «« ~ В случае явного представления (50.!1) эти уравнения принимают вид оО 2. Касательная плоскость и нормаль к поаелкности Для поверхности, заданной неявно уравнением Г(х, у, х) = О, где Е (х, у, г) — непрерывно дифференцируемая в окрестности точки (х„, уос зо) функция, Р(х„уо, го) = О, и в этой точке Г, + Р,, + Го ) О, уравнение касательной плоскости в точке (хо, уо, го) имеет вид (х хо) Гк+ (у уо) Гу+(з о)Г = О, а уравнение нормальной прямой— б — Яь Х вЂ” Хо — йо ~х ~у ~2 где )а„, Р и Г, обозначают значения соответствующих частных производных, взятых в точке (х„уо, го).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
